Conocimiento especializado del profesorado de matemática en formación inicial acerca de los polígonos
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Uniciencia Vol. 36(1), pp. 1-17, January-December, 2022 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.7
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia E-ISSN: 2215-3470
revistauniciencia@una.cr CC: BY-NC-ND
Conocimiento especializado del
profesorado de matemática en
formación inicial acerca de los polígonos
Specialized knowledge of polygons of math teachers in training
Conhecimento especializado de professores de matemática na formação
inicial sobre polígonos
Elizabeth Advíncula-Clemente1, Marisel Beteta-Salas1, José León-Ríos1, Isabel Torres-Céspedes1,
Miguel Montes2
Received: Dec/30/2020 • Accepted: Set/18/2021 • Published: Jan/31/2022
Resumen
En este artículo nos centramos en comprender el conocimiento especializado que muestra una profesora
de educación secundaria en formación, cuando enseña polígonos como parte de su práctica preprofesional
en el último año de su carrera. Para explorar dicho conocimiento nos basamos en el modelo Mathematics
Teacher´s Specialised Knowledge (MTSK) creado por el grupo de investigación de la Universidad de Huelva,
España. Utilizamos una metodología de investigación cualitativa y desde el paradigma interpretativo damos
cuenta de un estudio de caso que permitirá identificar, describir y comprender el conocimiento geométrico
de la maestra referente a los polígonos. La recogida de información se realizó a través de observación no
participante, mediante grabaciones realizadas durante tres sesiones de clase con estudiantes de quinto
grado de educación secundaria. Para la validación del análisis usamos la triangulación de expertos externos
en el modelo MTSK. Los resultados evidencian el potencial que ofrece el MTSK como herramienta para
profundizar en la caracterización y comprensión del conocimiento del profesorado, cuyo uso resultaría
favorable en la formación inicial de docentes de educación secundaria, pues permite que el personal docente
en formación inicial reflexione sobre la necesidad de tener un conocimiento matemático y didáctico sobre
el contenido a enseñar. Los resultados muestran como el conocimiento del tema de polígonos se relaciona
íntimamente con el conocimiento de la enseñanza de la matemática vinculado a este tema, así como al
conocimiento de las características del aprendizaje de la matemática.
Palabras clave: Conocimiento especializado; docente en formación; educación secundaria; polígonos.
Elizabeth Advíncula-Clemente, eadvincula@pucp.edu.pe, : https://orcid.org/0000-0003-3941-3139
Marisel Beteta-Salas, mbeteta@ulima.edu.pe, : https://orcid.org/0000-0003-01000-8517
José León-Ríos, jleonr@ulima.edu.pe, : https://orcid.org/0000-0002-3128-788X
Isabel Torres-Céspedes, iztorres@ulima.edu.pe, : https://orcid.org/0000-0002-0673-8984
Miguel Montes, miguel.montes@ddcc.uhu.es, : https://orcid.org/0000-0003-3181-0797
1 Instituto de Investigación Científica, Universidad de Lima, Lima, Perú.
2 Centro de investigación COIDESO de la Universidad de Huelva, Huelva, España.
1http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.7
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
Abstract
The paper is aimed to understand the specialized knowledge shown by a secondary education teacher
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
in training when teaching polygons as part of her pre-professional practice on her senior year. This
exploration was based on the Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) model developed by
a research group in the University of Huelva, Spain. The research methodology was qualitative. Based on
an interpretive approach, a case study was used to identify, describe, and understand the student teacher’s
geometric knowledge of polygons. Information was collected through non-participant observation, using
recordings of three sessions with fifth graders of secondary education. In order to validate the analysis,
we used external expert triangulation in the MTSK model. The results show the potential offered by the
MTSK model as a tool to deepen the characterization and understanding of teachers’ knowledge, favoring
the initial training of secondary education teachers by allowing them to reflect on the need to have a
mathematical and didactic knowledge of the content to be taught. Results show how the knowledge of
polygons is closely related to the knowledge of teaching mathematics linked to this subject, as well as to
the knowledge of the characteristics of mathematics learning.
Keywords: specialized knowledge; teacher in training; secondary education; polygons.
Resumo
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
Neste artigo, focamos na compreensão do conhecimento especializado demonstrado por uma professora
do ensino médio em formação ao ensinar polígonos como parte da prática pré-profissional em seu último
ano acadêmico. Para explorar esse conhecimento, apoiamo-nos no modelo de Mathematics Teacher´s
Specialised Knowledge (MTSK) (Conhecimento Especializado do Professor de Matemática) criado pelo grupo
de pesquisa da Universidade de Huelva, Espanha. Utilizamos uma metodologia de pesquisa qualitativa e, a
partir do paradigma interpretativo, explicamos um estudo de caso que nos permitirá identificar, descrever e
compreender o conhecimento geométrico da professora sobre polígonos. As informações foram coletadas
por meio de observação não participativa, mediante gravações feitas durante três aulas com alunos do
quinto ano do ensino médio. Para a validação da análise, usamos a triangulação de especialistas externos no
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modelo MTSK. Os resultados mostram o potencial oferecido pelo MTSK como ferramenta para aprofundar na
caracterização e compreensão do conhecimento dos docentes, cujo uso seria favorável na formação inicial
de professores do ensino médio, pois permite àqueles em formação inicial refletir sobre a necessidade
de ter um conhecimento matemático e didático sobre o conteúdo a ser ensinado. Os resultados mostram
como o conhecimento do tema dos polígonos está intimamente relacionado ao conhecimento do ensino
da matemática vinculado a esse tópico, bem como ao conhecimento das características da aprendizagem
da matemática.
Palavras-chave: Conhecimento especializado; professores em formação; ensino médio; polígonos.
