Las matemáticas del planeta Tierra - Informe especial
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Informe especial
Las matemáticas
del planeta Tierra
Publicado en
Octubre 2013
Copyright © 2013 Prensa Científica S.A. Muntaner, 339 pral. 1.ª 08021 Barcelona (España)
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Octubre 2013, InvestigacionyCiencia.es 47
LAS MATEMÁTICAS DEL PLANETA TIERRA
P R E S E N TA C I Ó N
Las matemáticas,
una ciencia global
La importancia de un lenguaje universal para entender
un mundo en constante cambio
Manuel de León
E
l año 2013 ha sido declarado Año de las Matemáticas
del Planeta Tierra, o MPE2013, por sus siglas inglesas.
Esa denominación tal vez sorprenda a primera vista
—¿qué relación guardan las matemáticas con nuestro
planeta?—; sin embargo, son varias las razones para
esta iniciativa, la cual llega en un momento crítico en la histo-
ria del planeta y de la propia humanidad.
La Tierra es el escenario de multitud de procesos dinámicos LOS DESAFÍOS
de todo tipo, desde los geológicos hasta los atmosféricos, pasan- En todos esos estratos, el planeta encara retos de enorme im-
do por los biológicos y, por supuesto, los humanos, cuya influen- portancia, que, con un grado de inconsciencia asombroso, aún
cia ha ido creciendo siglo a siglo y, desde hace poco, década a no somos capaces de asimilar. Se trata de desafíos polifacéticos,
década. Las matemáticas constituyen una herramienta perfec- que precisan una estrategia multidisciplinar y enfoques globa-
ta para entender y modelizar dichos fenómenos. les. La matemática permite obtener esa visión conjunta, lo que
Si emprendemos un viaje mental desde el interior del planeta —aliada, por supuesto, con el resto de las disciplinas— la con-
hasta la atmósfera, veremos con claridad cómo se desarrolla la vierte en la ciencia más apropiada para afrontarlos.
obra en este escenario planetario. El núcleo del planeta es sóli- Las matemáticas constituyen el instrumento que nos permi-
do (el núcleo interno) y fluido (el externo); su rotación genera te cuantificar y modelizar, simular los modelos y analizarlos de
un campo magnético que, al proteger la Tierra de radiaciones le- nuevo a la luz de sus resultados. Gracias a ello podemos enten-
tales, ha permitido la aparición de vida sobre su superficie. Más der los fenómenos y predecir lo que vendrá.
arriba hallamos el manto, cuya continua actividad provoca la Así lo reflejan los cinco artículos que siguen, los cuales
deriva de los continentes y desastres naturales, como los terre- aportan un panorama bastante completo de la investigación
motos o las erupciones volcánicas. Sobre la superficie del globo matemática aplicada al estudio del planeta. Ana M. Mancho
reposan los océanos, fundamentales en el control del clima, y la analiza la dinámica global de manto y la atmósfera a la luz de
atmósfera, la cual no destaca precisamente por su estabilidad. la mecánica de fluidos, con énfasis en su naturaleza caótica;
La superficie terrestre, sólida y líquida, soporta además la Lourdes Tello se centra en los modelos climáticos basados en
vida, cuya dinámica se halla sujeta a procesos evolutivos que se intercambios energéticos; Jordi Bascompte describe la estructu-
prolongan durante cientos de millones de años y que, al mismo ra matemática de las redes ecológicas; Joan Saldaña nos refiere
tiempo, inciden de manera notable sobre la propia superficie. los últimos modelos para estudiar y combatir las epidemias; por
Por último, los seres humanos (los últimos —recién— llegados último, Anxo Sánchez debate sobre los patrones y relaciones
al planeta) hemos incrementado de manera exponencial nues- que soportan nuestra propia sociedad.
tra influencia sobre la atmósfera y la superficie terrestres, muy Todos esos campos de investigación se engloban en los cuatro
especialmente desde la Revolución Industrial. grandes ejes que la organización del programa MPE2013 señaló
48 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, octubre 2013SUMARIO
GEOFÍSIC A
La Tierra, un sistema de fluidos
por Ana M. Mancho
CLIMATOLOGÍA
Modelos de balance energético y clima global
por Lourdes Tello
ECOLOGÍA
Las matemáticas de la biodiversidad
por Jordi Bascompte
EPIDEMIOLOGÍA
Modelos de propagación de enfermedades
por Joan Saldaña
EVOLUCIÓN
Redes sociales y cooperación
por Anxo Sánchez
para abordar a lo largo del año: un planeta para descubrir, que ta. Como resultado, durante este año se han programado todo
incluye el estudio de los océanos, la meteorología, el clima, los tipo de actividades (escuelas, concursos, conferencias, congre-
procesos del manto, los recursos naturales y el sistema solar; un sos, blogs...) en casi todos los países del mundo. En España, son
planeta que alberga la vida, que plantea cuestiones relacionadas varios los centros y las sociedades de investigación que se han
con la ecología, la biodiversidad y la evolución de las especies; sumado a la iniciativa.
un planeta organizado por los seres humanos, que aborda los La inauguración formal de MPE2013 tuvo lugar el pasado
sistemas políticos, económicos, sociales y financieros, la organi- 5 de marzo en París, en la sede de la UNESCO. El mensaje de
zación del transporte y las redes de comunicaciones, la gestión François Hollande rezaba: «Estas jornadas [...] nos recuerdan
de los recursos, y la obtención y distribución de la energía; un que las matemáticas —basadas en la abstracción, lo que con-
planeta en riesgo, debido al ya presente cambio climático, la ne- tribuye a su nobleza— resultan centrales para la comprensión
cesidad de un desarrollo sostenible, el peligro de las epidemias, y el funcionamiento del mundo; subrayan la necesidad de de-
las especies invasivas y los desastres naturales. sarrollar su enseñanza desde las edades más tempranas, pues
constituyen la apuesta esencial de la que dependen nuestra
VISIÓN Y MISIÓN economía y nuestra capacidad de innovación; y nos recuerdan
Toda empresa de semejante alcance necesita un visionario. En también su carácter universal, así como la consecuente y nece-
este caso fue Christiane Rousseau, de la Universidad de Mon- saria dimensión internacional de los estudios y la investigación
treal, quien lanzó el proyecto. En un primer momento contó con en matemáticas».
