Criterios que guían la práctica del profesor de matemáticas en cursos de ciencias básicas para ingeniería
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Uniciencia Vol. 36(1), pp. 1-17, January-December, 2022 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.5
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia E-ISSN: 2215-3470
revistauniciencia@una.cr CC: BY-NC-ND
Criterios que guían la práctica del
profesor de matemáticas en cursos de
ciencias básicas para ingeniería
Criteria guiding mathematics professors practice in engineering
basic science courses
Critérios que conduzem a prática do professor de matemática nos cursos de
ciências básicas para engenharia
Walmer Garcés-Córdova1, Vicenç Font-Moll1
Received: Apr/3/2021 • Accepted: Jun/8/2021 • Published: Jan/31/2022
Resumen
El presente estudio tiene como objetivo inferir los criterios que orientan la práctica del profesor
universitario para explicar matemáticas en un curso de ciencias básicas en carreras de ingeniería y, en
concreto, para explicar derivadas. Se trata de una investigación cualitativa de estudio de caso múltiple que
busca comprender la enseñanza del cálculo diferencial a través del análisis de las prácticas de un grupo
de siete docentes, y de la reflexión sobre dichas prácticas, cuando implementan sus clases en facultades
de ingeniería de universidades públicas y privadas en Lima. Se videograbaron las clases de cada profesor
y se infirieron los criterios que siguen en el diseño e implementación de estas mismas, tomando como
referente los criterios de idoneidad didáctica, los cuales también se usaron para diseñar el cuestionario de
la entrevista semiestructurada; luego, se hizo la triangulación entre lo que señala cada docente y lo que se
ha observado que hace. Se encontró que los profesores de matemáticas de las carreras de ingeniería están
completamente condicionados por el programa de la asignatura al momento de desarrollar sus clases
de derivadas; así como también, por los medios y recursos de enseñanza y la disponibilidad de tiempo
para sus clases de cálculo diferencial. Se concluye, pues, que el grupo de profesores participantes tiene
como criterio prioritario el cumplimiento del currículo en el tiempo planificado. Por otra parte, dan más
importancia a realizar una adecuada gestión de la interacción en el grupo, que a enseñar unas matemáticas
de calidad que sean aprendidas de manera significativa por los estudiantes.
Palabras clave: Criterios de idoneidad didáctica; derivadas; enseñanza de las matemáticas; ingeniería;
reflexión sobre la práctica
Abstract
The study aims to infer the criteria that guide the practice of professors to explain mathematics, specifically
derivatives, in a basic science course in the engineering program. This qualitative research of a multiple case
study seeks to understand the teaching of differential calculus through the analysis of the practices of a group
Walmer Garcés-Córdova, wgarceco7@alumnes.ub.edu, https://orcid.org/0000-0001-5661-2581
Vicenç Font-Moll, vfont@ub.edu, https://orcid.org/0000-0003-1405-0458
1 Sección Departamental Didáctica de las Matemáticas, Universitat de Barcelona, Barcelona, España.
1
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of seven professors, and the reflection on these practices when they implement their classes in engineering
faculties of public and private universities in Lima, Peru. Each professor’s class was recorded. The criteria they
follow to design and implement the classes were inferred, taking the didactic suitability criteria as a reference,
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which were also used to design the semi-structured interview questionnaire. Triangulation was done between
what professors say and what they have been observed to do. It was noted that mathematics professors in
engineering programs are completely conditioned by the subject syllabus when developing their derivative
classes, as well as by the means and teaching resources and the availability of time for their differential calculus
classes. Therefore, it is concluded that the priority criterion of the group of participating professors is meeting
the curriculum in the time scheduled. On the other hand, they give more importance to adequately managing
group interaction than teaching quality mathematics to be learned in a significant manner by students.
Keywords: Didactical suitability criteria; derivatives; mathematics teaching; engineering; reflection on practice.
Resumo
Este estudo tem como objetivo inferir os critérios que orientam a prática do professor universitário para
explicar a matemática em um curso de ciências básicas em carreiras de engenharia e, em particular, explicar
derivadas. Trata-se de uma pesquisa qualitativa de estudo de casos múltiplos que busca compreender o
ensino de cálculo diferencial por meio da análise das práticas de um grupo de sete professores, e análise sobre
essas práticas, quando implementam suas aulas em faculdades de engenharia de universidades públicas
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e privadas em Lima. As aulas de cada professor foram filmadas e os seguintes critérios foram inferidos no
delineamento e implementação das mesmas, tomando como referência os critérios de adequação didática,
que também foram utilizados para elaborar o questionário para a entrevista semiestruturada; em seguida,
a triangulação foi feita entre o que cada professor indica e o que foi observado fazer. Verificou-se que os
professores de matemática dos cursos de engenharia estão completamente condicionados pelo programa
da matéria ao desenvolver suas aulas de derivadas; bem como pelos meios e recursos de ensino e pela
disponibilidade de tempo para suas aulas de cálculo diferencial. Conclui-se, portanto, que o grupo de
professores participantes tem como critério prioritário o cumprimento do currículo no tempo planejado.
Por outro lado, atribuem mais importância à gestão adequada da interação no grupo do que ao ensino de
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matemática de qualidade aprendidas de forma significativa pelos alunos.
Palavras-chave: Critérios para idoneidade didática; derivadas; ensino de matemática; engenharia;
reflexão sobre a prática.