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Introducción y el Programa Curricular de Educación Se-
cundaria, documentos en los que, respecto a
La formación de docentes de matemá- los polígonos, se señala que al egresar de la
ticas es objeto de estudio desde diferentes educación básica el estudiantado debe ser ca-
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ámbitos. Encontramos investigaciones que paz de clasificar polígonos según sus propie-
reportan que el personal docente evidencia dades, reconociendo la inclusión de una clase
una escasa preparación en aspectos matemá- en otra, seleccionar, combinar y adaptar va-
ticos y didácticos. Por ejemplo, Díaz (2015) riadas estrategias, procedimientos y recursos
menciona que egresan con competencias ma- para determinar longitud, perímetro o área de
temáticas insuficientes y reproducen prácti- formas compuestas (MINEDU, 2016).
cas pedagógicas tradicionales, emulando el Carranza y Malaspina (2015) señalan
estilo con el que recibieron su formación. que en Perú existen pocas investigaciones
Asimismo, Osorio (2017) señala que en el referidas a Didáctica de la Matemática. De
Perú existe poca preparación en temas mate- igual forma, Flores y Gaita (2014), señalan
máticos y didácticos. Esta autora considera, que en este país existen evidencias de la
como reto en la formación docente, aumen- presencia de un modelo conductista en los
tar la preparación en temas de matemática y planes de formación de profesores del nivel
aspectos didácticos de esta disciplina. primario y secundario.
Coincidimos con investigaciones que Teniendo en cuenta lo reportado an-
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señalan que el conocimiento profesional teriormente y considerando que se necesita
de docentes de matemáticas debe integrar profundizar en la exploración del conoci-
el conocimiento disciplinar y el propio de miento profesional que posee el profesorado
la didáctica del contenido (Ball, Thames y de secundaria en Perú, nos planteamos la si-
Phelps, 2008; Shulman, 1986), asumiendo guiente pregunta de investigación: ¿Cuál es
que dicho conocimiento debe ser especiali- el conocimiento especializado que moviliza
zado (Carrillo et al., 2018). Por tanto, con- el profesorado de educación secundaria en
sideramos fundamental asegurar la cons- formación cuando enseña polígonos? Para
trucción tanto del conocimiento disciplinar ello, nos planteamos como objetivo descri-
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como didáctico del profesorado en su for- bir y analizar el conocimiento especializado
mación inicial. que evidencia una profesora de matemáti-
En el Perú, el Ministerio de Educa- ca de educación secundaria en formación,
ción es el encargado de desarrollar políticas cuando enseña polígonos, a través de un es-
educativas que promuevan la formación de tudio de caso.
docentes de educación básica. Dado que Por otro lado, entre las investigacio-
nuestro trabajo se centra en docentes de edu- nes relacionadas con el conocimiento del
cación secundaria en formación inicial, re- profesorado de matemática sobre conteni-
visamos el Diseño Curricular Básico Nacio- dos de geometría y las concepciones que
nal para la Carrera Profesional de Profesor tiene respecto a la enseñanza y el aprendi-
de Educación Secundaria en la especialidad zaje de esta disciplina encontramos a Agui-
de Matemática (MINEDU, 2010), a fin de lar-González (2015), quien aborda la iden-
conocer el plan de estudios de la especiali- tificación y comprensión del conocimiento
dad de Matemática; asimismo, revisamos el especializado que muestra una maestra de
Currículo Nacional de la Educación Básica educación primaria sobre la clasificación de
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las figuras planas, usando el modelo MTSK Lizarde, Hernández y Reyes (2019)
para explorar las posibles relaciones entre indican que la formación de docentes para
sus subdominios y obtener una visión in- la enseñanza de las matemáticas en la edu-
tegrada del conocimiento especializado de cación primaria en México sigue siendo una
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la maestra. En dicho trabajo se detectan las tarea no resuelta, en tanto la clarificación
concepciones sobre la enseñanza y aprendi- sobre los componentes del conocimiento es-
zaje de las matemáticas y su relación con pecializado del profesorado de matemáticas
los subdominios del conocimiento especia- solo está enunciada teóricamente, pero su
lizado de la maestra para la enseñanza de concreción en cuanto a la formación prácti-
polígonos. Para este autor la identificación y ca requiere aún posteriores esfuerzos.
exploración de las relaciones entre las con- Por otro lado, Carreño y Climent
cepciones sobre la enseñanza y el aprendi- (2010) señalan que el conocimiento geomé-
zaje de las matemáticas y los elementos de trico del futuro profesorado de matemáticas,
conocimiento permiten comprender y expli- en general, es limitado conceptualmente y,
car el conocimiento que la maestra moviliza por ello, carente de redes matemáticas com-
en su salón de clases. plejas y de relaciones inclusivas entre va-
Escudero (2015) explora el conoci- rios objetos geométricos. Posteriormente,
miento especializado que movilizan docen- Carreño y Climent (2019) hacen una explo-
tes de matemáticas de secundaria y seña- ración del conocimiento especializado de
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la que el conocimiento de los temas es el futuro profesorado de secundaria sobre las
subdominio del que se obtiene más infor- definiciones de cuadriláteros, y muestran
mación, ya que ocupa el primer lugar de que sus definiciones tienden a ser descripti-
aparición respecto a los otros subdominios vas e incompletas.
y se relaciona con todos los subdominios En cuanto a las estrategias didácticas
del MTSK. La autora menciona que este del profesorado peruano, Rivas y Luzardo
subdominio podría ser el eje sobre el cual (2017) señalan que la estrategia más usual
se relacionan y organizan los demás cono- es la exposición, coincidiendo en este punto
cimientos del MTSK. Asimismo, resalta la con otros estudios como los de Gamboa y
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importancia de la presencia del conocimien- Ballestero (2010) o Pochulu y Font (2011).
to de la enseñanza de las matemáticas pues Estos autores también señalaron que la en-
considera que conocer aspectos de enseñan- señanza de los polígonos en la escuela se si-
za relacionados con el contenido matemáti- gue haciendo de manera memorística sin el
co ayuda a reconocer aspectos inherentes a uso de recursos eficaces para la enseñanza
la práctica del profesorado de matemáticas, de la geometría.
