Criterios utilizados por profesores de matemáticas para el planteamiento de problemas en el aula
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ISSN Electrónico: 2215-3470 UNICIENCIA Vol. 34, N° 2, pp. 114-136. Julio-Diciembre, 2020
DOI: http://dx.doi.org/10.15359/ru.34-2.7 URL: www.revistas.una.ac.cr/uniciencia
Correo electrónico: revistauniciencia@una.cr
Criterios utilizados por profesores de
matemáticas para el planteamiento de
problemas en el aula
Criteria used by mathematics teachers to pose problems in the classroom
Critérios utilizados pelos professores de matemática para a exposição dos
problemas na sala de aula
Luis R. Pino-Fan Daniela Ilse Báez-Huaiquián
luis.pino@ulagos.cl danielai.baezhuaiquian@gmail.com
Departamento de Ciencias Exactas Corporación SurEduca
Universidad de Los Lagos Osorno, Chile
Osorno, Chile Orcid: https://orcid.org/0000-0002-1734-0912
Orcid: https://orcid.org/0000-0003-4060-7408
Juan G. Molina-Cabero Elizabeth Hernández-Arredondo
juangabrielmolinacabero@gmail.com elizabeth.hernandez@ulagos.cl
Colegio Eulogio Goicolea Garay Departamento de Ciencias Exactas
Calbuco, Chile Universidad de Los Lagos
Orcid: https://orcid.org/0000-0002-6494-7100 Osorno, Chile
Orcid: https://orcid.org/0000-0002-5285-1603
Received: 30/Oct/2019 • Accepted: 5/feb/2020 • Published: 31/jul/2020.
Resumen
El estudio sobre los problemas que plantean profesores a sus estudiantes y las características que se
deben considerar con la finalidad de potenciar sus competencias matemáticas constituye un tema que ha
adquirido interés en los últimos años. Sin embargo, la mayoría de los estudios se han abordado desde el
punto de vista epistémico, tecnológico o cognitivo, sin considerar efectivamente el quehacer que realizan
los profesores habitualmente con respecto a la proposición de problemas para sus clases de matemáticas.
En este sentido, el objetivo de este artículo es explorar las concepciones y prácticas pedagógicas de
un grupo de docentes en servicio, de enseñanza básica y media del sur de Chile, sobre la selección de
problemas de matemáticas para sus clases y los criterios que utilizan para tal selección. El interés de este
estudio nace de asumir que, en el salón de clases, los profesores son el vehículo articulador de las políticas
educativas; otra motivación surge por los resultados de la investigación en didáctica de la matemática. Con
esta finalidad, se implementa un cuestionario, cuyos resultados evidencian que los problemas que eligen
los profesores para sus clases son, básicamente, de tres tipos: i) problemas de los libros de texto, internet
y otros recursos; ii) problemas que adaptan (variaciones propias) de los libros de texto, internet u otros
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recursos; y iii) problemas que el mismo docente crea. En cualquier caso, se hace notorio un creciente interés
de los profesores por llevar al aula problemas con contextos cercanos a sus estudiantes y que despierten,
emocionalmente, el interés. Además, se observó que los criterios utilizados para el planteamiento de
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problemas en el aula contemplan, implícitamente, los criterios de idoneidad propuestos en el marco del
enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos.
Palabras clave: Formación de profesores; matemáticas; resolución de problemas; diseño; educación
matemática; profesores de matemáticas.
Abstract
The study of the problems posed by teachers to their students and the characteristics that should be
considered to enhance mathematical competences is an issue that has gained interest in recent years.
However, most of these studies have been approached from an epistemic, technological, or cognitive point
of view, without effectively considering what math teachers usually do to pose problems in their classes. In
this sense, the objective of this article is to explore the pedagogical conceptions and practices of a group of
elementary and secondary teachers from southern Chile about the selection of mathematical problems for
their classes, and the criteria they use for such selection. The interest of this study stems from assuming that,
in the classroom, teachers are the articulating vehicle of educational policies. Another motivation for this
paper is the results of research in Mathematics Education. For this purpose, a questionnaire was presented
which showed that teachers choose any of the following three mathematical problems: i) problems taken
from textbooks, internet, and other resources; ii) problems adapted from textbooks, internet, or other
resources (own variations); and iii) problems created by the teacher. In any case, there is a growing interest
in teachers to pose problems with contexts that students feel close to and arouse interest from an emotional
point of view. In addition, it was observed that the criteria used by teachers for posing math problems in
the classroom implicitly contemplate the didactical suitability criteria proposed within the framework of the
Onto-Semiotic Approach to Mathematical Knowledge and Instruction (OSA).
Keywords: Teacher education; mathematics; problem solving; design; mathematics education;
mathematics teachers.