el apoyo de las sociedades e institutos de investigación matemá- Christiane Rousseau, por su parte, declaró: «Numerosos cien-
tica de Canadá y Estados Unidos, a los que después se sumaron tíficos en todo el mundo comparten ahora mi sueño; MPE2013
la UNESCO, la Unión Matemática Internacional, el Consejo In- se desarrolla ahora por sí mismo, a través de una colaboración
ternacional de Matemática Industrial y Aplicada y el Consejo sin precedentes que durará, al menos, durante todo 2013». Bien,
Internacional de la Ciencia. parece que la iniciativa no terminará este año. Tantos son los
La iniciativa fue diseñada con la idea de fomentar progra- temas y el interés que ha generado que MPE2013 continuará
mas de investigación que identificasen y resolviesen los pro- más allá de 2013.
blemas clave de nuestro planeta. Al mismo tiempo, sin embargo, Las matemáticas desempeñan un papel fundamental para
también se ha querido animar a los educadores de todos los resolver los grandes retos del futuro más inmediato. Y aunque
niveles para que comuniquen a sus pupilos dichas cuestiones, los matemáticos no sean los únicos científicos capaces de apor-
así como informar a la sociedad del papel fundamental que tar soluciones a los grandes desafíos que afronta nuestro pla-
desempeñan las matemáticas a la hora de encarar los desafíos neta, podemos decir que Gaia, si existiera, tendría una men-
a los que se enfrenta la humanidad. Tales ideas aparecen —casi te matemática.
de forma literal— en el mensaje que Irena Bokova, directora
general de la UNESCO, pronunció el 21 de noviembre de 2012,
día en que esta organización anunció su apoyo incondicional Manuel de Leónes profesor de investigación del CSIC y académico de la
a la iniciativa MPE2013. Real Academia de Ciencias. Dirige el Instituto de Ciencias Matemáticas,
Al toque a rebato que se hizo desde Montreal respondieron centro mixto del CSIC y varias universidades madrileñas. Su investigación
más de un centenar de sociedades científicas, universidades, se centra en la geometría diferencial, la mecánica geométrica y la física
institutos de investigación y organizaciones de todo el plane- matemática.
Octubre 2013, InvestigacionyCiencia.es 49LAS MATEMÁTICAS DEL PLANETA TIERRA
Ana M. Manchoes científica titular del Instituto de
Ciencias Matemáticas de Madrid, del CSIC. Desarrolla
su investigación sobre dinámica de fluidos en modelos
geofísicos.
GEOFÍSIC A
simplificados ha permitido entender en
La Tierra, un
profundidad varios fenómenos globales.
Por ejemplo, en experimentos sencillos se
ha comprobado que existen condiciones
físicas en las que, ante pequeñas pertur-
sistema de fluidos
baciones, los fluidos cambian su aparien-
cia y se organizan en nuevas estructuras
ordenadas.
Un ejemplo clásico nos lo proporciona
la inestabilidad de Rayleigh-Bénard. Esta
La dinámica global de nuestro planeta se produce cuando un fluido se calienta
es caótica y turbulenta. ¿Cómo elaborar de manera uniforme desde abajo. Cuando
el gradiente de temperatura supera cierto
modelos fiables? umbral crítico, el fluido comienza a mo-
verse, formando rollos de convección en
los que el fluido circula de forma alter-
Ana M. Mancho nativa en sentido horario o antihorario.
L
El movimiento de los fluidos producido
os fluidos se hallan presentes después, en 1825, Claude-Louis Navier y por diferencias térmicas es un fenómeno
en toda la dinámica terrestre. No George G. Stokes introdujeron en ellas un global que se observa en la circulación
solo son fluidos el océano o la at- término de viscosidad. Las ecuaciones de atmosférica, la oceánica y en el interior
mósfera, sino también el interior Navier-Stokes predicen la evolución del de la Tierra.
del planeta. El fluir del manto campo de velocidades de un fluido; es Desde un punto de vista matemático, la
procede con gran lentitud, por lo que su decir, el vector de velocidades en cada existencia de condiciones críticas que de-
evolución resulta casi imperceptible para punto. En el caso que nos ocupa, tales sencadenan una inestabilidad se relaciona
el ser humano. El núcleo externo de la variables describirían los vientos atmos- con la presencia de una bifurcación. Como
Tierra también es líquido, principalmente féricos, las corrientes oceánicas o el flujo ejemplo sencillo, podemos considerar el
hierro fundido, y su rotación generaría el del manto y el núcleo. movimiento de una canica en el fondo de
campo magnético terrestre. Además del campo de velocidades, en un valle; lo que en física y matemáticas
Así pues, desde un punto de vista los problemas geofísicos han de tenerse se conoce como «pozo de potencial». Su
geofísico, todos los procesos globales de en cuenta otras variables, como la tem- mínimo (ubicado, por ejemplo, en x = 0)
nuestro planeta quedan descritos por peratura, la humedad (en el caso atmos- constituye un punto de equilibrio. Este
las ecuaciones de la dinámica de fluidos. férico), la salinidad (en el océano) o los equilibrio es además estable, ya que si
Sin embargo, a pesar de que estas fueron campos electromagnéticos (en el núcleo). propinamos un pequeño impulso a una
formuladas hace más de dos siglos, la es- Por su parte, el manto terrestre no se com- canica que se encuentra en x = 0 (y si
tructura de sus soluciones continúa siendo porta como un fluido puramente viscoso, existe rozamiento; esto es, si el sistema
uno de los problemas más investigados en sino que en su dinámica intervienen tam- es disipativo) esta acabará regresando por
matemáticas. Ello se debe a sus propieda- bién propiedades elásticas y plásticas, lo sí sola al centro del pozo.
des no lineales, las cuales entrañan fenó- que introduce complicados términos en Pero ¿qué ocurre si modificamos la
menos caóticos y turbulentos que impiden las ecuaciones. forma del pozo de potencial para levan-
realizar predicciones detalladas. tar una pequeña colina en su centro? En
En el desarrollo de la dinámica de Estabilidad y bifurcaciones tal caso, la estabilidad del sistema cam-
fluidos destacan los trabajos pioneros de Las ecuaciones de los fluidos permiten biará. El punto x = 0, convertido ahora
Leonhard Euler, quien en 1755 escribió aproximar numerosos comportamien- en una cima, aún se corresponderá con
las ecuaciones diferenciales que rigen el tos complejos observados en esos esce- un punto de equilibrio; sin embargo, se
movimiento de un fluido no viscoso. Años narios. El estudio de algunos problemas tratará de un equilibrio inestable, ya que
EN SÍNTESIS
Los procesos geofísicosglobales quedan descritos Dichas ecuacionesentrañan fenómenos turbulen- Para paliar el problema,los modelos atmosféricos
por las ecuaciones de la dinámica de fluidos. Aunque tos y caóticos: su evolución resulta extremadamen- agregan grandes cantidades de datos en intervalos
estas se formularon hace tiempo, la estructura gene- te sensible a pequeñas variaciones en las condicio- de horas. Los modelos oceánicos o sísmicos revis-
ral de sus soluciones aún se desconoce. nes iniciales. ten mayor dificultad.