lo cual se vincula con el conocimiento de
las características del aprendizaje en mate- Marco teórico
máticas, diferenciándose del conocimiento
de pedagogía y didáctica general. Final- El conocimiento del profesorado ha
mente, señala que reconocer aspectos espe- sido explorado ampliamente en los últi-
cíficos de la matemática resultan útiles para mos 35 años, desde los trabajos iniciales
el profesorado al plantear la enseñanza de de Shulman (1986), que consideraba la ne-
contenidos matemáticos. cesidad de contemplar al personal docente
como especialista con gran comprensión de
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la disciplina, y sus procesos de enseñanza y sus fundamentos, no solo como objeto de
aprendizaje. Con base en una visión intrín- aprendizaje, sino como aquello que permite
seca de la especialización docente (Schei- al profesorado reflexionar y construir nue-
ner, Montes, Godino, Carrillo y Pino-Fan, vos conocimientos matemáticos.
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2019), que asume que el conocimiento del El KSM aporta un conocimiento de
profesorado es especializado en tanto que índole más global, que abarca el conoci-
le sea útil para su quehacer profesional, miento que el profesorado posee sobre las
Carrillo et al. (2018) propusieron el mode- conexiones entre elementos matemáticos.
lo MTSK. Este modelo de análisis del co- Estas conexiones pueden ser o, entre ele-
nocimiento profesional propone, desde un mentos del mismo tema matemático, en
paradigma interpretativo, una mirada hacia términos de aumento o disminución de la
el conocimiento del profesorado desde tres complejidad, o entre elementos de temas
dominios: conocimiento matemático (MK, diferentes. Así, se consideran cuatro tipos
todos los acrónimos del modelo correspon- de conexiones: las de simplificación, las de
den a sus siglas en inglés), conocimiento complejización, las auxiliares y las trans-
didáctico del contenido (PCK), y dominio versales. Las dos primeras hacen referencia
afectivo. En este trabajo no profundizare- al establecimiento de relaciones con conte-
mos en el último dominio que, si bien per- nidos curricularmente previos o posterio-
mea todo el conocimiento del profesorado, res, de modo que sean de utilidad para la
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posee una naturaleza diferente de los dos enseñanza del contenido que se enseña en
anteriores y requiere de un tipo de aproxi- un momento dado. Las conexiones auxilia-
mación diferente. res vienen dadas por la introducción de un
El dominio del MK contempla el co- concepto, técnica, definición o propiedad,
nocimiento matemático puramente disci- con una función meramente coadyuvante al
plinar que el profesorado usa en cualquier elemento matemático que es el centro de la
actividad ligada a su profesión. Así, obvia- reflexión en un momento dado de una cla-
mente, este conocimiento debe trascender se. Por último, las conexiones transversales
con creces el conocimiento que sus estudian- vienen dadas por la relación entre el conte-
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tes construirán, tanto en cantidad como en nido objeto de enseñanza y aprendizaje con
naturaleza, permitiendo al profesorado ges- elementos matemáticos que aparecen de
tionar y guiar los procesos de aprendizaje y forma transversal (explícita o implícitamen-
enseñanza de sus estudiantes. Este dominio te) en la matemática escolar.
se descompone en tres subdominios: cono- El KPM abarca el conocimiento mate-
cimiento de los temas (KoT), conocimiento mático de índole sintáctica, es decir, ligado
de la estructura matemática (KSM) y cono- a las reglas de construcción de un nuevo co-
cimiento de la práctica matemática (KPM). nocimiento matemático. Por ejemplo, abar-
El subdominio KoT abarca un cono- ca el conocimiento de diferentes formas de
cimiento local al contenido que se enseña, validación, como la demostración, aspectos
en el sentido de conocer los conceptos, relacionados con la heurística en resolución
definiciones, fenómenos, procedimientos de problemas o prácticas matemáticas cen-
y registros de representación relacionados tradas en la construcción de teoría.
con el tema. También contempla el cono- El dominio del PCK contempla co-
cimiento de propiedades matemáticas y nocer la matemática desde la perspectiva
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centrada en su enseñanza y aprendizaje. el centro educativo en el que se imparte
Este dominio se divide en tres subdominios: clase, si las hubiera.
el conocimiento de la enseñanza de las ma-
temáticas (KMT), el conocimiento de las Metodología
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características del aprendizaje matemático
(KFLM) y el conocimiento de los estánda- Este trabajo se ha desarrollado desde
res de aprendizaje matemático (KMLS). una perspectiva cualitativa, asumiendo un
El KMT se centra en las diversas téc- paradigma interpretativo, ya que el propósi-
nicas, recursos y teorías que el profesorado to de nuestra investigación es explorar, des-
puede conocer para gestionar la enseñanza cribir y explicar (McMillan y Schumacher,
del contenido. Cabe destacar que, en este 2007), para así comprender al profesorado.
subdominio, al igual que en todo el mode- El foco de esta investigación es analizar el
lo, quedan excluidos los elementos no li- conocimiento de la maestra a través de un
gados al contenido matemático, debido a la proceso de interpretación en el que la sen-
perspectiva intrínseca de la especialización sibilidad teórica (Strauss y Corbin, 1994)
adoptada (Carrillo et al., 2018; Scheiner et será crucial para dar significado a los datos
al., 2019). Este subdominio contempla las recogidos en cada uno de los episodios. El
especificidades del conocimiento del profe- diseño de la investigación es a través de un
sorado sobre el uso de GeoGebra o regle- estudio de caso de tipo instrumental (Stake,
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tas, así como su conocimiento de diversos 1995). Esta clase de estudio permite profun-
elementos de teorías de enseñanza de la dizar en la comprensión de un tema deter-
matemática. minado, en este caso en la comprensión del
El KFLM contempla el conocimiento conocimiento especializado del profesorado
del profesorado acerca de cómo se aprende acerca de polígonos.