Resumo
O estudo dos problemas expostos pelos professores a seus alunos e das características que devem ser
consideradas para aprimorar suas habilidades matemáticas é uma questão que tem despertado interesse
nos últimos anos. No entanto, a maioria dos estudos foi abordada do ponto de vista epistêmico, tecnológico
ou cognitivo, sem considerar efetivamente a tarefa que os professores costumam fazer com relação à
proposta de problemas para suas aulas de matemática. Nesse sentido, o objetivo deste artigo é explorar
as concepções e práticas pedagógicas de um grupo de professores em serviço, do ensino fundamental e
médio do sul do Chile, sobre a seleção de problemas de matemática para suas aulas e os critérios utilizados
para essa seleção. O interesse deste estudo decorre da suposição de que, na sala de aula, os professores
são o veículo articulador das políticas educacionais; outra motivação surge dos resultados de pesquisas
no ensino da matemática. Para isso, é implementado um questionário, cujos resultados mostram que os
problemas eleitos pelos professores para suas aulas são basicamente de três tipos: i) problemas de livros
didáticos, internet e outros recursos; ii) problemas que se adaptam (variações próprias) de livros didático,
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internet ou outros recursos; e iii) problemas que o próprio professor cria. De qualquer forma, há um
crescente interesse dos professores em trazer problemas para a sala de aula com contextos próximos aos
alunos e que despertem, emocionalmente, o interesse. Além disso, observou-se que os critérios utilizados
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para a exposição de problemas na sala de aula contemplam implicitamente os critérios de idoneidade
propostos no âmbito do Enfoque Ontosemiótico do Conhecimento e a Instrução Matemática.
Palavras-chaves: Formação de professores; matemática; resolução de problemas; design; educação
matemática; professores de matemática.
Antecedentes 2016; Perdomo, Felmer, Randolph & Gon-
zález, 2017).
Una de las líneas de investigación que De tales propuestas, se evidencia que la
ha sido intensamente estudiada por la comu- resolución de problemas y el planteamiento
nidad internacional de investigación sobre de problemas deben ser vistos como comple-
didáctica de la matemática, es la resolución mentarios. Por ejemplo, la National Council
de problemas (Problem Solving), la cual ex- of Teachers of Mathematics (NCTM, 1989),
plora características cognitivas, afectivas y ya recomendaba a los profesores brindar
actitudinales de los estudiantes cuando re- oportunidades para que los estudiantes pien-
suelven problemas de matemáticas (Felmer, sen matemáticamente y desarrollen sus cono-
Pehkonen & Kilpatrick, 2016; Liljedahl, cimientos mediante la creación de problemas
Santos-Trigo, Malaspina & Bruder, 2016). en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Sin embargo, poco énfasis se le ha dado Halmos (1980), señalaba:
al estudio de cómo los profesores hacen el
planteamiento de esos problemas, o sobre Los problemas son el corazón de las
qué competencias y conocimientos requie- matemáticas, y espero que, como pro-
ren para el planteamiento o diseño de estos fesores, en las clases, seminarios, en
mismos (Singer, Ellerton, & Cai, 2015), aun los libros y artículos que escribimos,
cuando el profesor es el vehículo que hace lo enfaticemos cada vez más, y capa-
tangible el currículo y las propuestas educa- citemos a nuestros estudiantes para
tivas a partir de su diseño de clase –dentro que sean mejores proponedores de
de lo que se contempla el planteamiento de problemas y solucionadores de pro-
problemas– (Foster & Inglis, 2017). blemas que nosotros. (p. 524)
En el contexto latinoamericano, di-
versas iniciativas han surgido en los países En este sentido, diversos autores su-
con el fin de retomar la propuesta de Polya gieren que el profesor debe jugar un papel
(1986) y Schoenfeld (1985) para potenciar relevante de cara al planteamiento y reso-
los aprendizajes sobre matemáticas de los lución de problemas en el aula (Crespo,
estudiantes, con base en la resolución de 2003). Malaspina, Mallart y Font (2015)
problemas. En particular, en Chile, diversas señalan que es esencial que los docentes
iniciativas han surgido lideradas, principal- desarrollemos la competencia de crear pro-
mente, por el grupo del Centro de Modela- blemas de matemáticas para poder orientar
miento Matemático (Felmer & Perdomo,
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adecuadamente el desarrollo de tal capa- Como sugiere Malaspina (2017), la
cidad en nuestros alumnos, y así puedan creación de problemas no debería verse
aprender matemáticas no solo resolviendo, como tarea exclusiva de los expertos, y se
sino también creando problemas. Malaspina debe romper con la concepción de que los
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(2016) lo plantea de la siguiente manera: problemas a trabajar en clases son únicamen-
te los que figuran en los libros de texto o en
Consideramos esencial que los profe- internet. Crear problemas es parte fundamen-
sores desarrollen su capacidad de crear tal de la tarea docente. Cada profesor conoce
problemas, pues así podrán no sólo la realidad específica en su aula, el entorno
crearlos para proponer a sus alumnos sociocultural y las motivaciones de sus alum-
problemas que respondan a la realidad nos y es un desafío a sus conocimientos y
y las motivaciones de ellos, sino que competencias didáctico-matemáticas, tanto
podrán también estimular a que sus crear secuencias de actividades como proble-
alumnos aprendan creando, resolvien- mas adecuados para esa realidad.
do y reflexionando problemas creados En este sentido, el objetivo de este ar-
por ellos mismos. (p. 322) tículo es explorar las concepciones y prácti-
cas pedagógicas de un grupo de profesores
Al respecto, la NCTM (2016) señala: del sur de Chile, respecto del planteamiento
de problemas de matemáticas en sus clases.