50 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, octubre 2013DINÁMICA TURBULENTA:Las propiedades no lineales de las ecuaciones que
describen la dinámica de fluidos dificultan sobremanera el estudio de los procesos
geofísicos. A tal fin, los expertos emplean modelos estadísticos y complejas simula-
ciones informáticas. Esta imagen muestra la geometría de la dinámica caótica de
la estratosfera austral. El color rojo corresponde a las regiones en las que las partí-
culas se mueven con mayor rapidez, por encontrarse en la corriente del vórtice po-
lar. En su interior se localiza el agujero de ozono. El color azul indica las regiones
en las que las partículas se mueven más despacio. El contraste brusco de colores se
asocia a las barreras dinámicas.
si perturbamos ligeramente la posición hasta impedir cualquier predicción
de una canica colocada allí, esta rodará futura. De esta forma, si bien las
hacia abajo y se alejará de dicho punto. ecuaciones de un fluido son deter-
Además, la deformación habrá creado ministas y permiten calcular su evo-
dos nuevos valles. Estos representan dos lución una vez conocido su estado
nuevos puntos de equilibrio estables, ha- presente, existen condiciones físicas en el funcionamiento cualitativo del océa-
cia los cuales el sistema evolucionará de las que esto último no es posible. Aunque no, los modelos oceánicos resultan me-
manera espontánea. los resultados de Lorenz permanecieron nos precisos que los atmosféricos. Ello
Tales cambios de estabilidad reciben el en un segundo plano durante una década, se debe, en parte, a que el número de
nombre de bifurcaciones (el ejemplo ante- más tarde desencadenarían una intensa observaciones que se asimilan en estos
rior se conoce como bifurcación de triden- investigación en el campo de los sistemas modelos es mucho menor que en el caso
te, o pitchfork). La teoría de bifurcaciones caóticos. atmosférico. Existen regiones oceánicas
proporciona un marco teórico adecuado que, por su gran impacto en la actividad
para describir todo un espectro de solu- PREDECIR EL CAOS humana, revisten un interés especial.
ciones en sistemas dinámicos no lineales Tales aspectos de la dinámica de fluidos Para describirlas se han desarrollado mo-
a medida que variamos los parámetros marcan la modelización matemática en delos ad hoc que asimilan datos y obser-
físicos que los definen. las ciencias de la Tierra. La dinámica at- vaciones sobre la zona en cuestión. Tales
Lo que ocurre en una inestabilidad de mosférica está sujeta a todo tipo de incer- modelos proporcionan, a intervalos de
Rayleigh-Bénard resulta análogo al ejem- tidumbres. Para abordarlas, se emplean horas, las variables relevantes a distin-
plo que acabamos de describir. Al variar modelos muy complejos que incorporan, tas profundidades.
el gradiente térmico (el equivalente de- con un detalle cada vez mayor, la orogra- Por último, el interior de la Tierra re-
formar el perfil del valle), la transmisión fía del terreno. A fin de que las prediccio- sulta difícilmente accesible. Su explora-
conductiva del calor se torna inestable y nes meteorológicas resulten fiables, los ción requiere el uso de métodos indirectos.
Evidence and Lagrangian Structures», Á. DE LA CÁMARA ET AL. EN Journal of the Atmospheric Sciences, VOL. 70, 2982-3001, SEPTIEMBRE DE 2013
el sistema genera nuevos estados de equi- modelos agregan cientos de miles de ob- A tal fin, los sismógrafos permiten estu-
Cortesía de Álvaro de la Cámara; basado en «Isentropic Transport within the Antarctic Polar-Night Vortex: Rossby Wave Breaking
librio estable; en este caso, los rollos de servaciones procedentes de satélites y es- diar la propagación de ondas sísmicas
convección. Si aumentamos aún más el taciones meteorológicas. durante los terremotos, gracias a lo cual
gradiente térmico, aparecerán sucesivas El procedimiento mediante el cual pueden elaborarse modelos sobre la es-
bifurcaciones y el sistema desarrollará las mediciones se incorporan a los mo- tructura interior del planeta. La reología
nuevos patrones de convección. delos recibe el nombre de asimilación de de las rocas del manto también resulta
A partir de cierto punto, sin embargo, datos. Para mantener las incertidumbres bastante desconocida, ya que las condi-
comenzarán a surgir estados turbulentos, bajo control, los pronósticos se realizan ciones extremas de presión y temperatu-
caracterizados por un comportamiento sobre un conjunto de predicciones que ra a las que se ven sometidas no pueden
complejo y muy desordenado tanto en el se promedian e interpretan con técnicas reproducirse en un laboratorio.
espacio como en el tiempo. Algunos estu- estadísticas. Estos modelos han permitido El desconocimiento de tales aspectos
dios recientes sobre la transición hacia di- que, a partir de las observaciones, pueda en los modelos que describen la dinámi-
námicas turbulentas han revelado que las conocerse a posteriori el estado de toda la ca del interior de la Tierra hace que, por
soluciones inestables desempeñan un im- atmósfera. Varias instituciones internacio- ejemplo, hoy por hoy resulte imposible
portante papel, ya que dejan su impronta nales, como los Centros Nacionales para la predecir un terremoto. En cambio, a cor-
en el régimen turbulento. Predicción Ambiental y el Centro Nacional to plazo los pronósticos meteorológicos
Uno de los pioneros en el estudio de para la Investigación Atmosférica, en sí alcanzan una fiabilidad considerable.
la complejidad en las ecuaciones de di- EE.UU., así como el Centro Europeo de Pre-
námica de fluidos fue Edward Lorenz. visiones Meteorológicas a Medio Plazo,
Hace ahora 50 años, en 1963, al estudiar proporcionan a posteriori datos de reaná- P A R A S A BER M Á S
un modelo atmosférico sencillo, Lorenz lisis que permiten obtener, a intervalos de
Hydrodynamic and hydromagnetic stability.Subrahman-
descubrió que sus ecuaciones contenían horas, el valor de las variables atmosféri- yan Chandrasekhar. Dover, 1961.
soluciones impredecibles. Esta posibili- cas en una red de puntos que cubre toda Geophysical fluid dynamics. Joseph Pedlosky. Springer.
dad ya había sido anticipada en 1908 por la superficie de la Tierra y que alcanza 2. a edición, 1987.