el contenido. Así, este subdominio abarca El caso elegido fue una futura pro-
tanto conocimientos de teorías personales e fesora de matemática del nivel secundario,
institucionalizadas sobre cómo transcurre el que cursaba el décimo ciclo de la carrera de
aprendizaje de estudiantes en general o de educación secundaria con especialidad en
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alumnado concreto, como conocimiento de matemática y física, y se encontraba reali-
la dimensión emocional del aprendizaje, así zando su práctica preprofesional, la que le
como las formas de interacción estudianti- permite ejercer el rol de docente en una ins-
les con diversos contenidos matemáticos. titución educativa. Esta profesora fue elegi-
El KMLS refleja el conocimiento que da de manera intencionada por haber sido
el profesorado posee de las orientaciones una estudiante destacada en su promoción
dadas por autoridades de diversos niveles y por haber aceptado colaborar con nuestra
acerca de qué debe aprender el alumna- investigación de manera voluntaria.
do en cierto momento. Esto incluye tanto En este trabajo, para la recogida de in-
el conocimiento curricular propuesto por formación optamos por realizar una obser-
Shulman (1986), como el conocimiento de vación no participante, registrada a través
estándares de aprendizaje propuestos por de videograbaciones de sesiones de clase,
asociaciones de docentes (e.g. NCTM), así las cuales fueron posteriormente transcri-
como el conocimiento de las concreciones tas y constituyeron la principal fuente de
del currículo impuestas o propuestas desde información del estudio. Se observaron 3
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sesiones de clase relativas a los polígonos del equipo de investigación de forma inde-
en el curso de Práctica preprofesional que pendiente. Finalmente, se realizó un pro-
forma parte del plan de estudios de Educa- ceso de triangulación por personal experto
ción Secundaria en la especialidad de Ma- (Flick, 2007), por parte de sujetos investi-
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temática y Física del Instituto Pedagógico gadores externos expertos familiarizados
Nacional de Monterrico, en el año 2019. con el modelo MTSK y con los distintos
A continuación, mostramos una breve elementos de conocimiento profesional re-
descripción del contenido de las sesiones, lativos a los polígonos.
precisando los elementos conceptuales tra-
bajados en cada una de ellas. Análisis y resultados
Para el análisis de los datos de nuestro
caso utilizamos los dominios, subdominios y En esta parte mostramos el análisis
categorías descritas en Carrillo et al. (2018), de 3 episodios que seleccionamos de las se-
adaptándolas al contenido de polígonos. siones de clase, por contener información
El tratamiento y análisis de los datos relevante para nuestro estudio. Para el aná-
se desarrolló siguiendo la siguiente crono- lisis usamos el modelo MTSK, el cual nos
logía: en primer lugar, se videograbaron y permitió sistematizar la información obte-
transcribieron las sesiones de clase, lo que nida y nos ayudó a comprender cómo está
permitió una primera sensibilización de los organizado el conocimiento que moviliza
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investigadores con los datos; en un segun- nuestra profesora participante cuando ense-
do momento, se identificaron los episodios ña polígonos.
más ricos en información, de manera que,
además de profundizar en la sensibilización Síntesis del episodio 1
con los datos, supuso su organización; en un
tercer momento, se hizo un análisis de con- La profesora explora los conocimien-
tenido (Bardín, 1998) por cada integrante tos previos de sus estudiantes acerca de los
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Tabla 1
Descripción de las clases
Sesiones Descripción de la sesión
Sesión 1 La docente exploró los conocimientos previos de sus estudiantes acerca de los polígonos a
través de una lluvia de ideas. Luego, mostró distintas definiciones de polígonos, así como
los principales elementos y características de dichas figuras geométricas.
Sesión 2 La docente abordó dos tipos de clasificación de los polígonos, según su número de lados y
según sus características en regular e irregular. También, presentó dos propiedades de los
polígonos convexos, sumas de ángulos interiores y suma de ángulos exteriores.
Sesión 3 La docente abordó la propiedad de los polígonos convexos relacionada con su número de
diagonales. Luego, retomó la clasificación de los polígonos según sus características en
regular e irregular. Asimismo, abordó las propiedades de suma de ángulos interiores y exte-
riores en diferentes tipos de triángulos.
Nota: Fuente propia de la investigación.
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polígonos a través de una lluvia de ideas, a P: ¿Podrías formar una figura con dos
fin de rescatar los conocimientos que traen. lados?
Luego, muestra distintas definiciones de po- A: No podría formar, sería rectas paralelas,
lígonos, así como sus principales elementos un ángulo.
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y características. P: Para formar un polígono lo mínimo es
tres lados.
Análisis del episodio 1
Posteriormente, la docente presenta a
La profesora (P) indaga acerca del sus estudiantes dos definiciones que, si bien
contenido matemático a tratar en la sesión a no son precisas, pretenden reforzar la idea
través de la siguiente pregunta que plantea del mínimo número de lados en un polígono:
a sus estudiantes (A, no se distinguirá entre
estudiantes) ¿qué es un polígono? Muestra P: Los polígonos según su referencia son fi-
el uso de la lluvia de ideas como una estrate- guras planas, son puntos o vértices forman-
gia para rescatar los conocimientos previos do una figura, mínimo podría ser un trián-
sobre la definición de polígono, evidencian- gulo, un cuadrado, un rectángulo.
do conocimiento de la enseñanza de las ma- P: […] es la figura formada por la reunión
temáticas (KMT). de segmentos de una recta determinada al
unir 3 o más puntos”
P: ¿Qué es un polígono?