Concretamente, nos interesamos en la ca-
Para garantizar que los alumnos ten-
racterización de los criterios que conside-
gan la oportunidad de comprometerse
ran los profesores esenciales, al momento
con un pensamiento de alto nivel, los
de elegir los problemas matemáticos que
docentes deben seleccionar e imple-
llevan al aula. Los resultados evidencian
mentar en forma regular tareas que
que, en sus clases, los profesores plantean
estimulen el razonamiento y la reso-
los siguientes tipos de problemas: i) proble-
lución de problemas. Dichas tareas
mas de los libros de texto, internet y otros
alientan el razonamiento y el acceso
recursos; ii) problemas que adaptan (modi-
a las matemáticas mediante diversas
ficaciones/variaciones propias) de los libros
formas de abordar los problemas, que
de texto o de internet; y iii) problemas que
incluyen la utilización de variadas
ellos mismos crean.
representaciones y herramientas, así
como la resolución de problemas a
través de diferentes estrategias de so- Marco teórico
lución. Es más, los docentes eficaces
comprenden la forma en que pueden En la bibliografía científica, diversas
emplearse los contextos, la cultura, posturas se han presentado sobre lo que se
las condiciones y el lenguaje con el entiende por “problema” (Arcavi & Frie-
objeto de crear tareas matemáticas lander, 2007; Borasi, 1986; De Guzmán,
que traigan a colación el conocimien- 1993; Kilpatrick, 1985; Polya, 1986; Scho-
to previo y las experiencias anteriores enfeld, 1985). Sin embargo, la mayoría de
de los estudiantes. (p. 18) tales posturas describen lo que entienden
por “problema matemático” a través de sus
características, sin precisar una definición.
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Por tanto, desde esta perspectiva, definir lo más de los cuatro elementos fundamentales
que se entiende por creación de problemas del problema.
es todo un reto. Por otra parte, para el desarrollo del
Malaspina (2017) sugiere que, para estudio utilizamos también algunas herra-
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precisar lo que se entiende por problema y mientas teórico-metodológicas del enfoque
por creación de problemas, es importante onto-semiótico (EOS) del conocimiento y la
explicitar los elementos fundamentales de instrucción matemáticas (Godino, Batanero
los problemas, y propone cuatro (p. 4): & Font, 2007; 2019). Este enfoque teóri-
co surge al seno de la educación matemá-
• Información: datos cuantitativos o re- tica, con el objetivo de articular las diver-
lacionales que se dan en el problema. sas dimensiones –epistémicas, cognitivas,
• Requerimiento: lo que se pide que se afectivas, interaccionales, mediacionales y
encuentre, examine o concluya, que ecológicas– involucradas en los procesos
puede ser cuantitativo o cualitativo, de enseñanza y aprendizaje de las matemá-
incluyendo gráficos y demostraciones. ticas. A nivel internacional, el EOS se pre-
• Contexto: puede ser intra matemático senta como un sistema teórico inclusivo que
o extra matemático. trata de articular diversas aproximaciones
• Entorno matemático: el marco mate- y modelos teóricos utilizados en la inves-
mático global en el que se ubican los tigación en educación matemática (Kaiber,
conceptos matemáticos que intervie- Lemos & Pino-Fan, 2017; Presmeg, 2014).
nen o pueden intervenir para resolver De particular interés para este estudio
el problema (por ejemplo: funciones es la noción de sistemas de prácticas (o prác-
lineales; teoría de números; geometría ticas matemáticas), pues juega un rol funda-
analítica; cálculo diferencial; etc.). mental en el EOS, tanto desde la perspectiva
epistemológica como la didáctica. Para Font,
A partir de lo anterior, parece lógico Godino y Gallardo (2013), las prácticas ma-
pensar en el aparente consenso de la comu- temáticas se pueden definir como la com-
nidad internacional de investigación sobre binación de una práctica operativa, a través
educación matemática, respecto a que un de la cual se pueden leer y producir textos
problema es una situación o tarea para cuya matemáticos, y una práctica discursiva, que
solución no existe algoritmo o estrategia permite reflexionar sobre las prácticas ope-
directa y exige una alta demanda cognitiva rativas. Estas prácticas pueden ser llevadas a
por parte de los sujetos que lo resuelven. cabo por una persona (sistema de prácticas
En consecuencia, la creación de pro- personales) o compartidas dentro de una ins-
blemas de matemáticas “es un proceso me- titución (sistema de prácticas institucionales).
