Modelización de la dinámica de fluidos con autómatas celulares - Liliana Di Pietro INRA Avignon - France
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Modelización de la dinámica de
fluidos con autómatas celulares
Liliana Di Pietro
INRA Avignon - France
Valladolid - Noviembre 2003
Plan
Introducción a los autómatas celulares
Los gases en red: caso particular de autómata celular
Aplicaciones al estudio de la transferencia de fluídos
en medio poroso
Un ejemplo: Obtención de un modelo macroscópico de
transferencia preferencial de agua en suelos
v
Valladolid - Noviembre 2003
1 Autómatas Celulares
Valladolid - Noviembre 2003
Qué es un Autómata Celular ?
Sistema matématico formado
por células idénticas
(robots virtuales program ados
en un ordenador)
El sistema completo es capaz de simular
una dinámica compleja
Valladolid - Noviembre 2003
Cada célula : robot o autómata
Responde a una señal en función de una serie de reglas
prefijadas (reglas de transición)
A1
Señal A0
de Entrada Reglas de A2
transición
A2
Valladolid - Noviembre 2003
Aplicaciones
Método alternativo de resolución
de ecuaciones diferenciales
Reglas de evolución
microscópicas
Media estadística de
las variables
microscópicas
correspondientes
Ecuación diferencial
macroscópica
Valladolid - Noviembre 2003
Ventajas
Las reglas de transición se expresan en términos del
álgebra de Boole
Se evitan los problemas de redondeo del cálculo
flotante
Se adaptan fácilmente al cálculo paralelo
Ningún tratamiento especial para los problemas no
lineales
Valladolid - Noviembre 2003
Wolfram, 1986
Algunos ejemplos
Estado final homogéneo Estructura periódica fractal
Estructuras complejas: Estructura caótica
ordenadas y aleatorias
Valladolid - Noviembre 2003
2 Los gases en red
Un caso particular de autómata celular
Valladolid - Noviembre 2003
Gas en red
Teoría cinética Teoría de
de gases (1850) Autómatas (1930)
Modelo molecular
Estructura de autómata
discreto
Espacio contínuo e isótropo Espacio discreto, isotropía incompleta
Tiempo contínuo Tiempo discreto
Modelo de fluído
Valladolid - Noviembre 2003Principio físico
Las leyes macroscópicas no dependen del
tipo de interacción microscópica
1 Leyes de conservación
2 Simetría del espacio
Valladolid - Noviembre 2003Gaz en Red
Una position en una red discreta
Un número finito ☺ ☺
de estados
☺
☺
Una serie de reglas de transición
☺
Valladolid - Noviembre 2003El espacio discreto (lattice)
Se requiere que el orden
de simetría 3D - FCHC
de la red sea elevado Proyección 3D del hipercubo 4D a caras centradas
Triangular
2D
Valladolid - Noviembre 2003Configuration de las células
Serie de estados discretos
definidos por:
un número finito de
partículas
un número finito de
velocidades
Valladolid - Noviembre 2003Reglas de transición Conservación de la masa
y de la cantidad de movimiento
Propagación
T T+1
Colisiones / Interacciones de largo alcance
1 2 1 2
T T+1
Valladolid - Noviembre 2003Simetría Leyes de
Leyes de
Simetría
Conservación
Conservación
Ecuaciones macroscópicas:
Navier - Stokes
LG son un modelo de fluído
Valladolid - Noviembre 2003Gran variedad de modelos y de
aplicaciones
LB
LG
Frisch et al. 1990 2003
1986
Valladolid - Noviembre 2003Gran variedad de modelos y de
aplicaciones
Partículas
Multi-especies
indistinguibles
Dinámica
Dinámica Transición de sistemas Sistemas
de gases de fase binarios, reactivos
ternarios...
Circulación de fluídos en medio poroso
Valladolid - Noviembre 2003Ejemplos
Simulación de la circulación
de un fluído alrededor de un
obstáculo
Sommers and Rem, 1992
Valladolid - Noviembre 2003Ejemplos
Sedimentación y agregación
de cristales
(difusión en un fluído)
Bremond and Jeulin, 1994
Valladolid - Noviembre 20033 Modelización de la dinámica de
fluidos en un medio poroso
Valladolid - Noviembre 2003Adaptaciones
Simulación
Ciertos nodos de la red se definen como sitios
de un medio
prohibidos para las partículas
poroso
Interacciones Se definen reglas de colisión particulares :
fluído / solido reflexión, adsorción, reactividad, etc.