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A: Es una figura plana que tiene lados. En estas definiciones, además de mo-
(La profesora da oportunidad a varios estu- vilizar conocimiento de los temas sobre
diantes a dar su respuesta) los límites de la definición de polígono,
A: Es una figura geométrica de primer también moviliza elementos que permiten
plano. definir lados y vértices, que posteriormen-
A: Es un conjunto de segmentos unidos para te podrían permitir definir al polígono con
formar una figura. mayor formalismo.
A: Es cualquier figura plana cerrada. En un segundo momento de la sesión,
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la docente muestra varios polígonos en car-
La docente, posteriormente, pregun- tulina como se muestra la Figura 1 y em-
ta: ¿Cuál es la mínima figura que se puede pieza a preguntar a sus estudiantes sobre los
formar?, aquí consideramos que la docente elementos que tiene un polígono. Al ser ella
hace un uso informal del vocabulario ma- quien ha elegido los polígonos, muestra co-
temático, ya que hace referencia a los lími- nocimiento de los temas ligado a los regis-
tes de la definición de polígono, invitando tros de representación gráficos. Asimismo,
a explorar qué figuras no serían polígonos, manifiesta conocimiento de la enseñanza de
mostrando KoT relativo a definiciones. Pos- las matemáticas (KMT), dado que se hace
teriormente evidencia KoT sobre las propie- uso de una tarea diseñada por ella misma,
dades de los polígonos, en concreto, sobre el sobre la que pretende discutir los elemen-
mínimo número de lados que pueden tener: tos que componen los polígonos, poniendo
cierto énfasis en la forma de notar algu-
nos de ellos, iniciando con una pregunta
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abierta que fomenta respuestas de muy di- N. ¿Qué sucede con el punto N en el sector
versa índole: CD?
P: Perfecto. Es el punto medio, por ende, M
también es el punto medio
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P: ¿Cómo se va a llamar esta línea?
P: Diagonal media. El segmento MN es la
diagonal media
Vemos cómo la profesora afirma que
existen dos tipos de diagonales: la diagonal
Figura 1. Polígonos. de un polígono en el sentido habitual y otra
Nota: Fuente propia de la investigación. “diagonal media”, que parece corresponder
a la mediana, asume que sus estudiantes
P: ¿Qué elementos tienen los polígonos? identifican dichas diagonales, pues no se
A: Grados observa que exista aclaración posterior del
P: ¿Cómo? tema. Esto supone un indicio para indagar
P: ¿El polígono tiene grados? con la profesora, dado que la terminología
A: No, lados, vértices, ángulos, diagonales, es poco habitual, pudiendo existir un cono-
aristas cimiento de los temas ligado a la nomencla-
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P: ¿Aristas? tura de los elementos. Asimismo, la intro-
P: Aristas es una figura tridimensional ducción de la mediana en este momento de
acuérdate la formación puede informar del KMLS.
P: Acuérdate que a los vértices se les deno-
mina con letras mayúsculas Síntesis del episodio 2
En el siguiente extracto de informa- La profesora aborda dos tipos de cla-
ción, la docente evidencia conocimiento sificación de los polígonos, según su núme-
de los temas (KoT) cuando menciona los
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ro de lados y según sus características en
elementos de las figuras planas, aunque usa regular e irregular, usando figuras de polí-
notación matemática informal, llamando gonos en cartulina o trazadas en la pizarra.
segmentos a los lados. Además, presenta dos propiedades de los
polígonos convexos, sumas de ángulos inte-
P: Ahí tenemos dos tipos de diagonales. riores y suma de ángulos exteriores. La pro-
P: ¿Cuál es la primera? fesora usa figuras que coloca o traza en la
P: AB, BC son los lados o segmentos. pizarra y realiza constantemente preguntas
P: ¿Qué sería BE? a sus estudiantes.
P: Aquí tengo el punto B y lo uno con el
punto opuesto a él y sería la diagonal Análisis del episodio 2
P: ¿Qué más se puede observar?
A. cuerda…. La profesora evidencia un KoT re-
P: ¿Qué segmento es MN? ¿Qué será MN lativo a las propiedades de los polígonos
en la imagen? Te das cuenta de este punto al mostrar al alumnado la clasificación de
los polígonos según su número de lados.
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Además, evidencia un KMT respecto al uso Por otro lado, la profesora evidencia
de una estrategia de enseñanza al presentar un KMT relativo al uso de una estrategia
a sus estudiantes algunos polígonos dibu- de enseñanza al pedir que sus estudiantes
jados en cartulina (pentágono, hexágono, comenten sobre lugares o cosas del entor-
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octógono y decágono) y pedir que indiquen no que tienen forma de polígonos y des-
los nombres de dichos polígonos a partir del criban las características de dichas figuras;
número de lados que tienen. Observamos así como un KMLS al tomar en cuenta la
que la docente no hace ninguna aclaración propuesta curricular de la educación básica,
cuando muestra como ejemplo un octógo- donde se indica que todo contenido a ense-
no regular y uno de sus alumnos identifica ñar se debe relacionar con situaciones de
el nombre de dicho polígono sin mencionar nuestro entorno, tal como se muestra en el
que es regular, como se observa en el si- siguiente extracto de información:
guiente extracto de información:
P: ¿Ustedes han visto cualquiera de estas fi-
P: ¿Cómo se llama la figura de 8 lados guras u otras en la vida diaria o cotidiana?
iguales? A: Sí
A: Octógono P: ¿Dónde?