diante el cual se obtiene un nuevo problema, Así, en las prácticas matemáticas que
por variación de un problema dado; o por realiza una persona o institución, con el pro-
elaboración (libre, a partir de una situación pósito de resolver situaciones-problemas,
dada o configurada; o por un pedido especí- intervienen objetos ostensivos (símbolos,
fico, con énfasis matemático o didáctico)” gráficos, etc.) y no ostensivos (conceptos,
(Malaspina, 2017, p. 4). Este mismo autor proposiciones, etc.), que evocamos al hacer
señala que la creación de un problema por matemáticas y que son representados en for-
variación se da cuando se modifica uno o ma textual, oral, gráfica o incluso gestual. Es
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decir, las situaciones-problema son el origen & Font, 2017; Font, 2011). Mientras que la
o razón de ser de la actividad matemática; competencia matemática se relaciona con la
con el lenguaje se representa las restantes resolución de problemas (a priori de la im-
entidades y sirve de instrumento para la ac- plementación), el análisis de los objetos ma-
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ción; los argumentos justifican los procedi- temáticos primarios que se ponen en juego
mientos y proposiciones que relacionan los con un determinado problema (para asegu-
conceptos entre sí. Estos objetos matemá- rar que los contenidos tocados con el pro-
ticos primarios (situaciones/problema, ele- blema estén acordes con los objetivos que
mentos lingüísticos, conceptos/definiciones, se pretenden en el aula), el diseño de tareas
propiedades/proposiciones, procedimientos o planteamiento de problemas propiamente
y argumentos) se articulan para configurar tal, y el análisis de la actividad matemática
la práctica matemática. A tal articulación en desarrollada por los estudiantes (análisis de
el EOS se le conoce como configuración de prácticas personales).
objetos matemáticos primarios. Estas con- En el modelo CCDM se asume que las
figuraciones pueden ser socio-epistémicas herramientas teóricas del EOS permiten el
(redes de objetos institucionales) o cogniti- desarrollo de las competencias clave del pro-
vas (redes de objetos personales), según si fesor de matemáticas, por ejemplo, mediante
los objetos matemáticos primarios se ponen análisis en términos de prácticas, configu-
en juego en prácticas institucionales o per- ración de objetos y procesos matemáticos
sonales, respectivamente. (y didácticos). Por ello se recomienda que
En el marco del EOS, también se ha el profesor conozca y comprenda la idea de
propuesto un modelo de conocimientos y configuración de objetos y procesos activa-
competencias didáctico-matemáticas del dos en una determinada práctica matemática
profesor -modelo CCDM- (Pino-Fan, Font y sea capaz de usarlos de manera competen-
& Breda, 2017; Godino, Giacomone, Font te en los procesos de enseñanza y aprendi-
& Pino-Fan, 2018). Este modelo establece, zaje de las matemáticas (Pino-Fan, Godino
entre otras cosas, que los conocimientos del y Font, 2018) y esto, a su vez, le permitirá
profesor de matemáticas se pueden catego- utilizarlos como aspectos a considerar al mo-
rizar en tres grandes dimensiones: matemá- mento de planificar o crear sus problemas.
tica; didáctica; y meta didáctico-matemática
(Pino-Fan, Assis & Castro, 2015; Pino-Fan Metodología
& Godino, 2015). Además, sugiere que las
competencias clave del profesor de mate- El paradigma en el que se inscribe nues-
máticas son dos: competencia matemática tra investigación, es el cualitativo (Cohen,
y competencia de análisis e intervención Manion & Morrison, 2011), dado que, por un
didáctica; esta última tiene como núcleo lado, se planificó e implementó un cuestiona-
fundamental diseñar, aplicar y valorar las rio para explorar los criterios que comúnmen-
secuencias de aprendizaje tanto propias te tienen presentes los profesores al momento
como las de otros, por medio de técnicas de elegir (crear o seleccionar) sus problemas
de análisis didáctico y criterios de calidad matemáticos para el aula. Y, por otro lado, se
para establecer ciclos de planificación, im- diseñaron entrevistas semiestructuradas para
plementación, valoración y planteamiento profundizar en los aspectos señalados por los
de propuestas de mejora (Breda, Pino-Fan profesores sobre el tema.
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Sujetos y contexto pertinente utilizar dicho instrumento (Klins-
htern, Koichu y Berman, 2015, p. 464).
Los sujetos del presente estudio son
Para ello, el instrumento se tradujo
11 profesores de enseñanza media en acti-
al español, y posteriormente se adaptó al
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vo, todos ellos con experiencia mínima de
contexto chileno, mediante la introducción
3 años en aula y, además, al momento de
de algunos cambios en la forma de expre-
llevar a cabo el estudio, todos cursaban el
sar las preguntas y otros detalles de redac-
segundo semestre del Magíster y del Doc-
ción y forma. Además, se omitieron algunas
torado en Educación Matemática de la
preguntas sobre los detalles personales de
Universidad de Los Lagos. Todos ellos, en
los sujetos (e.g., e-mail, teléfono, etc.). El
algún momento de su carrera, habían dicta-
cuestionario resultante, el cual finalmente se
do clases sobre alguno de los tópicos mate-
aplicó a nuestra muestra de profesores, se
máticos presentes en el currículo chileno de
presenta como Anexo de este artículo.
enseñanza media.