Jules Henri Poincaré en su obra Ciencia altitudes de entre 40 y 65 kilómetros. Dynamic Earth.Geoffrey F. Davies. Cambridge University
Press, 2000.
y método: en ocasiones, las pequeñas in- Aunque en los últimos años ha mejo- The Earth machine: The science of a dynamic planet.
certidumbres en el estado inicial de un rado nuestra comprensión de las gran- Edmond A. Mathez y James D. Webster. Columbia University
sistema pueden amplificarse en el tiempo des corrientes de circulación marinas y Press, 2007.
Octubre 2013, InvestigacionyCiencia.es 51LAS MATEMÁTICAS DEL PLANETA TIERRA
Lourdes Telloes profesora de matemática aplicada en la Universidad
Politécnica de Madrid. Su investigación se centra en el tratamiento
matemático de modelos del clima y el medioambiente.
C L I M AT O L O G Í A
Modelos de balance
energético y clima global
¿Qué mecanismos rigen la evolución del sistema climático
a gran escala?
Lourdes Tello
L
os modelos matemáticos del Atendiendo a los procesos físicos que Su escala global los convierte en una
clim a global constituyen un incorporan, se han construido distintos herramienta muy útil para analizar cli-
ejemplo de las numerosas apli- tipos de modelos climatológicos. Los mo- mas pasados y otros fenómenos de larga
caciones de la matemática a delos de circulación general, por ejemplo, duración, como la teoría de ciclos de Mi-
problemas reales. En el estudio incorporan el efecto de las corrientes at- lankovitch (los cambios prolongados en el
del clima, la matemática proporciona mosféricas, por lo que requieren emplear clima terrestre que, en escalas de decenas
herramientas avanzadas para su análi- las ecuaciones de la dinámica de fluidos. de milenios, obedecen a las variaciones en
sis y predicción mediante un lenguaje Por otro lado, los modelos de balance de la órbita terrestre alrededor del Sol).
universal bien construido. A su vez, la energía intentan analizar los cambios en
climatología plantea nuevos problemas la temperatura del planeta a partir de su ESTADOS DE EQUILIBRIO
de los que se alimenta la matemática, «presupuesto energético»; es decir, to- En función de su dominio espacial, los
contribuyendo así a su desarrollo. mando en consideración la cantidad de modelos de balance de energía pueden
Modelizar el clima del planeta en su calor que la Tierra absorbe del Sol y la clasificarse en tres grupos: modelos cero
conjunto requiere considerar escalas fracción de energía que vuelve a emitirse dimensionales, en los que solo se consi-
espaciales y temporales relativamente hacia el espacio. El desequilibrio entre dera la evolución temporal de la tempe-
grandes. Así, mientras que una tormenta ambas cantidades se traduce en variacio- ratura media del planeta; modelos unidi-
de verano representa un fenómeno dema- nes de la temperatura del planeta. mensionales, en los que la temperatura
siado local para ser incluido en este tipo Los modelos de balance energético son depende de la latitud y del tiempo; y mo-
de modelos, la extensión total de la masa modelos de diagnóstico, no de pronóstico. delos bidimensionales, donde se conside-
de hielo terrestre y su evolución sí deben Aunque su formulación es determinista ra que la temperatura es una función de
tenerse en cuenta. En líneas generales, (dada la temperatura inicial, permiten la latitud, la longitud y el tiempo.
entendemos que la escala espacial global calcular la temperatura en un tiempo pos- Además de la radiación solar absorbida
es del orden de unos 10.000 kilómetros terior), el hecho de que solo consideren por la superficie terrestre y la fracción que
cuadrados o mayor. Dependiendo del unos pocos mecanismos climáticos sim- es reemitida hacia el espacio, los modelos
tipo de fenómeno que nos propongamos ples impide usarlos para realizar predic- bidimensionales incorporan la redistribu-
estudiar, las escalas temporales pueden ciones detalladas. Sin embargo, resultan ción del calor sobre la superficie. El balan-
variar desde años y décadas hasta siglos idóneos para extraer aspectos cualitativos ce energético de todas estas componentes
o incluso milenios. sobre la evolución del sistema climático. permite obtener una ecuación diferencial
EN SÍNTESIS
Los modelos climatológicosde balance energético Su escala globallos hace especialmente adecuados Las técnicas avanzadasde simulación numérica
analizan los cambios en la temperatura superficial para estudiar los patrones cualitativos en la evolu- han permitido ampliar dichos modelos para incor-
a partir de los mecanismos por los que la Tierra ción del clima actual, los climas pasados o los ciclos porar los efectos termostáticos del océano profun-
absorbe y reemite la radiación solar. climáticos de muy larga duración. do y la vegetación.
52 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, octubre 2013Teq Bifurcación
HIELO Y AGUA:La constan-
te solar (la cantidad de energía Ausencia
por unidad de tiempo y unidad de casquetes polares
de superficie que la Tierra reci-
be del Sol, Q) determina los valo-
res estacionarios de la tempera-
tura superficial del planeta (Teq).
Para valores pequeños de Q solo
existe un estado de equilibrio,
correspondiente a una glaciación.
A medida que Q aumenta, cre-
ce el número de estados de equi-
Hielo y agua líquida
librio, uno de los cuales describe
una situación inestable en la que
coexisten hielo y agua líquida.
Para valores mayores de la cons-
tante solar, el único estado de
equilibrio viene dado por un esce- Glaciación
nario sin casquetes polares.
Q
en derivadas parciales cuya incógnita es dad Autónoma de Madrid, y David Arco- el efecto del océano profundo, la tempera-
la temperatura en la superficie terrestre. ya, de la Universidad de Granada, hemos tura superficial se suaviza: su valor míni-
Si acompañamos dicha ecuación de una estudiado de manera cualitativa la rela- mo sobre la superficie aumenta, mientras
condición inicial conocida, obtendremos ción entre la constante solar (la cantidad que el máximo disminuye. Tales resultados
un modelo matemático que describe la de energía que la Tierra recibe del Sol por reflejan el efecto termostático del océano.