Fuerzas
externas Las partículas son desviadas en una dirección dada
(ej: gravedad) con probabilidad p .
Valladolid - Noviembre 2003Modelo ILG
(Interacting Liquid-Gas, Appert et Zaleski, 1990)
Modelo de una sola especie con:
Interacciones de largo alcance entre las partículas
(simulación de fuerzas de Van der Waals de gases reales)
Fluído que realiza una transición de fase
Líquido-Gas
Valladolid - Noviembre 2003Transición de fase
Valladolid - Noviembre 2003Adaptación al medio poroso no saturado
Condiciones iniciales:
Medio poroso: un algoritmo probabilístico genera la distribución
del sólido
Fases líquida y gaseosa : densidades de equilibrio
Fuerza de gravedad
Propiedades de mojabilidad (fluido mojante como el agua)
Principio de similaridad ( igualdad de magnitudes
adimensionales )
Valladolid - Noviembre 2003Mojabilidad
Fluído no-mojante
Fluído mojante
Valladolid - Noviembre 2003Ley de Poiseuille
y
x
Fg
Perfil de velocidad en función de
la distancia a la pared
Valladolid - Noviembre 2003Ley de Darcy Valladolid - Noviembre 2003
Infiltración en medio no saturado
Medio poroso con una fisura plana
Secuencia de infiltración en un medio poroso
Infiltration cumulada en función del tiempo
Valladolid - Noviembre 2003Obtención de un modelo
4 macroscópico de transferencia
preferencial del agua en suelos
Valladolid - Noviembre 2003Flujo preferencial
Objetivo: obtener un modelo
simple de predicción de la
transferencia preferencial
del agua en los suelos
Valladolid - Noviembre 2003Estudios experimentales
Frente de infiltración heterogéneo
Dificultades de estimación con los
Water Content with Capacity Probes instrumentos clásicos
8 cm 8 cm
1600 1600
1400 1400
mV
mV
1200 1200
1000 1000
0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600
Time Time
45 cm
1600
1400
1600
mV
1200
1400
1000
mV
1200
0 100 200 300 400 500 600 1000
Time
0 100 200 300 400 500 600
Time
45 cm
Valladolid - Noviembre 2003Tomografía eléctrica
Método
cualitativo
Valladolid - Noviembre 2003Las simulaciones numéricas con
los modelos de gas en red
Analizar los Caracterizar el Obtener relaciones
mecanismos del campo de velocidades y entre flujo y
flujo preferencial los perfiles de estructura del
humedad medio poroso
Formular leyes conceptuales y un modelo
macroscópico de predicción del flujo preferencial
Valladolid - Noviembre 2003Relación flujo-humedad en los macroporos
Flujo
Drenaje
Infiltración
u = bθ a − ν ∂θ
∂t Humedad volumétrica
Valladolid - Noviembre 2003Relaciones constitutivas en los suelos
La relation entre el flujo y
la cantidad de agua en los
macroporos presenta un
ciclo de histéresis
1
0.8
0.6
su
u
0.4
0.2
0
u = bθ − ν ∂θ
0.01
0.02
0.03
0.04
0
a
∂t
w
Valladolid - Noviembre 2003Modelo KDW
60
50
40
∂θ + ∇ ⋅ u = 0
1
−
h
30
m
∂t m
20
u
u = bθ a − ν ∂θ
10
∂t
1.5
2
0.5
1 Time
h
100 80
Modelo KDW
1
−
60
∂ u + pu q ∂ u = ν ∂ u
h
2 m
m
40
∂t ∂z ∂z 2 u
20
0.5
1 Time
1.5
2
h
Valladolid - Noviembre 2003Síntesis
Los gases en red son útiles para estudiar fenómenos que
son difíciles de analizar experimentalmente
Limitaciones de escala de observación (prácticos a la escala
de poros)
“Buen comportamiento” sólo para velocidades no muy
elevadas
Modelos de Lattice Botzmann se adaptan mejor para
problemas con muchos grados de libertad o a la escala
macroscópica
Valladolid - Noviembre 2003Muchas gracias por vuestra atención
Valladolid - Noviembre 2003También puede leer