Como se señaló anteriormente, la in-
Para el estudio, se utilizó una muestra
vestigación tuvo dos fases claramente iden-
intencionada (no probabilística), la cual se
tificadas en lo relativo a la recogida de la
refiere a que los sujetos de la muestra, no
información: aplicación del cuestionario y
fueron elegidos al azar, sino de forma inten-
entrevistas semiestructuradas. En este sen-
cional. En concreto, se trata de profesores
tido, es importante destacar que el cuestio-
que voluntariamente decidieron participar
nario, aplicado en la primera fase, tuvo por
en nuestro estudio una vez que se les infor-
objetivo determinar cómo los profesores se-
mó el objetivo. La aplicación del cuestiona-
leccionaban los problemas que consideraban
rio se efectuó sobre el total de la muestra (11
en sus planificaciones y que finalmente lle-
profesores), de los cuales se seleccionan 7
vaban al aula, resultando en tres categorías
para la fase de entrevistas. Los cinco profe-
de selección de problemas. Esta primera ca-
sores entrevistados se eligieron según las 3
tegorización permitió diseñar las entrevistas.
categorías identificadas: creación de proble-
Se prepararon tres guiones para entre-
mas por variación (3 profesores), creación
vistas semiestructuradas, uno por cada cate-
de problemas por elaboración (3 profesores)
goría encontrada como resultado del análisis
y selección de problemas (1 profesor).
de las respuestas al cuestionario, sobre el tipo
de problemas que eligen los profesores para
Instrumentos para la recolección de
llevar al aula: creación de problemas por va-
datos
riación, creación de problemas por elabora-
Para la recolección de los datos se pre- ción y selección de problemas. Con las en-
tendía diseñar un test o cuestionario, para lo trevistas nos desmarcábamos del estudio de
cual se hicieron versiones preliminares. Sin Klinshtern, Koichu y Berman (2015), pues el
embargo, nos percatamos que estas versio- énfasis que se le dio fue la indagación de los
nes preliminares eran muy próximas al test aspectos/criterios que utilizaban los profeso-
diseñado por Klinshtern, Koichu y Berman res para crear o seleccionar problemas para el
(2015), para su estudio sobre las concepcio- aula. En la sección de análisis, se evidencia
nes de 150 profesores sobre el planteamien- el tipo de preguntas que se realizaron a los
to de problemas. Por lo tanto, dado que se profesores en las entrevistas. Las entrevis-
ajustaba a nuestros objetivos, nos pareció tas tuvieron una duración de 40 minutos, y
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todas fueron grabadas con cámara de vídeo y durante el proceso de instrucción; y 6) eco-
grabadoras de audio. Entre un entrevistado y lógica, para valorar la adecuación del proce-
otro, los primeros tres autores de este docu- so de instrucción al proyecto educativo del
mento daban un espacio de 20 minutos, tiem- centro, las directrices curriculares, las condi-
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po que sirvió para tomar apuntes personales ciones del entorno social y profesional (Font,
sobre la entrevista que acababa de terminar, y Planas & Godino, 2010).
compartir (triangular) algunas opiniones con
el resto del equipo. Análisis y discusión de los
datos
Herramientas para el análisis de los
datos A continuación, se presenta el análisis
Además de los aspectos descritos en la y la discusión de los resultados de nuestro
sección de marco teórico –concretamente, la estudio; para ello, se divide la presentación
propuesta de Malaspina (2017) sobre la crea- en dos momentos: resultados y discusión de
ción de problemas, y las nociones de prácti- la aplicación del cuestionario; resultados y
cas matemáticas y configuración de objetos discusión de las entrevistas.
matemáticos primarios del EOS–, se utiliza-
ron los criterios de idoneidad didáctica del Resultados de la implementación
modelo CCDM y del EOS (Breda, Font & del cuestionario
Pino-Fan, 2018; Breda, Pino-Fan & Font, Respecto de la pregunta 1 del cues-
2017; Font, Planas & Godino, 2010), los tionario (Anexo 1), identificamos que, aun-
cuales permiten identificar y valorar aspec- que los participantes del estudio de manera
tos matemáticos didácticos de los procesos preliminar señalaron trabajar en enseñanza
de estudio y, concretamente, de los proble- media, en la actualidad ellos se desempeñan
mas que diseñan, implementan y evalúan los en el nivel universitario –tanto en pregrado
profesores. Estos criterios (con sus respec- como en postgrado–, en Enseñanza Media y
tivos descriptores) refieren a las siguientes también en Enseñanza Básica. Este dato es
seis idoneidades: 1) epistémica, para valorar de interés, ya que, como señalan Ron, Zas-
si las matemáticas que están siendo enseña- lavsky y Zodik (2013), el diseño de la tarea
das son “buenas matemáticas”; 2) cognitiva, está directamente influenciado por el obje-
para valorar, antes de iniciar el proceso de tivo, el cual estará ligado a cada nivel edu-
instrucción, si lo que se quiere enseñar está cativo. Por lo tanto, los problemas depen-
a una distancia razonable de aquello que los derán en gran parte del contexto en el que
alumnos saben, y después del proceso, si los se utilizarán. Es decir, el nivel educativo en
aprendizajes adquiridos están cerca de aque- el que forjan sus experiencias los profesores
llo que se pretendía enseñar; 3) interaccio- influye en la decisión que toman.