evolución de la temperatura en cada pun- unidad de tiempo y unidad de superficie) También la vegetación regula el in-
to de la superficie. y los estados de equilibrio del sistema cli- tercambio de energía entre el suelo y la
Los primeros modelos de balance de mático. Cuando el valor de la constante atmósfera. Sobre una cubierta vegetal,
energía fueron propuestos de forma inde- solar resulta muy bajo o muy elevado, solo la atmósfera se torna más húmeda y el
pendiente por Mijaíl I. Budyko y William existe un estado de equilibrio, el cual se contraste térmico entre la noche y el día
D. Sellers en 1969. Estos modelos pioneros corresponde o bien con una glaciación, o resulta menor que en las zonas sin vegeta-
ya incluían el efecto del coalbedo plane- bien con un escenario sin casquetes pola- ción. El efecto que la biosfera ejerce sobre
tario; es decir, la fracción de la radiación res. Para valores intermedios, sin embar- el clima se plasma también en la arquitec-
solar incidente que es absorbida por la go, aparecen otros estados intermedios tura contemporánea, donde la búsqueda de
superficie de la Tierra. (inestables) en los que coexisten el hielo una mayor eficiencia energética ha llevado
El coalbedo se modeliza como una fun- y el agua líquida. a considerar la construcción de cubiertas
ción que depende de la temperatura en la vegetales sobre el tejado de los edificios.
superficie, lo que introduce en el balance OCÉANO Y VEGETACIÓN Los modelos de balance energético nos
energético mecanismos de retroalimen- Los estudios sobre el paleoclima indican han permitido profundizar en algunos as-
tación: el descenso de las temperaturas que, hacia el fin de la última glaciación pectos cualitativos del clima de nuestro
Wikimedia commons/Ian Paterson/CC BY SA 2.0 (fotografía superior), Smiley.toerist/CC BY SA 3.0 (centro),
favorece la formación de hielo; a su vez, el (hace unos 10.000 años) se produjeron planeta; en particular, en el estudio de
hielo blanco y brillante refleja casi toda la cambios en el océano profundo. Ello su- los mecanismos básicos que rigen su evo-
radiación solar que incide sobre él, lo que giere acoplar los modelos de la tempera- lución global. De cara al futuro, el reto
reduce la fracción de energía absorbida y tura superficial con otros que incluyan el consistirá en desarrollar modelos en tres
provoca una disminución de las tempera- efecto del océano. Los modelos acopla- dimensiones que incluyan el efecto com-
turas, conduciendo a la formación de más dos requieren aplicar una metodología binado del hielo, la atmósfera y el océano
hielo. Por el contrario, si la temperatura distinta a la anterior. El acoplamiento se profundo.
aumenta, disminuye la masa de hielo y, incorpora como una condición de contor-
con ella, la cantidad de radiación refle- no; es decir, como una restricción que la
jada, por lo que la temperatura aumenta solución a la ecuación diferencial debe PA R A S A B E R M Á S
aún más. satisfacer en una región determinada. Di- El planeta Tierra: El papel de las matemáticas y de los
La excentricidad de la órbita terrestre, cha condición de contorno es dinámica superordenadores. Jaques L. Lions. Espasa Calpe, 1990.
Mathematics, climate and environment.Jesús Ildefonso
NOAA Climate Program Office (inferior)
la oblicuidad del eje o la precesión cons- y difusiva, lo que modifica la naturaleza
Díaz y Jaques L. Lions. Masson, 1993.
tituyen algunos de los parámetros que del modelo. On a reaction-diffusion system arising in climatology.
fluctúan en las escalas de tiempo típicas En 2011, en colaboración con Arturo Georg Hetzer y Lourdes Tello en Dynamic Systems and Appli-
de estos modelos, lo cual también produce Hidalgo, de la Universidad Politécnica de cations, vol. 11, págs. 381-402, 2002.
patrones climáticos de larga duración. Madrid, obtuvimos resultados cuantitati- A finite volume scheme for simulating the coupling
between deep ocean and an atmospheric energy balance
En colaboración con Jesús Ildefonso vos relativos a la temperatura mediante
model.Arturo Hidalgo y Lourdes Tello en Modern Mathema-
Díaz, de la Universidad Complutense de técnicas avanzadas de simulación numéri- tical Tools and Techniques in Capturing Complexity. Springer
Madrid, Jesús Hernández, de la Universi- ca. Nuestro análisis mostró que, al incluir Series in Complexity, 2011.
Octubre 2013, InvestigacionyCiencia.es 53LAS MATEMÁTICAS DEL PLANETA TIERRA
Jordi Bascomptetrabaja en el grupo de ecología
integrativa de la Estación Biológica de Doñana del CSIC,
en Sevilla. Ha destacado por sus investigaciones sobre
la estructura de las redes ecológicas y su impacto en la
biodiversidad y la estabilidad de los ecosistemas.
EcOLOGÍA líquido del gaseoso a medida que se in-
Las matemáticas
crementa la temperatura de un fluido. El
mismo concepto describe cambios abrup-
tos en ecología.
Otro caso paradigmático lo hallamos
de la biodiversidad
en el comportamiento de un lago a me-
dida que se va vertiendo en él más y más
nitrógeno. Un lago prístino se caracteriza
por poseer aguas transparentes, una ele-
vada concentración de oxígeno y una gran
Indicadores de alerta temprana y teoría diversidad de especies. Si comenzamos a
incorporar nitrógeno, en un principio el
de redes para entender el cambio global lago permanecerá en su estado original.
Sin embargo, llegará un momento en que
Jordi Bascompte la cantidad de nitrógeno alcanzará un
umbral crítico. A partir de entonces, un li-
N
gero aumento en su concentración pro-
uestro planeta está cambian- Ese error se aprecia con claridad en los vocará que el lago pase a un estado muy
do a un ritmo nunca visto. El modelos de poblaciones que habitan en diferente del inicial: las aguas se volverán
incremento en las emisiones paisajes fragmentados. En los años ochen- túrbidas y surgirán unas pocas especies
de dióxido de carbono o la ta, el biólogo teórico Russell Lande de- de algas que crecerán con gran rapidez y
fragmentación de los hábi- sarrolló un modelo matemático para pre- consumirán todo el oxígeno.
tats, entre otros procesos, han llevado la decir qué ocurriría con una especie de cá- De nuevo, cerca del punto crítico no
biosfera a una situación crítica. No obs- rabo que se encontraba amenazada por la podemos extrapolar lo que había venido
tante, aún sabemos muy poco sobre cómo tala masiva de bosques maduros en el no- sucediendo antes de que nos acercásemos
responderán los ecosistemas. Profundizar roeste de Estados Unidos. Lande conclu- a él. Una segunda propiedad de ese cam-
en esta cuestión requiere aunar la inves- yó que, una vez que cierta cantidad crí- bio de fase la hallamos en su irreversibi-
tigación en diversos ámbitos; entre ellos, tica de bosque hubiese sido destruida, la lidad: para recuperar el lago prístino, no
la matemática. población se extinguiría con independen- bastará con sustraer nitrógeno hasta al-
Las personas tendemos a pensar de cia de que aún quedase una proporción canzar la cantidad que inició el cambio
forma lineal, seguramente como reflejo de paisaje prístino. abrupto, sino que deberemos limpiarlo
de una educación basada en la regla de El concepto de umbral de extinción hasta concentraciones mucho menores.