Introducción Así, por ejemplo, en el pasado siglo ya era
habitual que las ingenierías tuviesen un ci-
En la enseñanza de las matemáticas clo básico o de estudios generales, que se
en ingeniería, desde sus inicios, se han ido suponía suministraba a los futuros ingenie-
introduciendo las ciencias básicas como un ros las herramientas matemáticas básicas
ciclo común en la base a varias ingenierías, que luego iban a aplicar en su campo profe-
bien sea para evitar presentar unas matemá- sional (Monforte, 2011).
ticas conductistas o mecanicistas, o bien por Ahora bien, en la actualidad han surgi-
no tener en cuenta la importancia del con- do ciertas dudas y dilemas relacionados con
texto en la aplicación de las matemáticas. el rol que cumplen las ciencias básicas y, en
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particular, las matemáticas, en la estructura Vargas (2010) hace un estudio sobre
de las carreras de ingeniería. Los más impor- evaluación de la calidad de los procesos de
tantes están ligados a cuatro aspectos (Font, enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
2019): 1) La suposición de la aplicación, con en aulas de ingeniería de universidades chi-
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cierta facilidad, de un conocimiento básico lenas y concluye que, entre otros aspectos,
general en diversos contextos. 2) La presen- predomina el método expositivo o magistral
tación de contenidos que en la práctica no se debido al elevado número de estudiantes, las
utilizan. 3) El alto número de alumnos repro- tutorías son consideradas solo como un com-
bados. 4) Énfasis en un enfoque de enseñan- plemento de la actividad docente, además de
za que desarrolle competencias. que el tipo de curso, el número de estudiantes
Con la finalidad de dar respuesta a es- en aula y la relación de los profesores con los
tos dilemas se han realizado diversas investi- estudiantes condicionan la metodología.
gaciones sobre cómo es la enseñanza de las Capote et al. (2016), con base en las
matemáticas en las asignaturas de estos ciclos tendencias internacionales sobre la ense-
básicos de ingeniería, así como sobre las com- ñanza en ingeniería, señalan que, si bien
petencias y conocimientos de los profesores el ingeniero debe poseer un conocimiento
de matemáticas de dichos ciclos. Con res- profundo de las ciencias básicas, la socie-
pecto a la enseñanza del cálculo diferencial dad exige una enseñanza que forme profe-
en carreras de ingeniería en el Perú, hay un sionales que respondan a las demandas del
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cierto consenso difuso en los aspectos siguien- desarrollo contemporáneo, lo cual requiere
tes: a) los alumnos tienen dificultades para su que el proceso de enseñanza-aprendizaje y
aprendizaje, b) estas dificultades se deben a los modelos curriculares sean interactivos,
una enseñanza centrada en el aprendizaje de colaborativos, centrados en el estudiante, y
fórmulas, algorítmica y mecanicista, o bien a con un aprendizaje para toda la vida. Por su
una enseñanza rigurosa y formalista, c) una parte, García (2013) sostiene que la ense-
enseñanza que omite la comprensión signifi- ñanza y aprendizaje de las matemáticas en
cativa de las nociones básicas del cálculo y sus general, y del cálculo diferencial, en par-
aplicaciones. Aunque no existen suficientes ticular, presentan una de las mayores difi-
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investigaciones que den cuenta del estado de cultades para los estudiantes de las carreras
la enseñanza de las matemáticas, y del cálculo de ingeniería. El autor señala que hay una
diferencial, en los ciclos de ciencias básicas tendencia hacia la algebrización y aritmeti-
de ingeniería en el Perú, a partir de la revisión zación del cálculo, lo cual conlleva a una
de la bibliografía lo que encontramos son al- descontextualización de la materia, ya que
gunas propuestas de innovaciones. Villanueva induce a los estudiantes a obtener solucio-
(2019) estudia el aprendizaje de la derivada nes mecanicistas y deja de lado aspectos
en el primer año de ingeniería de telecomu- cognitivos, socioafectivos y de contextuali-
nicaciones de una universidad pública perua- zación en el proceso instruccional; además,
na, y entre otros resultados, encontró que uno a pesar de que el cálculo sirve de base para
de los problemas que afrontan los estudiantes el desarrollo profesional del futuro ingenie-
de ingenierías, es que no logran alcanzar un ro, su enseñanza se centra en el uso y abuso
aprendizaje significativo de la derivada con del álgebra y la mecanización, y se descuida
los métodos tradicionales que enfatizan en el proceso de modelización (también seña-
una enseñanza procedimental. lado por Artigue, 1995).
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De otro lado, se han realizado diversas sobre su práctica, sin habérseles enseñado
investigaciones sobre las competencias y co- el uso de esta herramienta que guíe su re-
nocimientos de los profesores de matemáti- flexión (Breda, 2020; Breda, Pino-Fan &
cas en el ciclo básico (Arana, Ibarra & Font, Font, 2017; Seckel, Breda, Sánchez & Font,
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2020) y también sobre cómo es la enseñanza 2019). Es decir, sus comentarios se pueden
de las matemáticas, y del cálculo diferencial considerar como evidencias del uso implí-
e integral, en estos ciclos (Camarena, 2013; cito de algún componente de los CID como
Cooper, Levi Gamlieli, Koichu, Karsenty & guía para orientar la práctica docente.