nal, para valorar si las interacciones resuel- Respecto de la pregunta dos, años de
ven dudas y dificultades de los alumnos; 4) experiencia, se encontró que seis (6) de los
mediacional, para valorar la adecuación de once (11) participantes del estudio, poseen al
los recursos materiales y temporales utiliza- menos 10 años de experiencia en el aula, y
dos en el proceso de instrucción; 5) emocio- solo dos (2) poco más de 2 años. Un punto
nal (o afectiva), para valorar la implicación relevante de la experiencia de los docentes es
(intereses, motivaciones…) de los alumnos
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que, en la realidad del contexto chileno, ellos menudo; 2 a veces; 1 raramente; 1 casi nunca).
pueden ejercer en más de un nivel educativo Mientras que los recursos menos utilizados
durante su carrera (básica, media, universi- para la selección de problemas fueron “pro-
tario...), lo cual les genera experiencias y blemas planteados por los alumnos” (5 rara-
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aprendizajes en variados contextos, aspecto mente; 6 casi nunca) y “plantear mis propios
que también podría determinar sus decisio- problemas” (2 casi siempre; 2 a menudo; 6 ra-
nes al momento de plantear problemas. ramente; 1 casi nunca). Lo anterior evidencia
En relación con la pregunta tres, el que, aunque el uso de problemas creados por
nivel de complejidad de sus clases, ocho los profesores está presente en el aula, el uso
profesores declaran que el nivel de comple- de problemas extraídos fielmente de los textos
jidad de las tareas/problemas que proponen es mucho más utilizada y, además, raramente
en clases es de nivel medio, mientras que el contemplan para sus clases el uso de proble-
resto de los profesores declara que el nivel mas planteados por los estudiantes.
de sus problemas es alto. No obstante, a par- De forma complementaria, la pregun-
tir del cuestionario no se evidencian cuáles ta 5 que explora la frecuencia de uso, en las
son los aspectos que, según los profesores, prácticas pedagógicas de los profesores, de
determinan tal complejidad. Entre los facto- los problemas creados por los docentes o los
res mencionados por los docentes en la en- alumnos, la discusión en clase y trabajo en
trevista que se analizará más adelante, sobre grupo, tuvo como resultado lo siguiente: la
el cómo se determina la complejidad de los mayoría de los participantes (7 casi siem-
problemas utilizados, se observa que prefie- pre y 4 a menudo) promueven la discusión
ren aumentar la complejidad gradualmente, en sus clases; también se fomenta el trabajo
en otro caso mencionan que tal complejidad en grupo (4 casi siempre, 5 a menudo, 2 a
dependerá del nivel de conocimiento mate- veces); solo 2 profesores señalan que casi
mático que posee cada curso (conocimien- siempre utilizan sus propios problemas (4 a
tos previos) o cada alumno en particular. menudo, 3 a veces, 2 raramente); y única-
Respecto del tipo de recursos ̶ y su fre- mente un profesor motiva a sus estudiantes
cuencia ̶ que utilizan los profesores para se- a plantear sus propios problemas (3 a menu-
leccionar problemas matemáticos útiles para do, 5 a veces, 2 raramente).
su práctica de enseñanza (pregunta 4), se en- Por su parte, la pregunta 6, sobre la fi-
contró que los libros de texto escolares son el nalidad para plantear sus propios problemas,
recurso todavía más utilizado (5 casi siempre; permitió identificar que existen tres motivos
4 a menudo; 2 a veces). Love y Pimm (1996) más recurrentes por los cuales los profeso-
señalan, al respecto, que “el libro es todavía la res eligen crear sus propios problemas (por
tecnología más extendida y usada en las clases variación o elaboración): 1) la necesidad de
de matemáticas.... el libro de texto ha moldea- que el problema se adecue al contexto de-
do nuestra noción de la matemática y como terminado de la clase; 2) que el problema
debe enseñarse” (p. 402). Después de los li- sea de interés para los estudiantes; y 3) la
bros de texto, los recursos más frecuentemen- necesidad de dar variadas aplicaciones a un
te utilizados por los profesores fueron “otros contenido. La Tabla 1 muestra algunas de
libros” (4 casi siempre; 4 a menudo; 2 a veces; las respuestas a la pregunta y el propósito
1 raramente) y “estudios académicos anterio- para el planteamiento de problemas que se
res –notas, apuntes, etc.–” (4 casi siempre; 3 a desprende de la respuesta.