A: Los octógonos
En otro momento de la clase, la do- P: En los octógonos. Muy bien. ¿Está de
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cente evidencia un KoT respecto a las pro- moda cierto? ¿Por qué? Cuéntanos.
piedades de los polígonos, al abordar la A: Porque está en los empaques de comida
clasificación de los polígonos en regulares P: Muy bien. A ver, entonces vemos las fi-
e irregulares haciendo preguntas a sus es- guras geométricas a nuestro alrededor. Por
tudiantes y enfatizando que justifiquen las ejemplo, en el salón vemos varias figuras,
características que presentan los polígonos varios polígonos, ¿cierto? La mayoría son
regulares. Asimismo, evidencia un KMT de 4 lados, algunos de 3 lados.
respeto al uso de una estrategia de enseñan-
za, al hacer preguntas constantes al alumna- La docente evidencia un KoT res-
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do para tratar de asegurar el conocimiento pecto a las propiedades de polígonos con-
sobre los polígonos regulares, lo cual tam- vexos como suma de ángulos interiores en
bién podría dar un indicio de un KFLM al un polígono regular y medida de un ángulo
tener en cuenta cómo sus estudiantes inte- interior, a través de preguntas que hace a los
ractúan con el contenido matemático, tal estudiantes, por ejemplo ¿recuerdan cómo
como se muestra en el siguiente extracto de se cumplen estas propiedades en triángulos
información: equiláteros y cuadrados? Al hacer constan-
temente preguntas a sus estudiantes, la do-
P: ¿Este polígono es regular o irregular? cente evidencia un KMT relativo al uso de
(La profesora muestra figuras en la pizarra) una estrategia de enseñanza, como se mues-
A: Irregular tra en el siguiente fragmento:
P: ¿Por qué son irregulares?
A: Porque no todos sus lados son iguales P: ¿Te acuerdas cómo hallamos la medida
P: Muy bien. Porque todos sus lados no tie- de la suma de los ángulos internos de un
nen la misma medida. polígono?
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A: 180 por n menos ... A: Podríamos multiplicar 180° por 5 por-
P: […] en el triángulo que es el polígono que hay 5 triángulos
más pequeño, ¿cuánto miden sus ángulos P: ¿180° por 5? ¿Aquí hay 5 triángulos?
internos? ¿la suma? A: Hay 3
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A: 180° (La profesora marca los 3 ángulos P: Si lo unes así, me salen 3 triángulos. (La
en un triángulo de cartulina que está pega- profesora indica la división en el pentágono
do en la pizarra) pegado en la pizarra)
P: Como lo dijo su compañero, un polígono A: 540° ¿Es 540° grados?
regular de 3 lados es un triángulo equilá- P: 540 grados. A ver como lo hiciste …
tero. ¿Verdad? Por ende, ¿cuánto vale su A: Dividí en un triángulo y un cuadrilátero.
ángulo interior de un triángulo equilátero? Y como el triángulo vale 180° y el cuadrilá-
A: 60° tero vale 360°, lo sume ambos y me dio 540°
P: 60° y como son iguales 60° por 3 … P: Muy bien. (La profesora indica el trián-
A: 180° gulo ABC y el cuadrilátero ACDE en la fi-
P: 180°, muy bien gura pegada en la pizarra)
P: Ok. Ahora ¿hay una fórmula general
En otro momento de la clase, la pro- para hallar la suma de los ángulos internos
fesora trata de que sus estudiantes conozcan de un triángulo, cuadrilátero o hexágono?
una forma práctica para determinar la suma ¿Cuál sería la fórmula?
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de ángulos interiores en un pentágono y les A: 180° por n menos 2
guía para que dividan al pentágono en trián- P: ¿Qué es n?
gulos que no se intersecan entre sí, eviden- A: El número de lados
ciando así un KMT relativo a otra estrategia
de enseñanza. En esta parte, la profesora En otro momento, la profesora pro-
observa que sus estudiantes tienen dificul- pone comprobar la fórmula mencionada
tades y recurre a una figura para aclarar la anteriormente para el triángulo, pero el
confusión al momento de dividir el pentá- estudiantado pide que se compruebe para
gono, evidenciando así un KFLM al tomar el dodecágono y el icoságono. Uno de los
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en cuenta las dificultades que presentan, tal estudiantes da su respuesta, pero menciona
como se muestra en el siguiente fragmento: que ha usado su calculadora. Aquí podemos
decir que la profesora evidencia un KMT,
P: En el caso del pentágono, ¿cuánto miden pues usa el método inductivo como estrate-
sus ángulos interiores? gia para ayudar a sus estudiantes a recordar
A: Si, yo lo dividí. Podemos dividirlo para la fórmula de la suma de los ángulos interio-
formar triángulos y como los ángulos inter- res de un triángulo y luego hace que usen la
nos de un triángulo suman 180° … fórmula a través de un ejemplo. De manera
P: Muy bien y de allí lo suman. Una estra- similar, señala a que es igual la suma de los
tegia que utiliza su compañera para saber ángulos externos de un polígono y pide que
cuánto vale el ángulo interno de un pentá- comprueben este resultado en algunos polí-
gono es formar triángulos. gonos conocidos, por ejemplo, triángulos,
P: Muy bien. A ver, ¿cómo hallamos en el cuadriláteros, pentágonos; pero a partir de la
caso de un pentágono? relación que existe entre un ángulo interior y
un ángulo exterior. Cabe resaltar que todos
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los ejemplos que propone la docente son con A: La suma de ángulos internos
polígonos regulares, lo cual puede ocasionar P: ¿Cuánto es? ¿cuál es la formulita?
una generalización incorrecta en estudiantes A: 180 grados por n menos 2
que asuman que estas propiedades se cum- P: Saben … ¿cuánto es la suma de los ángu-
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plen en polígonos que no son regulares, tal los externos siempre?
como se muestra en el siguiente fragmento: A: 360°
P: Si su compañero me dijo que la suma era Síntesis del episodio 3
540°, ¿cuánto vale uno de sus ángulos in-
ternos? ¿uno cuánto sería? ¿un ángulo in- La profesora aborda la propiedad de
terno? ¿cuánto sumaba todo? los polígonos convexos relacionada con
A: 540° su número de diagonales. Luego, retoma
P: Si son 5 ángulos y deben ser iguales, la clasificación de los polígonos según sus
¿qué tengo que hacer? características en regular e irregular. Asi-
A: Dividir mismo, aborda las propiedades de suma de
P: Muy bien. Divide. ¿Cuánto saldría? ángulos interiores y exteriores en diferentes
A: 108° tipos de triángulos.