Pinto, 2020; Juárez Ramírez, Chamoso Sán- En esta línea, la presente investigación
chez y González Astudillo, 2020; Rodríguez trata de un estudio de caso múltiple de un gru-
Gallegos, 2017). Por esto, existen diversas po de docentes que enseñan cálculo diferen-
líneas de investigación que permiten inferir cial en carreras de ingeniería en el Perú, en la
los conocimientos y competencias del pro- cual, análogamente a lo realizado en Carlos
fesor con base en el análisis de sus prácticas Guzmán (2018), hemos aplicado una entre-
docentes y de sus reflexiones sobre estas. vista semiestructurada usando los CID como
Pepin, Gueudet y Trouche (2017) afirman referente teórico para el diseño del cuestiona-
que las consideraciones implícitas y tácitas rio, con el objeto de inferir los criterios que
del profesor en la selección, secuenciación orientan su práctica docente, de manera que
e implementación de secuencias de tareas la triangulación de fuentes nos ha permitido
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nos informan de los criterios que orientan su responder a la problemática: ¿Cuáles son los
práctica e inciden en lo que llaman capaci- criterios que orientan la práctica de este gru-
dad de diseño pedagógico, la cual, por otra po de profesores para explicar matemáticas
parte, puede crecer a través de la reflexión en en un curso de ciencias básicas en ingeniería,
la acción (Schön, 1983). Por su parte, Carlos en concreto, para explicar derivadas?
Guzmán (2018) hace una investigación con
profesores de carreras de ingeniería usando Marco teórico
entrevistas en profundidad diseñadas a par-
tir del marco teórico tomado como referente El enfoque ontosemiótico del conoci-
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(las nociones de docencia efectiva y bue- miento y la instrucción matemática (EOS a
nas prácticas para la enseñanza), donde se partir de ahora) (Godino, Batanero & Font,
propone identificar las cualidades y formas 2007 y 2019) considera cinco tipos de aná-
de enseñar de un grupo de profesores que, lisis sobre los procesos de instrucción: 1)
a priori, se consideró que realizaban buenas Identificación de prácticas matemáticas. 2)
prácticas de enseñanza, con el objetivo de Elaboración de las configuraciones de objetos
que los criterios que orientaban su práctica y procesos matemáticos. 3) Análisis de las tra-
permitiesen delinear sugerencias para la for- yectorias e interacciones didácticas, 4) Identi-
mación docente. ficación del sistema de normas y metanormas.
Además, los componentes de los cri- 5) Valoración de la idoneidad didáctica del
terios de idoneidad didáctica (CID) pro- proceso de instrucción (Breda, Pino-Fan &
puestos en el enfoque ontosemiótico (ver Font, 2017; Font, Planas y Godino, 2010). El
siguiente sección) funcionan como regulari- primer tipo explora las prácticas matemáticas
dades en el discurso de los profesores cuan- realizadas en un proceso de instrucción ma-
do valoran un episodio o cuando reflexionan temático; el segundo, se centra en identificar
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objetos y procesos matemáticos que inter- matemáticas”. 2) Idoneidad cognitiva, para
vienen en la realización de las prácticas, así valorar, si lo que se quiere enseñar está a una
como los que emergen de ellas; el tercero, está distancia razonable de lo que saben los alum-
orientado a la descripción de patrones de inte- nos y, si los aprendizajes logrados se acercan
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racción, configuraciones didácticas y su arti- a los que se pretendían enseñar. 3) Idoneidad
culación secuencial en trayectorias didácticas; interaccional, para valorar si las interaccio-
las configuraciones y trayectorias están sopor- nes resuelven dudas y dificultades de los
tadas por una trama de normas y metanormas; alumnos. 4) Idoneidad mediacional, para va-
el cuarto, estudia dicha trama. Los cuatro pri- lorar la adecuación de los recursos materiales
meros tipos de análisis son herramientas para y temporales utilizados en el proceso de ins-
una didáctica descriptiva-explicativa, y sirven trucción. 5) Idoneidad emocional, para valo-
de base al quinto tipo, el cual está centrado en rar la implicación (intereses y motivaciones)
la valoración de la idoneidad didáctica como de los alumnos durante el proceso de instruc-
síntesis orientada a la identificación de mejo- ción. 6) Idoneidad ecológica, para valorar
ras potenciales del proceso de instrucción en la adecuación del proceso de instrucción al
nuevas implementaciones. proyecto educativo del centro, las directrices
En el EOS se entiende la idoneidad di- curriculares, las condiciones del entorno so-
dáctica de un proceso de enseñanza-aprendi- cial y profesional (Font, Planas & Godino,
zaje como el grado en que este reúne ciertas 2010). Los CID pueden ser de utilidad, pri-
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características que permiten calificarlo como mero, para guiar los procesos de enseñanza
idóneo (óptimo o adecuado), para conseguir y aprendizaje de las matemáticas y, segundo,
la adaptación entre los significados persona- para valorar su implementación (Breda, Font
les logrados por los estudiantes (aprendizaje) & Pino-Fan, 2018).
y los significados institucionales pretendidos Para la operatividad de los CID se defi-
o implementados (enseñanza), teniendo en ne un conjunto de componentes e indicadores
cuenta el entorno. Se trata de un construc- observables que sirven de guía para el análisis
to multidimensional que se descompone en y valoración de un proceso de instrucción en
seis criterios de idoneidad parcial: 1) Ido- cualquier etapa educativa (Breda, Pino-Fan &
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neidad epistémica, para valorar si las ma- Font, 2017). En la Tabla 1 se detallan los cri-
temáticas que se enseñan son unas “buenas terios y componentes de idoneidad didáctica
Tabla 1. Criterios y componentes de idoneidad didáctica
Criterio Componente
Epistémico (IE1) Errores, (IE2) Ambigüedades, (IE3) Riqueza de procesos, (IE4) Representativi-
dad de la complejidad de la noción a enseñar
Cognitivo (IC1) Conocimientos previos, (IC2) Adaptación curricular a las diferencias individ-
uales, (IC3) Aprendizaje, (IC4) Alta demanda cognitiva
Interaccional (II1) Interacción docente-discente, (II2) Interacción entre discentes, (II3) Autonomía,
(II4) Evaluación formativa
Mediacional (IM1) Recursos materiales, (IM2) Número de estudiantes, horario y condiciones del
aula, (IM3) Tiempo
Emocional (IA1) Intereses y necesidades, (IA2) Actitudes, (IA3) Emociones
Ecológico (IEC1) Adaptación al currículo, (IEC2) Conexiones intra e interdisciplinares, (IEC3)
Utilidad sociolaboral, (IEC4) Innovación didáctica.