tres. Así, si al destruir el 10 por ciento de constituye un ejemplo del gran poder pe- En otras palabras: el camino de ida no es
un bosque tropical desaparecen el 5 por dagógico de las matemáticas en el campo el mismo que el de vuelta. Las investiga-
ciento de las especies, nos inclinaremos a de la biología de la conservación. Tanto ciones del ecólogo Marten Scheffer, de la
concluir que arrasar el 30 por ciento del es así que, en el caso mencionado, Lande Universidad de Wageningen, han pues-
primero conllevará la pérdida del 15 por fue llamado a testificar en el juicio que en- to de manifiesto que esas transiciones
ciento de las segundas. Hoy sabemos que frentaba a la industria maderera contra abruptas se han observado en numero-
esta forma de razonar es errónea. A menu- los movimientos conservacionistas. sos ecosistemas de otras clases.
do —y al igual que ocurre con numerosos El siguiente paso en esta línea de in-
sistemas complejos de otras clases— la Transiciones abruptas vestigación consiste en preguntarse si
respuesta de los ecosistemas no es lineal. El ejemplo anterior ilustra que en los eco- podemos predecir cuándo nos hallamos
Ello significa que no existe una relación sistemas existen puntos críticos, o fenó- próximos a una transición crítica. Nótese
proporcional entre la magnitud de una menos de umbral. Estos resultan análo- que esta cuestión tiene un interés aplica-
perturbación y sus consecuencias. gos a los que en física separan el estado do inmediato: por lo dicho arriba, resulta
EN SÍNTESIS
La manera en que un ecosistemareacciona ante Esos cambios drásticos pueden ser irreversibles. La estabilidad de un ecosistemadepende también
jesús morón (fotografía)
los cambios del entorno no siempre es lineal. En Para prevenirlos, los investigadores estudian qué de la red que forman las relaciones entre especies.
ocasiones, pequeñas alteraciones en el hábitat patrones de comportamiento desarrolla un eco- El estudio de las propiedades matemáticas de di-
pueden provocar el colapso abrupto de un eco- sistema que se encuentra próximo a un punto chas redes permite abordar el cambio global desde
sistema. crítico. un punto de vista sistémico.
54 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, octubre 2013mucho más fácil revertir la situa- Turdus merula Turdus iliacus Sitta europaea lla que maximiza las condiciones
(mirlo común) (zorzal alirrojo) (trepador azul)
ción antes de llegar al umbral que para la persistencia de un número
después de haberlo traspasado. mayor de especies. Las redes mu-
Hace cuatro años, como parte tualistas, por tanto, constituyen la
de una colaboración interdiscipli- arquitectura de la biodiversidad.
nar liderada por Scheffer, publica- Este enfoque basado en la es-
mos un artículo de revisión en la tabilidad estructural es nuevo en
revista Nature en el que repasá- ecología. Hasta la fecha, la mayor
bamos diversos indicadores esta- parte de los desarrollos teóricos se
dísticos que, al menos en ciertos han basado en la noción de estabi-
casos, sirven para advertir de la lidad local. Esta determina si, tras
cercanía de un cambio abrupto. En sufrir una perturbación infinitesi-
general, a medida que un sistema mal, un ecosistema regresa o no a
se aproxima a un punto sin retor- su punto de equilibrio.
no, podemos esperar dos tipos de Crataegus monogyna Taxus bacatta Paeonia officinalis El reto actual consiste en aunar
(majuelo) (tejo común) (rosa de rejalgar)
comportamiento: por un lado, las ambas líneas de investigación: el
fluctuaciones comenzarán a crecer estabilidad sistémica:Las interacciones mu- estudio de indicadores de alerta
de manera considerable; por otro, tualistas entre especies forman redes complejas. Los mo- temprana (normalmente conside-
si perturbamos el sistema, el tiem- delos matemáticos han demostrado que su estructura es rados en sistemas ecológicos sen-
po que este tardará en regresar a su aquella que favorece la coexistencia de todas las especies, cillos) y el análisis de la comple-
estado de reposo también aumen- por lo que pueden considerarse la «arquitectura» de la jidad que emana de las relacio-
tará de forma notable. biodiversidad. Este ejemplo ilustra algunas de las relacio- nes de dependencia mutua entre
Esos indicadores parecen fun- nes mutualistas entre plantas con frutos y sus dispersores especies. De esta manera, la ma-
cionar en una gran variedad de si- de semillas observadas en la Sierra de Cazorla. temática de las redes complejas
tuaciones. La razón se debe a que, nos permite abordar el cambio
cerca de un punto crítico, los detalles con- repite una y otra vez. Sus características global desde un punto de vista sistémico.
cretos del sistema no resultan demasiado principales son tres: se trata de redes muy En lugar de estudiar sus efectos sobre la
relevantes, ya que las leyes matemáticas heterogéneas, «encajadas» y basadas en abundancia o la distribución geográfica
que dictan su dinámica global son siem- dependencias asimétricas. de una especie, podemos evaluar su im-
pre muy similares. Es el conocimiento Su heterogeneidad se manifiesta en el pacto sobre comunidades enteras.
de dichas propiedades matemáticas lo hecho de que, mientras que la mayoría de Charles Darwin, el padre de la teoría
que, más allá de los detalles biológicos las especies interaccionan con solo unas de la evolución por selección natural,
del ecosistema, rige su comportamiento pocas (son «especialistas»), algunas son escribió en su autobiografía: «Lamento
a gran escala. supergeneralistas y se relacionan con profundamente no haber perseverado lo
un número muy grande de especies. Por suficiente para entender al menos algu-
La arquitectura otro lado, hablamos de redes encajadas nos de los grandes principios fundamen-
de la biodiversidad porque, cuanto más especialista es una tales de las matemáticas; pues la gente
Hasta ahora, ese tipo de transiciones especie, más generalistas son aquellas con así formada parece poseer un sentido
abruptas y sus indicadores de alerta tem las que interacciona, lo cual da lugar a adicional.» Durante los próximos años,
prana se han estudiado en sistemas rela una estructura anidada (por ejemplo, la deberemos esforzarnos por entender me-
tivamente sencillos. Por tanto, persiste la planta que solo interacciona con un ani- jor los riesgos sistémicos que el cambio
duda de si dicho comportamiento seguirá mal lo hace con aquel que interacciona global implica para los ecosistemas. Cabe
observándose en casos más complejos. con todas las especies vegetales; la que esperar que dicho objetivo se logre gracias
Hasta hace poco, la complejidad se había interacciona con dos lo hace con los dos un enfoque interdisciplinar en el que, sin
PEDRO JORDANO (datos de la red); LUIJO GILARANZ (diseño) Y JOAQUÍN LÓPEZ ROJAS (ilustraciones)
asociado a la dinámica de los ecosistemas. animales más generalistas, etcétera). Por duda, las matemáticas desempeñarán una
Pero existe otro factor a tener en cuenta: último, si una especie de planta depende función clave.