P: 108°. Miss entonces, ¿el ángulo interno
sería 108°? ¿el ángulo externo cuánto val- Análisis del episodio 3
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dría allí? El ángulo externo recuerda que La docente muestra la figura de un
tiene que sumar 180° triángulo en la pizarra e introduce el térmi-
A: 72° no diagonal a través de las siguientes pre-
P: 72°. ¿72° por 5 cuánto sería? guntas: ¿El triángulo tiene diagonales? ¿Se
A: 360° pueden trazar diagonales en el triángulo?
P: Muy bien. También suma 360°, ¿cierto? La docente explica qué es una diagonal de
Muy bien. un polígono, evidenciando un KoT rela-
tivo a las características de las diagonales
Finalmente, la profesora da indicios de de los polígonos, destacando la condición
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un KFLM, pues trata de asegurar el apren- que cumplen los puntos extremos de una
dizaje de sus estudiantes repitiendo varias diagonal. Asimismo, la docente fomenta la
veces lo mismo y dando varios ejemplos. participación del alumnado a través de pre-
También podríamos decir que la profesora guntas, manifestando un KMT relativo al
evidencia un KMT referido al uso de una uso de estrategias de enseñanza, tal como se
estrategia de enseñanza al hacer una sínte- muestra en el siguiente fragmento:
sis de lo trabajado en la sesión proponiendo
a sus estudiantes completar una ficha que P: ¿El triángulo tiene diagonales? ¿Se pue-
elaboró previamente, como se muestra en el den trazar diagonales en el triángulo?
siguiente fragmento: A: No se puede
P: ¿Por qué no se puede?
P: Vamos a hacer algo a continuación. En A: Para trazar diagonales debe ser desde
la fichita que les entregué están allí las pro- un punto a un vértice que no sea el que esté
piedades que se cumplen en los polígonos, al costado, pero en el triángulo en los tres
¿cuál es la primera? lados está al costado.
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P: Muy bien, son consecutivos. Sí, aquí, por obtusángulos) o rectángulos. Asimismo,
ejemplo, no hay vértice opuesto, el vértice muestra un KMT al usar como estrategia de
que está continúo, aquí tiene dos, adya- enseñanza el uso de preguntas de manera
centes se puede decir, no se puede formar constante, proporcionando al alumnado la
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diagonales. oportunidad de reflexionar sobre sus argu-
mentos cuando participan. La docente tam-
La docente enfatiza las características bién evidencia un KFLM referido al cono-
que debe cumplir un polígono para ser re- cimiento de las fortalezas y dificultades de
gular, evidenciando un KMT al usar como estudiantes, al indagar si tienen dificultades
estrategia de enseñanza el hacer preguntas para analizar e identificar la clasificación de
que ayuden al alumnado a comprender el los triángulos que se está tratando, tal como
contenido tratado. se muestra en el siguiente fragmento:
P: Y para que sea un polígono regular P: Claro, según sus ángulos ¿Cómo se cla-
¿cómo deben ser sus ángulos? sifican los triángulos?
A: Iguales A: Hay dos: Oblicuángulos y rectángulos;
P: ¿Y sus lados? y dentro de los oblicuángulos hay dos tipos.
A: Iguales P: Dentro de los triángulos oblicuángulos
hay dos tipos de triángulos ¿cuáles son?
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Luego, la docente menciona que un A: Acutángulo y obtusángulos
polígono regular debe ser equiángulo y P: ¿Cuándo es un triángulo es acutángulo?
equilátero, haciendo énfasis a las condicio- A: Cuando todos los ángulos internos son
nes de lados y ángulos iguales, mostrando menores que 90 grados.
un KoT relativo a las definiciones y carac- P: ¿Son menores a 90 grados?
terísticas de polígonos regulares. También, A: Todos los ángulos internos son menores
intenta ser precisa con los términos usados a 90 grados
por sus estudiantes, utiliza un vocabulario P: ¿Cuál es el triángulo obtusángulo?
coherente adecuado asociado a los tipos de A: Cuando sus ángulos son menores,
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polígonos, mostrando así un KoT relativo al ¿cierto?
uso adecuado del vocabulario matemático, A: Cuando son mayores que noventa y me-
como se evidencia en el siguiente extracto nores a 180 grado
de información: P: Cuando uno de ellos es mayor que no-
venta y menor a 180 grados, porque no
P: Equiángulo y equilátero, entonces sería todos pueden ser mayores que a 180 gra-
un triángulo ¿de qué tipo? dos. Muy bien. ¿A qué se le llama triángulo
A: regular rectángulo?
P: Un polígono regular, muy bien A: Cuando uno de sus ángulos mide 90
grados
Mas adelante, la docente evidencia
un KoT relativo a la clasificación de los En el siguiente diálogo, la maestra
triángulos según las medidas de sus ángu- muestra un conocimiento de la suma de los
los interiores, al precisar que los triángulos ángulos interiores de un triángulo, eviden-
pueden ser: oblicuángulos (acutángulos y ciado un KoT relativo a propiedades de los
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ángulos en un polígono convexo. Además, subdominios del MTSK, a excepción del
muestra un KPM referido al conocimiento subdominio KSM referido al uso de cone-
de una forma de demostración, al conocer xiones entre los conocimientos matemáticos
y realizar la demostración visual de la suma previos y posteriores; cuya identificación
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de ángulos interiores en un triángulo con creemos requiere de preguntas específicas
sus estudiantes, tal como se muestra en el que habría que realizar a la docente.