Nota: Extraído de Morales-López y Font (2019).
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considerados por estos autores (por falta de para el estudio de dichas prácticas docentes
espacio no se muestran los indicadores). presenta las siguientes fases:
La noción de idoneidad didáctica está Fase 1: Selección de los participan-
siendo utilizada ampliamente como he- tes. Se coordinó con un grupo de diez do-
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rramienta para, por una parte, analizar las centes de experiencia en la enseñanza del
secuencias didácticas (y sus rediseños) im- cálculo diferencial e integral en carreras de
plementadas por los profesores en aras de ingeniería de diversas universidades públi-
conseguir mejoras en la enseñanza de las cas y privadas en Lima – Perú, con ocho de
matemáticas (Breda, 2020; Morales-López ellos graduados en matemáticas, y dos, en
& Font, 2019; Sousa, Gusmão, Font & educación con mención en matemática. Se
Lando, 2020) y, por otra, para organizar la les expusieron los alcances del estudio y se
reflexión del futuro profesor (o en activo) les pidió su participación en este, y su con-
sobre su práctica en programas de forma- sentimiento para registrar en videograbacio-
ción de profesores (Esqué & Breda, 2021; nes el desarrollo de sus clases sobre la deri-
Giacomone, Godino & Beltrán-Pellicer, vada y sus aplicaciones; también, para que
2018; Morales-Maure, Durán-González, nos brindasen una entrevista y nos propor-
Pérez-Maya & Bustamante, 2019; Seckel cionasen su material académico de trabajo.
& Font, 2020), ya que facilita la reflexión Fase 2: Recopilación de documentos
sistemática de los profesores sobre la com- curriculares, materiales elaborados por los
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plejidad de los objetos matemáticos que profesores para su implementación en el
enseñan y los factores implicados en su es- aula, etc. Para efectos de realizar el análisis
tudio. También se ha usado para el análisis de este estudio, todos los participantes de la
y valoración de lecciones de libros de texto investigación nos facilitaron los documen-
(Burgos, Castillo, Beltrán-Pellicer & Godi- tos curriculares: programa de la asignatura,
no, 2020) y para el diseño y valoración de planes de clase, cronogramas del ciclo aca-
tareas matemáticas (Gusmão & Font, 2020). démico, presentaciones de derivadas, sepa-
Los CID son la herramienta teórica que usa- ratas de ejercicios propuestos y desarrolla-
remos para dar respuesta a la problemática dos, material de consulta para los alumnos,
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que nos hemos planteado. pruebas de desarrollo y prácticas califica-
das, así como el material de los talleres para
Metodología el trabajo de equipo en aula.
Fase 3: Grabación de las clases. Las
La presente investigación es de enfo- clases sobre derivadas y sus aplicaciones
que interpretativo de corte cualitativo, ya implementadas por siete docentes fueron
que el propósito no es explicar, controlar o registradas en videograbación con una dura-
predecir, ni se pretende transformar la reali- ción promedio de 100 minutos (entre dos y
dad, sino que lo que se busca es comprender tres clases para cada uno). Con los otros tres
los criterios que orientan la enseñanza de las profesores no fue posible, debido al confina-
matemáticas en el ciclo de estudios genera- miento decretado para prevenir la pandemia
les de carreras de ingeniería por parte de un de la Covid. Por esta razón, la investiga-
grupo de profesores universitarios, a través ción se continuó solo con los siete profeso-
del análisis de sus prácticas docentes y de res cuyas clases fueron videograbadas (en
su reflexión sobre ellas. El método adoptado
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adelante nos referiremos a ellos como pro- componentes de los CID ̶ sin llegar a rea-
fesor A, B, C, D, E, F y G). lizar la valoración de la idoneidad didáctica
Fase 4: Elaboración del instrumen- (quinto nivel del modelo de análisis didác-
to para la realización de la entrevista. Con tico basado en el EOS) ̶ para que sirvie-
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base en una primera observación de las cla- ran como referencia en la triangulación con
ses videograbadas y en los CID, se diseñó los criterios que cada profesor dice seguir.
un cuestionario base para una entrevista se- Debemos precisar que en estas clases cada
miestructurada, luego se realizó una entre- profesor explicó parte del tema de deriva-
vista piloto con uno de los 10 profesores. A das y sus aplicaciones, cuyos contenidos,
partir de esta información se hicieron ajustes según el programa de la asignatura, eran: la
al primer cuestionario que consideraron: a) noción de derivada como pendiente de recta
dificultades de comprensión y redundancia tangente y como límite de las tasas medias
de ciertas preguntas, y b) la opinión de un ex- de variación, la aplicación de la definición
perto en el uso de herramientas EOS para la de derivada para calcular derivadas de fun-
investigación de los conocimientos y compe- ciones, la derivada de la suma, producto y
tencias de los profesores de matemáticas. Es cociente de funciones, las reglas básicas
así como se obtuvo un segundo cuestionario de derivación que después son mecaniza-
de 46 preguntas, dividido en tres preguntas das en diversos ejercicios y, por último, los
iniciales de tipo general (sobre su formación, criterios de la primera y segunda derivada
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la segunda sobre cuáles eran los criterios que para determinar intervalos de crecimiento y
orientaban su práctica pedagógica y la terce- concavidad, máximos y mínimos relativos,
ra sobre el modelo de profesor con el que se y puntos de inflexión. En la Tabla 3 se de-
identificaba) y 43 formuladas con base en los tallan los contenidos desarrollados por cada
CID (epistémico, cognitivo, interaccional, profesor (ver Anexo 1).