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Tabla 1
Propósito de los profesores al plantear sus propios problemas
Respuesta Motivación
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Adecuación del
contexto
Control de
resultados
Aplicación de
contenidos
Adecuación del
contexto
Adecuación del
contexto
Problemas de
interés para
estudiantes
Adecuación del
contexto
Aplicación de
contenidos
Nota: Fuente propia de la investigación.
Respecto de las responsabilidades que utilizarán en sus clases, los 11 planifican
tienen los profesores, además de impartir cada una de sus clases, los 11 son responsa-
sus clases, en las instituciones en las que bles de ejecutar sus planificaciones (impartir
laboran (pregunta 7), los 11 profesores se- sus clases), 9 son responsables de la planifi-
ñalaron que seleccionan los problemas que cación del año escolar. Esta información es
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de relevancia en la medida que nos permi- y la necesidad de abarcar diferentes contex-
tirá realizar un contraste en cuanto al tiem- tos en los cuales se sitúen los estudiantes.
po que disponen los profesores para crear e Tal aspecto se muestra por ejemplo en la si-
implementar problemas, y sobre cómo esto guiente respuesta: “Para mí, es importante
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influye o no al momento de decidir si crear que hagan esto [fomenten la reflexión ma-
sus propios problemas o seleccionarlos de temática y abarquen diferentes contextos] y
los libros de texto. bueno, diseñar problemas que estén en un
contexto real, con datos reales” (Profesor
Las entrevistas 1). Además, hacen mención a la falta de
problemas aplicados en los libros de tex-
Como se mencionó, a partir de los re-
to y otros materiales que proporcionan sus
sultados del cuestionario se identificaron tres
instituciones, el Profesor 2 lo señala de la
categorías de profesores, en relación con los
siguiente forma: “... [la creación de proble-
problemas que proponen en sus clases, a sa-
mas] tiene que ver con algo más bien per-
ber: i) los que crean sus propios problemas
sonal, a mí siempre me pareció que, si en la
(creación de problemas por elaboración);
matemática no se resolvían problemas rea-
ii) los que toman problemas creados y los
les, no tenían utilidad”.
modifican o adaptan (creación de problemas
En general, podemos decir que los
por variación); y iii) los que seleccionan de
factores o motivos principales que llevan a
distintas fuentes problemas ya creados. Las
los profesores a crear sus propios problemas
entrevistas tuvieron por finalidad profundi-
al momento de planificar sus clases de ma-
zar en los criterios que tienen presentes, de
temáticas fueron aspectos de tipo epistémi-
forma explícita o implícita, los profesores
co, cognitivos y ecológicos de la didáctica
de cada una de las tres categorías, para se-
de la matemática, relacionados con la falta
leccionar sus problemas para sus clases de
de problemas específicos que se adapten a
matemáticas. A continuación, presentamos
un grupo determinado de estudiantes con
los análisis de las entrevistas realizadas a
características particulares, con los cuales
los profesores, por categoría.
se promueva la reflexión matemática y con-
sidere el contexto de los estudiantes.
Profesores que crean problemas por
Sobre el segundo foco de la entre-
elaboración
vista, criterios para creación de problemas,
La entrevista se centró, principal- los profesores entrevistados consideran que
mente, en 4 aspectos: 1) Motivación para los criterios aplicados para la creación de
crear problemas; 2) Criterios considerados problemas matemáticos, son de gran im-
en la creación de problemas; 3) Elementos portancia, ya que los problemas deben ser
que han forjado los criterios utilizados; y “atractivos para los estudiantes”, generan-
4) Dificultades que se presentan en la crea- do pertinencia y coherencia entre la tarea,
ción de problemas. la demanda cognitiva que exige la misma
Sobre el primer aspecto, los profeso- por parte de los estudiantes, y el procedi-
res entrevistados señalaron que prefieren la miento que se espera que desarrollen los es-
creación de problemas al momento de plani- tudiantes. Además, enfatizan la importancia
ficar sus clases, debido a la falta de proble- de crear problemas con los cuales se cree
mas que fomenten la reflexión matemática sentido y utilidad de las matemáticas que se
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están utilizando (para resolver el problema), se pueden considerar en contextos
y no solo problemas en los que se “apliquen reales. Por eso yo aprendí a crear
por aplicar contenidos matemáticos”. El problemas mirando lo que existía en
profesor 1 señala al respecto: “Que sean los textos en esos años, después sigo
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problemas de intervención, es decir que no la propuesta de la Reforma del 2000
utilicen un solo tipo de problemas para re- y después de la Reforma del 2000 a
solverse, sino que sean problemas un poco la adhesión con las exigencias de las
más complejos que requieran el apoyo de mediciones SIMCE”
diversos conceptos matemáticos”.