siguiente fragmento: El MTSK nos permitió profundizar
en la comprensión del conocimiento que
P: ¿Por qué tú me diste esa relación? ¿A moviliza el profesorado de matemáticas en
qué se debe? formación inicial cuando enseña polígonos,
A: Porque la suma de todos sus ángulos es así como concretar un análisis a través de la
180°. categorización y descripción de los subdo-
P: Haber vamos a comprobarlo. Aquí te- minios de dicho modelo. Consideramos que
nemos un triángulo. (La profesora coloca este análisis contribuirá a la identificación
alfa, beta y theta con letras griegas en los y comprensión del conocimiento especia-
ángulos internos) ¿Cuáles son sus ángulos? lizado del profesorado de matemáticas de
A: Beta, alfa y theta. educación secundaria en formación inicial,
P: Miramos. Si retiro los ángulos alfa, beta los cuales deben ser tomados en cuenta en
y theta del triángulo, ¿qué sucede si yo jun- su formación profesional. Asimismo, con-
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to a los tres ángulos nuevamente? (La pro- sideramos que ayudará a que el personal
fesora retira las tres partes que correspon- docente en formación inicial reflexione so-
den a los ángulos del triángulo y los coloca bre la necesidad de tener un conocimiento
uno a continuación de otro) matemático y didáctico sobre el contenido
A: Se forma un ángulo de 180°. a enseñar.
P: Perfecto formamos un ángulo de 180 A partir del análisis realizado, tenien-
grados. ¿Qué estamos demostrando? do en cuenta que nuestra pregunta de inves-
A: Que todos los ángulos internos de un tigación gira en torno a comprender el co-
triángulo siempre van a valer 180 grados nocimiento especializado que moviliza una
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P: Perfecto. La suma de los ángulos inter- profesora en formación cuando enseña po-
nos en este caso … ¿theta más alfa más beta lígonos en educación secundaria, podemos
cuánto suman? resaltar, en términos generales, la impor-
tancia que tiene el KoT como base para la
Conclusiones enseñanza desde una perspectiva matemá-
tica (MK) y didáctica (PCK). En este pun-
En este estudio nos hemos preguntado to, coincidimos con Escudero (2015), quien
por los conocimientos que el profesorado señala haber encontrado en su estudio que la
de matemáticas en formación inicial pone mayoría de los indicadores estaban relacio-
en juego al enseñar polígonos en un aula nados con el KoT, y se detectaron múltiples
de educación secundaria. Del análisis rea- relaciones entre el KoT y los otros subdomi-
lizado podemos concluir que una profeso- nios del MTSK.
ra de matemática de educación secundaria, En nuestro trabajo, la profesora de
en formación inicial, al enseñar polígonos matemática en formación evidencia tener
evidencia el uso de diferentes dominios y conocimiento de conceptos claves para
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definir los polígonos, clasificar polígonos también, hizo preguntas para aclarar la
según su número de lados y según sus ca- clasificación de los polígonos según sus
racterísticas en regulares e irregulares; así características, para diferenciar polígonos
como para describir las propiedades rela- regulares e irregulares, así como para ge-
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cionadas con los polígonos convexos como neralizar la propiedad de suma de ángulos
la suma de ángulos interiores y de ángulos interiores en polígonos convexos. El uso
exteriores y el número de diagonales. Ade- de estas estrategias de enseñanza por parte
más, la docente participante usa represen- de la docente en formación da indicios de
taciones verbales y simbólicas al presentar un conocimiento de las características del
a los polígonos, indicando sus principales aprendizaje de las matemáticas, ya que está
elementos: lados, ángulos, vértices y dia- tomando en cuenta las dificultades que sue-
gonales. Aquí también coincidimos con le tener el estudiantado cuando interactúa
Escudero (2015), quien menciona que el con contenidos matemáticos. Además, pro-
conocimiento y uso de diferentes regis- movió un diálogo para ayudar a concretar
tros de representación permite reconocer el conocimiento que se está tratando. Por el
aspectos específicos de la matemática que análisis de los resultados, consideramos que
resultan útiles al profesorado en formación los subdominios KMT y KFLM mantienen
para plantear diversos tratamientos didác- una relación estrecha que se sostiene en un
ticos al enseñar un tema matemático. vínculo directo con el KoT.
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Asimismo, consideramos, en la línea Finalmente, consideramos que este
de Escudero (2015), que el conocimiento de estudio aporta a la formación inicial de pro-
los temas puede estar ligado directamente fesorado de matemática de educación se-
al dominio del conocimiento didáctico del cundaria, ya que permite comprender que
contenido, y en particular al conocimiento los contenidos matemáticos a enseñar deben
de la enseñanza de la matemática y de las ser tratados desde los dominios matemáti-
características del aprendizaje de las ma- co y didáctico. Por ende, en la formación
temáticas. En nuestro trabajo, el segundo del profesorado se debe fortalecer el diseño
subdominio que apareció reiteradamente de tareas y estrategias de enseñanza que de-
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fue el conocimiento de la enseñanza de las sarrollen habilidades vinculadas al conoci-
matemáticas, aportando información im- miento de ambos dominios. Asimismo, este
portante para conocer la enseñanza de la trabajo aporta a nuevas investigaciones que
maestra participante. Algunos conocimien- permitan comprender mejor el conocimien-
tos que destacan son el uso de estrategias to del personal docente en formación inicial
de enseñanza como generar una lluvia de desde el modelo MTSK, así como el diseño
ideas; promover la participación constan- de nuevas propuestas que le ofrezcan una for-
te del alumnado y usar material concreto mación profesional sólida al futuro profeso-
para visualizar los polígonos, identificar sus rado de matemática de educación secundaria.
principales elementos y aclarar dudas y difi-
cultades que presentan sus estudiantes. Otra
estrategia fue hacer preguntas orientadoras,
por ejemplo, preguntó por la relación que
encuentran entre los elementos de los polí-
gonos, para luego abordar sus propiedades;
Elizabeth Advíncula-Clemente, Marisel Beteta-Salas, José León-Ríos, Isabel Torres-Céspedes, Miguel Montes 15También puede leer