mediacional, emocional y ecológico), sus Fase 6: Entrevista a cada profesor
componentes y descriptores. para que explique cuáles son, desde su
Fase 5: Radiografía de las clases e perspectiva, los criterios que orientan su
inferencia de criterios que orientan la prác- práctica docente. Se realizó la entrevista a
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tica del profesor. Se hizo un análisis experto cada uno de los siete profesores cuyas cla-
de las clases videograbadas a cada profesor ses fueron videograbadas con la finalidad
usando los cuatro primeros tipos de análisis de determinar los criterios que, según ellos,
propuestos en el modelo de análisis didác- orientaban su práctica pedagógica; cada en-
tico del EOS, tal como se hace en Breda, trevista duró dos horas en promedio y tuvo
Hummes, da Silva y Sánchez (2021) y en dos partes claramente diferenciadas. En la
Pochulu y Font (2011), para poder determi- primera parte se hicieron tres preguntas ge-
nar las prácticas, objetos y procesos mate- nerales (sobre su formación, la segunda so-
máticos, funciones del profesor y del alum- bre cuáles eran los criterios que orientaban
no, configuraciones didácticas, conflictos su práctica docente, y la tercera sobre el mo-
semióticos, patrones y normas. Con la in- delo de profesor con el que se identificaba).
formación obtenida, se infirieron los crite- En la segunda parte se formularon pregun-
rios que guían a cada profesor en el diseño tas específicas relacionadas con alguno de
e implementación de sus clases, utilizando, los componentes de los CID.
como categorías a priori, los indicadores y
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Fase 7: Transcripción de la entrevista Garcés, Font y Morales-Maure (2021) se
realizada a cada profesor. En esta fase se muestra, de manera detallada, el proceso de
realizó la transcripción literal de la entrevis- análisis de datos al aplicar las fases de la
ta videograbada para cada uno de los siete metodología, explicadas en la sección ante-
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profesores seleccionados. rior, para el profesor A, uno de los partici-
Fase 8: Inferencia de criterios a par- pantes del presente estudio múltiple; mien-
tir de la entrevista. Se hizo el análisis del tras que en Garcés (2021) se muestra el caso
contenido de la entrevista realizada con del profesor F.
cada uno de los siete docentes para inferir
los criterios que según el profesor orientan Resultados para cada profesor par-
su práctica, de manera similar a como se ticipante del estudio
hace en Breda (2020) y en Seckel, Breda,
A partir del análisis de las respuestas
Sánchez y Font (2019).
dadas por cada docente en la entrevista y la
Fase 9: Triangulación de fuentes. Fi-
triangulación con lo observado en sus cla-
nalmente, se hizo la triangulación de fuen-
ses, podemos inferir los criterios principales
tes (sobre todo, de los resultados de la fase
que orientan la práctica de estos profesores
5 sobre la observación de clases y las res-
cuando diseñan e implementan sus clases de
puestas a la entrevista) para inferir los crite-
derivadas para estudiantes de carreras de in-
rios que orientan la práctica docente de cada
geniería, así como inferir el peso que tienen
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profesor participante de esta investigación.
estos criterios en su práctica docente. Como
Análisis de datos y resultados se ha mencionado antes, el proceso detalla-
do de cómo se llega a estos resultados para
En la fase 5 se realizó el análisis con el profesor A se puede consultar en Garcés,
los cuatro primeros tipos del modelo de aná- Font y Morales-Maure (2021) y para el pro-
lisis didáctico propuesto por el EOS (identi- fesor F en Garcés (2021). Aquí, por cuestio-
ficación de prácticas matemáticas, identifica- nes de espacio, para el caso del profesor E
ción de objetos primarios y procesos, análisis se explica, con detalle, el resultado de esta
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de interacciones didácticas y conflictos y, por triangulación, mientras que, para los otros
último, de las normas que regulan el proce- seis profesores, solo se presenta un esquema
so de enseñanza). Las herramientas de estos que resume los resultados. Seguidamente se
cuatro primeros niveles de análisis permiten presentan los resultados globales para todo
descomponer la transcripción de una sesión el grupo de profesores.
de clase en una trayectoria de configuracio-
nes didácticas y, para cada configuración, es- Docente E
tudiar diferentes aspectos. En la columna de la izquierda del
A continuación, se usó la herramienta esquema de la Figura 1 se muestran, en la
CID, la cual sirvió para inferir algunos cri- parte superior, los criterios de idoneidad di-
terios que orientan la práctica del profesor. dáctica (CID) que aparecen en las respues-
Por último, se realizó la triangulación de tas del profesor E cuando se le formula, en
fuentes entre lo declarado por cada profesor la primera parte de la entrevista, la pregunta
en la entrevista y lo observado en el aula de cuáles eran los criterios que orientaban
de clases. Este análisis se realizó para cada su práctica pedagógica (ecológico, emocio-
uno de los siete profesores participantes. En nal, cognitivo y mediacional); mientras que
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en la parte inferior (epistémico e interaccio- cómo algunos CID quedan supeditados por
nal) se ubican los criterios de idoneidad que otros. El orden en el que aparecen los CID
no menciona en su respuesta (primera parte en la escalera es resultado de la triangula-
de la entrevista). ción entre el discurso docente y lo que se
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En la columna derecha del esquema infiere de la observación de sus clases.