el número de especies que viven en un mucho de un polinizador, este apenas de-
hábitat y la estructura de la red que surge pende de la planta. P A R A S A B ER M Á S
al considerar sus relaciones mutuas. Los patrones estructurales menciona-
Un ejemplo lo hallamos en las redes dos resultan clave para la persistencia de Redes mutualistas de especies.Jordio Bascompte y Pedro
Jordano en Investigación y Ciencia, n. 384, septiembre de
que forman las plantas con flor y los ani- una red mutualista. En este contexto, la 2008.
males que las polinizan o dispersan sus estabilidad estructural determina el vo- The architecture of mutualistic networks minimizes com-
semillas. El estudio de estas redes mutua- lumen del espacio de parámetros (valores petition and increases biodiversity.Ugo Bastolla et al. en
listas ha demostrado que la coevolución de las tasas de crecimiento de las especies, Nature, vol. 458, págs. 1018-1020, 23 de abril de 2009.
entre unas y otros no tiene por qué con- por ejemplo) compatibles con la coexisten- Disentangling the web of life.Jordi Bascompte en Science,
vol. 325, págs. 416-419, 24 de julio de 2009.
ducir ni a una relación muy especializada cia de todas las especies. Dado que en la Early-warning signals for critical transitions.Marten Schef-
entre dos especies, ni a un proceso difuso naturaleza siempre sobrevienen cambios, fer et al. en Nature, vol. 461, págs. 53-59, 3 de septiembre de
que escape a cualquier análisis. cuanto mayor sea ese abanico de paráme- 2009.
A pesar de las diferencias manifiestas tros más fácil será mantener la coexisten- Approaching a state shift in Earth’s biosphere.Anthony
D. Barnosky et al. en Nature, vol. 486, págs. 52-58, 7 de junio
en el tipo de mutualismo y otros factores cia. Los análisis matemáticos basados en de 2012.
ecológicos, se ha observado que dichas este concepto han revelado que la estruc- Ecosistemas al borde del colapso.Carl Zimmer en Investi-
redes exhiben una arquitectura que se tura observada en la naturaleza es aque- gación y Ciencia, n.o 435, diciembre de 2012.
Octubre 2013, InvestigacionyCiencia.es 55LAS MATEMÁTICAS DEL PLANETA TIERRA
Joan Saldañaes profesor titular de matemática
aplicada en la Universidad de Gerona e investigador
responsable del grupo «Ecuaciones diferenciales,
modelización y aplicaciones», de la misma
universidad. Investiga en biología matemática
y redes complejas.
EPIDEMIOLOGÍA
Modelos de propagación
de enfermedades
La estructura de las sociedades modernas ha modificado los patrones
de contagio de las enfermedades infecciosas
Joan Saldaña
L
a propagación de epidemias nos en humanos, sino también a la alerta cau- Patrones de transmisión
brinda una de las muestras más sada por su avance geográfico. ¿Hemos Los modelos clásicos compartimentan
claras de la reciente globaliza- aprendido algo de estos episodios? la población en grupos homogéneos. El
ción de la actividad humana. La Por lo que respecta a la modelización modelo SEIR, por ejemplo, la divide en
gran movilidad de las personas matemática de la dinámica de las enfer- individuos que se hallan en riesgo de en-
favorece la rápida difusión de enfermeda- medades infecciosas, podemos decir que fermar (S, del inglés susceptible), porta-
des entre distintas regiones del planeta. hubo un antes y un después del SRAS. dores del patógeno pero que aún no pue-
Un ejemplo aún vigente lo hallamos en Su rápida propagación a Canadá y Es- den transmitirlo (E, exposed), infecciosos
el brote del síndrome respiratorio de tados Unidos propició una colaboración (I, infectious) y recuperados (R, recovered).
Oriente Medio, causado por un nuevo tipo internacional sin precedentes coordinada Además, se supone que todos los indivi-
de coronavirus detectado en septiembre por la Organización Mundial de la Salud. duos cuentan con la misma probabilidad
de 2012. Unos años antes, en noviembre Como resultado, se obtuvo información de entrar en contacto unos con otros.
de 2002, otra variante de esta clase de muy detallada sobre las rutas de trans- La ventaja de dichas hipótesis reside
patógenos había provocado la aparición misión de las infecciones ocurridas en en que permiten obtener modelos relati-
del síndrome respiratorio agudo severo Hong Kong, Singapur y Ontario, entre vamente simples. Sin embargo, las previ-
(SRAS). Aunque el brote se originó en otros lugares. siones iniciales sobre la propagación del
China, la enfermedad acabó ocasionan- Aquellos datos arrojaron dudas sobre SRAS basadas en esos supuestos resulta-
do unas 800 muertes en Asia y otros una de las premisas básicas empleadas ron excesivamente alarmistas. La razón
continentes. A principios de este año se hasta entonces en la modelización de probablemente se debiese a que los patro-
detectaron en China los primeros casos epidemias: a saber, que los individuos nes sociales de transmisión de una enfer-
de infección en humanos de la gripe A de una población se mezclan de manera medad infecciosa resultan más complejos
H7N9, de origen aviar. homogénea. Ello puso de relieve que los que los que se derivan de una mezcla ho-
La repercusión mediática que han resultados basados en transmisiones lo- mogénea de individuos.
recibido estas epidemias no solo se debe cales no siempre pueden extrapolarse a En las sociedades modernas existen
a la novedad de observar dichos brotes un ámbito global. diversos grados de mezcla entre indivi-
EN SÍNTESIS
Los modelos clásicosde propagación de epidemias Durante los últimos años,diversos sistemas de A fin de incorporar la estructura de los contactos
suponen contactos homogéneos entre la población. alerta han permitido obtener información muy infecciosos en una población, los expertos están
La globalización, sin embargo, está obligando a detallada sobre las rutas de transmisión de varios desarrollando nuevos modelos basados en la teo-
considerar otras pautas de contagio. brotes infecciosos globales. ría de redes.