están los criterios de idoneidad que emergen En su discurso inicial el profesor E
en sus respuestas a las preguntas más espe- explica que los criterios ecológico, emo-
cíficas relacionadas con alguno de los com- cional, cognitivo y mediacional son los que
ponentes de los CID (segunda parte de la orientan su práctica docente. Ahora bien,
entrevista). Tal como era esperable, tenien- cuando en la segunda parte de la entrevista
do en cuenta las preguntas formuladas, en se le hacen preguntas más específicas sobre
esta columna aparecen los seis CID; ahora aspectos cognitivos, concluimos que: 1)
bien, no todos tienen la misma importancia recupera los conocimientos previos de los
para el profesor E al momento de reflexio- estudiantes, ya que para él son muy impor-
nar y justificar su práctica. Para representar tantes, de manera que afirma que sin estos
el diferente peso que tiene cada CID como saberes previos no podría desarrollar sus
guía de la práctica del profesor hemos uti- clases como pretende; 2) si identifica que
lizado el esquema de la escalera, donde los los alumnos no tienen los saberes previos
escalones superiores son los de mayor peso, necesarios para el estudio de las derivadas,
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en tanto que los CID que están en la parte lo que hace es asesorarlos y darles toda
inferior tienen menor peso. La disposición posibilidad de que lo contacten, incluso
en la escalera, además de indicar el menor por las redes sociales; 3) los contenidos de
o mayor peso, también pretende representar derivadas y sus aplicaciones que presenta
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Figura 1. Esquema de los criterios que orientan la práctica del profesor E
Nota: Fuente propia de la investigación.
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en sus clases están en la zona de desarro- con los alumnos es fundamental ya que le
llo próximo (ZDP) de los alumnos, aunque permite identificar las dudas y dificultades
acepta que no logra que todos los estudian- que estos tienen sobre las derivadas; usa di-
tes aprendan, pues, le falta tiempo; 4) tiene versos recursos argumentativos para captar
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en cuenta la diversidad de los alumnos en su atención tales como metáforas, método
sus clases de derivadas; 5) los instrumentos socrático, discrepancias sobre la invención
de evaluación que aplica son pruebas de de- del cálculo, así como se esfuerza por incluir
sarrollo objetivas, y cuyos resultados sí le a todos en sus clases, aunque no lo logra por
informan de las dificultades de aprendizaje falta de tiempo; propicia momentos para
de los estudiantes, aunque no del todo; 6) que los alumnos hagan la exploración, la
diseña las tareas con la intención de activar formulación y la validación de sus conje-
en los estudiantes los procesos cognitivos turas sobre las derivadas, así como para el
relevantes; aunque reconoce que no siempre diálogo y la comunicación entre estos, sin
lo logra, entonces va corrigiendo y haciendo embargo, no lo alcanza puesto que le falta
ajustes en el proceso, lo cual justifica por tiempo; considera que la interacción con los
falta de tiempo. estudiantes es fundamental en el desarrollo
En consecuencia, con base en la trian- de sus clases. Por lo antes mencionado, con-
gulación de lo observado en sus clases, po- cluimos que el profesor E les asigna un peso
demos inferir que el docente E asigna un relativamente bajo a los aspectos interaccio-
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mediano peso a los aspectos cognitivos, nales en su práctica docente, y los supedita
ya que a pesar de su esfuerzo por construir al criterio mediacional (tiempo).
el aprendizaje, este sigue siendo de trans- En relación con el criterio epistémico,
misión de conocimientos, pero basado en este tampoco había sido tomado en cuenta
los recursos tecnológicos y con intentos de por el profesor E en la primera parte de la
trabajar los procesos cognitivos relevantes; entrevista; sin embargo, en la segunda parte
además, supedita este criterio al ecológico cuando se le formulan preguntas más espe-
(cumplimiento del currículo) y al mediacio- cíficas sobre aspectos epistémicos, emerge
nal (uso de recursos tecnológicos como las con un peso importante, por lo cual conclui-
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redes sociales). mos que: 1) no comete errores matemáticos
Con respecto al criterio interaccional, en el desarrollo de sus clases, aunque acepta
este no había sido tomado en cuenta en las cometer otro tipo de errores, ya sea por des-
respuestas iniciales del docente E, sin em- cuido, distracción u omisión; 2) considera
bargo, emerge en la segunda parte de la muy importante la intuición, hasta el punto
entrevista cuando se le formulan preguntas que afirma que sin intuición no logra hacer
más específicas sobre aspectos interaccio- matemáticas en sus clases; 3) proporciona
nales, donde se infiere que va ganando cier- solo una pista de demostración o deduccio-
to peso en la implementación de sus clases. nes sencillas, ya que tiene que adecuarse a
Así, por ejemplo, en sus clases se esfuerza los intereses de los estudiantes y al progra-
por hacer una presentación clara y ordenada ma de la asignatura, presenta las reglas bási-
de las definiciones y conceptos de la deri- cas de derivación y enfoca los temas de una
vada y de las reglas de derivación, y para manera más instrumental; 4) trabaja la reso-
que sus explicaciones sean entendibles para lución de problemas, la argumentación y a
los estudiantes; opina que la interacción veces la modelización; la demostración no
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la trabaja por falta de saberes previos y defi- sus clases tiene la intención de involucrar
ciencias de los alumnos, por falta de tiempo a todos los estudiantes para que participen
y por cumplir con el sílabo; 5) define la de- saliendo a la pizarra y argumenten sus pro-
rivada como pendiente de una recta tangen- cedimientos de manera equitativa, aunque
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te a la curva, como velocidad instantánea y reconoce que no lo logra del todo por falta
como razón de cambio relacionada, además, de tiempo; tiene que luchar contra el miedo
considera fundamental presentar diferentes y la fobia de los alumnos hacia las matemá-
significados de la derivada; 6) la mayoría ticas, les da confianza para que intervengan
de problemas que propone son contextua- y participen, puesto que sostiene que esa es
lizados, acorde con la coyuntura actual, la su labor como docente, ayudar a levantar la
tecnología y las redes sociales; cuando los autoestima de los estudiantes.
elabora escoge una variedad de contextos y En consecuencia, por todo lo señalado
presenta una diversidad de problemas. concluimos que el docente E le asigna un
En consecuencia, podemos inferir que peso medio considerable e importante a los
para el profesor E, al momento de orientar aspectos afectivos al momento de diseñar e
su práctica docente, los aspectos epistémi- implementar sus clases de matemáticas para
cos se supeditan al criterio ecológico (regir- ingeniería; además, este docente supedita
se por el sílabo) y al mediacional (falta de los aspectos emocionales al criterio media-
tiempo); además, de que asigna un peso me- cional (falta de tiempo).
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dio en sus clases al criterio epistémico, por En cuanto al criterio mediacional, este
esta razón lo hemos colocado en la mitad de no solamente había sido tomado en cuenta
la escalera en el esquema. por el profesor E al principio de la entrevista,
Con respecto al criterio emocional, sino que cuando se le hacen preguntas espe-
este no solamente figura en la respuesta ini- cíficas de aspectos de medios emerge nueva-
cial del profesor E, sino que vuelve a emer- mente y con un peso muy alto dentro de su
ger y con bastante importancia en sus res- práctica docente. De sus respuestas podemos
puestas en la segunda parte de la entrevista inferir que: hace uso de recursos tecnológi-
(cuando se le hacen preguntas específicas cos como el Wolfram, Symbolab, Geogebra,
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sobre este). Podemos inferir que: el docente emuladores de calculadora y el Wimplot, ya
está atento a los sucesos sociales del entor- que le permiten mostrar paso a paso y corro-
no y a las novedades que trae la tecnología borar las derivadas; concluye que trabajar
y las redes sociales, para incluirlas como con aulas de 40 estudiantes no es lo ideal
contexto de los problemas de derivadas, de para la enseñanza de las derivadas, dice que
tal manera que dichas tareas sean de interés lo ideal sería 20 alumnos por aula para po-
para los estudiantes; propone situaciones der monitorear y atenderlos adecuadamente;
contextualizadas al entorno de la ingeniería la infraestructura, el aula, sus elementos, los
y acorde con los intereses de los alumnos, equipos multimedia y la distribución de los
de manera que puedan valorar la utilidad estudiantes en ella sí son adecuados para la
de la derivada en la vida cotidiana y en su ejecución del proceso de enseñanza que im-
ámbito profesional; brinda confianza a los plementa para ingeniería; invierte tiempo
alumnos y los anima, les dice que sí pue- disponible para las clases en lo más impor-
den lograr resolver las situaciones de deri- tante de las derivadas, lo que él considera que
vación, los motiva y empuja a intentarlo; en es relevante para los estudiantes, desde la
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definición hasta las aplicaciones, pero bási- Resultados globales para el grupo
cas sin mucha profundidad; también invierte de profesores
tiempo en aquellos contenidos matemáticos
En la Figura 2 se muestra la infor-
que considera presentan mayor grado de difi-
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mación de la Tabla 2 mediante un esquema
cultad para los estudiantes.
global de los criterios que orientan la prác-
En consecuencia, concluimos que
tica de cada uno de los profesores que han
para este profesor E los aspectos de medios
participado en la investigación. En la parte
son de gran importancia en su práctica do-
inferior se ha ubicado a los profesores de-
cente, puesto que, además, se supeditan a él
signados por A, B, C, D, E, F, G; luego, de
los demás criterios y tienen el mismo peso
abajo hacia arriba se colocan los CID que
que el criterio ecológico.
cada uno de estos profesores tiene en cuen-
Respecto al criterio ecológico aparece
ta -según la importancia que les asignan, de
en su respuesta inicial y, de la triangulación
menor a mayor, a cada criterio de idoneidad
realizada, evidenciamos que tiene un papel
y considerando tres niveles (bajo, medio y
fundamental para orientar la práctica del do-
alto) – en el diseño e implementación de sus
cente E, lo cual justifica, sobre todo, por el
clases de derivadas y sus aplicaciones en ca-
hecho de tener en cuenta la futura profesión
rreras de ingeniería.
de los estudiantes de ingeniería; los conte-
En la parte superior del esquema se
nidos que implementa sí tienen vínculo con
muestran los criterios de idoneidad didác-
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cursos avanzados de ingeniería y con asig-
tica que, según hemos inferido, cada profe-
naturas posteriores de matemáticas, además,
sor considera de mayor importancia en el
de conexiones con la física, la economía, los
desarrollo de sus clases del tema matemá-
modelos econométricos y otros contextos;
tico ya mencionado.