56 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, octubre 2013duos. Algunos espacios, como es- 10.000 visite los distintos grupos en los que
cuelas, hospitales, centros co- S (en riesgo) se divide la población, así como del
9000
merciales o grandes edificios de tiempo medio que pasará en cada
oficinas, reúnen una serie de con- 8000 R (recuperados) uno de ellos.
diciones que facilitan sobremanera 7000 Una vez conocida esa matriz, la
Número de individuos
la propagación de agentes infeccio- cual puede obtenerse a partir de
6000
sos; sobre todo, si se trata de enfer- las ecuaciones para la dinámica
medades que se transmiten por vía 5000 de la epidemia, la definición de R0
respiratoria. Las zonas rurales, en E (portadores) debe generalizarse para dar cuen-
4000
cambio, con una escasa densidad de ta del carácter «multidimensional»
población, ofrecen un freno para la 3000 I (infecciosos) del patrón infeccioso. En términos
propagación a escala regional. Pa- 2000
técnicos, R0 pasa a definirse como
rece claro, pues, que nuestros mo- el radio espectral de dicha matriz
delos deberían contemplar esas es- 1000 (en esencia, el mayor de sus valores
tructuras de población. 0 propios). Si bien se trata de una de-
Por otro lado, no todos los indi- 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 finición más abstracta, es también
Días desde el inicio del brote
viduos presentan el mismo núme- más general y puede aplicarse a si-
ro de contactos. En el caso de las REDES DE CONTAGIO:Simulación de la evolución tuaciones en las que la población,
enfermedades de transmisión se- de una epidemia de tipo SEIR sobre una red de con- además de mostrar una estructura
xual, como el sida, es bien conocida tactos formada por 10.000 individuos. El número de social compleja, se halla repartida
la existencia de una gran dispari- contactos por nodo sigue una distribución exponencial geográficamente en subpoblaciones
dad en el número de contactos por negativa de media 8. La duración media del período conectadas entre sí por flujos mi-
individuo, hasta el punto de que latente es de 5 días, y la del período infeccioso, de 7 días. gratorios.
unos pocos de ellos pueden actuar La tasa de transmisión por contacto entre los individuos Capítulo aparte merecen enfer-
como «superpropagadores». En el en riesgo y los sujetos infecciosos es de 0,05. medades infecciosas como la ma-
caso del SRAS, cabe mencionar el laria, el dengue o la enfermedad
brote que tuvo lugar en Hong Kong de Chagas, entre otras muchas. En
en 2003, donde se produjeron dos gran- A escala local (escuelas, hospitales, ellas, el agente infeccioso se propaga de
des grupos epidémicos. En uno de ellos, etcétera) resulta posible obtener una des- un huésped a otro a través de un vector
hubo un mínimo de 125 personas infec- cripción bastante exacta de los contactos (mosquitos en el caso del dengue y la ma-
tadas por el mismo individuo. entre individuos. A escalas mayores, los laria, y artrópodos en el de la enfermedad
Ambos aspectos, los distintos niveles modelos probabilísticos de redes ofrecen de Chagas). Debido a la complejidad del
de mezcla entre grupos y la heterogenei- la posibilidad de estudiar la propagación proceso de transmisión, aún quedan sin
dad en el número de contactos por indivi- de epidemias en conjuntos de redes de responder numerosas preguntas sobre
duo, influyen en la estimación inicial del contacto que comparten características su propagación y el impacto de las me-
número medio de contagios que origina similares. A partir de ellos, las herra- didas de control adoptadas. Esta situa-
un infectado. Esta cantidad, el número re- mientas matemáticas de la teoría de re- ción hace de los modelos matemáticos
productivo básico, o R0, resulta fundamen- des permiten obtener predicciones sobre una herramienta imprescindible para
tal en epidemiología, ya que determina el la probabilidad de que un brote llegue a responder con rigor a varias cuestiones
progreso (R0 > 1) o la extinción (R0 < 1) de constituir una epidemia o sobre la efectivi- fundamentales. ¿Cuál es el riesgo de que
un brote epidémico. R0 constituye una me- dad de las diversas medidas de contención. una enfermedad endémica reaparezca
dida de cuán contagiosa es una enferme- Este enfoque, a pesar de no ser dinámico, en una región determinada? ¿Cómo se
dad, por lo que depende tanto de factores constituye una alternativa a los modelos relaciona dicho riesgo con las posibles va-
biológicos (como la duración del período compartimentales (SEIR). Una tercera riaciones climáticas de la región? ¿Cuál es
infeccioso, la probabilidad de transmisión vía, complementaria a las anteriores, la la probabilidad de que emerja una nueva
del patógeno o su tasa de mutación) como proporcionan los modelos de simulación enfermedad en una zona donde antes no
sociales y demográficos (la relación entre basados en individuos, también conocidos la había?
susceptibilidad y edad, la tasa de contac- como IBM por sus siglas en inglés (indivi-
tos de los primeros individuos infectados, dual-based models). PA R A S A B E R M Á S
etcétera). La definición de R0 resulta intuitiva y
Network theory and SARS: Predicting outbreak diversity.
fácil de formalizar cuando todos los indi- Lauren A. Meyers et al. en Journal of Theoretical Biology,
Redes sociales y contagio viduos son iguales frente a la enfermedad vol. 232, págs. 71-81, 7 de enero de 2005.
Cuando aparece un brote epidémico cau- y se mezclan entre sí de manera homo- Las grandes plagas modernas.Salvador Macip. Editorial
sado por un nuevo agente infeccioso, las génea. Sin embargo, si alguna de esas Destino, 2010.
primeras medidas van encaminadas a de- hipótesis no se cumple, deben introdu- Modeling infectious diseases in humans and animals.Matt
J. Keeling y Pejman Rohani. Princeton University Press, 2008.
terminar su capacidad de transmisión y cirse nuevos conceptos matemáticos que Evolución vírica en la era genómica.Raúl Rabadán en Inves-
las primeras incidencias. Pero ¿podemos permitan calcular R0 de manera rigurosa tigación y Ciencia, n.o 427, abril de 2012.
aspirar a conocer la red social formada y más acorde con la realidad. Uno de ellos Mathematical tools for understanding infectious disease
por los contactos entre los individuos es la matriz de la siguiente generación. dynamics.Odo Diekmann, Hans Heesterbeek y Tom Britton.
Princeton University Press, 2013.
de una población? Y, aun conociéndola, Esta contiene la información del número Sistema de Alerta y Respuesta ante Epidemias y Pande-
¿qué información deberíamos introducir de infecciones por unidad de tiempo que mias.Organización Mundial de la Salud. www.who.int/csr/
en ella para calcular R0? producirá un individuo infeccioso cuando es/index.html
Octubre 2013, InvestigacionyCiencia.es 57También puede leer