los contenidos de derivadas que enseña re-
percuten en la inserción sociolaboral de los
futuros ingenieros, en la medida en que utili- Conclusiones
za el poder interpretativo de los gráficos, los
significados de los fenómenos y de ciertas Los resultados obtenidos nos permiten
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situaciones laborales; también, se involucra dar una respuesta a la pregunta que nos ha-
con los estudiantes y procura entrar en su bíamos propuesto contestar en este artículo:
mundo del manejo de los recursos tecnoló- ¿Cuáles son los criterios que orientan la prác-
gicos y las redes sociales, adecúa los conte- tica de este grupo de profesores para explicar
nidos de las derivadas a los intereses de los matemáticas en un curso de ciencias básicas
alumnos, aunque reconoce que la evaluación en ingeniería, en concreto, para explicar de-
es la más débil en su proceso de instrucción. rivadas? Pero, además, podemos inferir el
De la triangulación entre lo dicho en peso que tienen estos criterios en su práctica,
la entrevista y lo observado en sus clases, como resultado de la triangulación realizada
se infiere que el criterio ecológico, junto al entre lo que dice y lo que se ha observado
mediacional, son los que mayor peso tienen que hace en las aulas cada profesor.
para orientar su práctica docente, y a los Con base en los resultados obtenidos
cuales se supeditan los demás criterios de concluimos que los profesores de matemáti-
idoneidad (epistémico, emocional, cogniti- cas de las facultades de ingeniería en el Perú,
vo e interaccional). participantes en esta investigación, están
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Figura 2. Esquema global de los criterios que orientan la práctica de cada uno de los
profesores
Nota: Fuente propia de la investigación.
Tabla 2. Criterios de idoneidad que tienen en cuenta los profesores de matemáticas, según el peso
Docente
Peso Criterio de Idoneidad didáctica
A B C D E F G
Ecológico X X X X X X X
Mediacional X X X X X
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Emocional
ALTO
Interaccional X X
Cognitivo
Epistémico
Ecológico
Mediacional X X
Emocional X X X X X X X
MEDIO
Interaccional X X X
Cognitivo X X X
Epistémico X X X
Ecológico
Mediacional
Emocional
BAJO
Interaccional X X
Cognitivo X X X X
Epistémico X X X X
Nota: Fuente propia de la investigación.
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completamente condicionados por el pro- matemática, procesos relevantes de la acti-
grama de la asignatura y por los planes de vidad matemática, así como la alta demanda
clases, al momento de diseñar e implementar cognitiva, por cuestiones ecológicas y me-
sus clases de derivadas y sus aplicaciones con diacionales, tal como se puede apreciar en
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estudiantes de las carreras de ingeniería. Tal los resultados de esta investigación.
y como se puede observar en los resultados, Si bien, los resultados obtenidos solo
todos los profesores participantes de este es- son aplicables estrictamente a los profesores
tudio asignan el mayor peso en sus clases al participantes y sirven para alcanzar una mayor
criterio de idoneidad ecológico. comprensión de su práctica docente, conside-
También podemos concluir que los ramos que dichos resultados van más allá de
profesores de matemáticas de las carreras este grupo de profesores y nos dan informa-
de ingeniería que han participado están ción relevante de cómo es la práctica docente
fuertemente condicionados por los medios del profesorado de matemáticas de los ciclos
y materiales de enseñanza en sus clases de básicos en las carreras de ingeniería en el Perú.
cálculo diferencial, lo cual se justifica por el
alto grado de importancia que le brindan a Agradecimiento
cuestiones de disponibilidad o falta de tiem-
po y a la distribución de los tiempos para el Trabajo desarrollado en el marco del
desarrollo de sus clases, así como al uso de proyecto de investigación en formación
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los recursos tecnológicos como el software de profesorado: PGC2018-098603-B-I00
matemático. La gran mayoría de profesores (MCIU/AEI/FEDER, UE). Al Programa
participantes de este estudio asignan un alto Nacional de Becas y Crédito Educativo
peso en el desarrollo de sus clases al criterio (Pronabec) del Ministerio de Educación del
de idoneidad mediacional. Perú. Beca Generación del Bicentenario,
De otro lado, concluimos que el grupo para estudios de doctorado en una de las
de profesores de matemáticas le asigna un 400 primeras universidades del mundo.
peso medio a los criterios de idoneidad di-
dáctica emocional e interaccional en el de- Declaración de la contribución
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sarrollo de sus clases de cálculo diferencial,
de los autores
lo cual se justifica en el sentido de que la
mayoría se preocupa por atender los intere-
El porcentaje total de contribución
ses, las emociones y las necesidades de los
para la conceptualización, preparación y
estudiantes en las clases; así como también
corrección de este artículo fue el siguiente:
los docentes se preocupan por propiciar la
W.G.C., 50 % y V.F.M., 50 %.
interacción entre los estudiantes y entre es-
tos con los propios profesores.
Finalmente, concluimos que los profe- Declaración de disponibilidad
sores de matemáticas de las carreras de inge- de los datos
niería participantes en este estudio asignan
un peso relativamente menor en la imple- Los datos que respaldan los resultados
mentación de sus clases de cálculo diferen- de este estudio serán puestos a disposición
cial a los criterios de idoneidad epistémico y por el autor correspondiente W.G.C., previa
cognitivo, puesto que sacrifican rigurosidad solicitud razonable.
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Walmer Garcés-Córdova • Vicenç Font-Moll 15También puede leer