Otro criterio señalado por los profeso- El Profesor 2 señaló que, para formar-
res, como ya lo señalamos antes, es el con- se unos criterios para plantear problemas,
texto en el que realizan su práctica el profe- tuvo que ser autodidacta y “observador” de
sor y los estudiantes, de manera que permita los textos de otros países y contextos, y hace
que la reflexión de los contenidos matemá- un llamado, que se evidencia con las respues-
ticos no sean solo en términos intra-mate- tas de los otros profesores encuestados, sobre
máticos sino también en situaciones reales; la necesidad de espacios para la formación
esto es, que permitan relacionar contenidos de competencias (didáctico-matemáticas)
y significados de tales contenidos. El profe- que permitan la realización de actividades
sor 2 señala al respecto: “El tema del con- profesionales clave para el docente, tal como
texto era uno, el tema de la estructura de el planteamiento de problemas. El Profesor
matematización era otro, ...ojalá partiera 2 comenta: “...aparte de revisar toda la bi-
de situaciones reales de los estudiantes”. bliografía nacional también, revisaba textos
Sobre el tercer foco de la entrevista, ele- que habían sido editados en Estados Unidos,
mentos que han permitido considerar o forjar otros que habían sido editados en Francia,
criterios utilizados para la creación de proble- de todo esto se hace una síntesis y luego em-
mas, los profesores señalan que los han adqui- pezar a estudiar los ejercicios”. El Profesor
rido mayoritariamente a través de los años de 3, señala sobre el tema: “...yo nunca he deja-
experiencia en su práctica profesional y, en do de estudiar matemáticas, siempre he esta-
menor medida, como parte de su formación do estudiando matemáticas de forma autodi-
universitaria. El Profesor 3 señala: dacta, entonces yo creo que sí ha facilitado,
también los procesos de aplicación”.
“...cuando tuve mayor acercamiento En síntesis, de este tercer foco se des-
a qué cosas debería tener un proble- prende la necesidad de que en la formación
ma... yo creo que durante la marcha, docente existan asignaturas (o espacios)
con el tiempo, uno va viendo cuáles donde el profesor se relacione con el tema
son las cosas que más le interesan a y pueda tener variadas formas (y experien-
los estudiantes”. cias) de enseñar un contenido matemático
(ver por ejemplo las recomendaciones de
Por su parte el Profesor 1 comenta: Pino-Fan, Guzmán, Larraín & Vargas, 2018;
Pino-Fan, Godino & Font, 2015), formación
“... las metodologías de los últimos que complemente la experiencia que el do-
años de la universidad, proporcionan cente va forjando con el tiempo.
algunos aspectos, aunque a veces no
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Finalmente, sobre el cuarto foco de la considerados en la creación de problemas; 3)
entrevista, dificultades para la creación de Elementos que han forjado los criterios utili-
problemas, los profesores señalan aspectos zados; y 4) Dificultades que se presentan en la
mediacionales (como el tiempo), epistémicos creación de problemas por variación.
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–relacionados con las competencias matemá- En esta categoría, los profesores en-
ticas de los docentes, para analizar la activi- trevistados señalaron que generalmente pre-
dad matemática de los estudiantes y análisis fieren la adaptación de problemas (creación
de los problemas y prácticas matemáticas de problemas por variación), por sobre la
sugeridas por los textos–, así como compe- creación de sus problemas por elaboración,
tencias relacionadas con el análisis e inter- debido a las exigencias de las instituciones
vención didáctica, que les permita identificar en las que laboran, sobre los libros de textos
y comprender los factores que influyen en establecidos por el reglamento. Advierten
los procesos de enseñanza que implementan. que, en relación con ello y como primer as-
Al respecto, el Profesor 2 señala: “El tiempo pecto que los motiva a crear/variar proble-
es una variable muy importante, pero más mas, es que los textos de las instituciones
tiempo no garantiza nada, tiene que haber contienen problemas que no se adaptan a
un desarrollo profesional, tiene que haber un todas las necesidades de los estudiantes. Lo
desarrollo de competencia, o sea si el tipo no anterior se evidencia, por ejemplo, con la
tiene la noción de crear problemas hay que respuesta del Profesor 4, quien señala:
enseñarle o capacitarlo”. Por su parte el Pro-
fesor 3 comenta: “...llevar al aula problemas “La idea del colegio es que como el
creados siempre… es como una expectativa, alumno compraba el libro, nosotros
porque no podemos saber muy bien qué es lo como profesores nos veíamos obliga-
que va a suceder, cuáles son todas las varia- dos a utilizarlo; entonces, a veces los
bles que van a intervenir, y a veces cuando es problemas con los que me tocaba tra-
un problema de libro, cómo se puede anali- bajar no cumplían con todas las ex-
zar para saber si está bueno o malo”. pectativas, por lo cual, haciendo uso
El Profesor 1 declaró en la entrevista de los mismos problemas, los adapta-
algo que ya había sido observado en el estudio ba a través de preguntas para que los
de Malaspina, Mallart y Font (2015), sobre alumnos de alguna manera desarro-
el impacto de la creación de problemas en la llaran más lo que estaba buscando”.
competencia matemática de los profesores; el
Profesor 1 lo señala de la siguiente manera: Además, los profesores mencionan
“Yo creo que me ayudó a desarrollarme como que otro motivo para crear/variar problemas
profesor, me ayudó a desarrollarme cogniti- es la falta de problemas en los textos que
vamente, me ayudó a desarrollarme y com- desarrollen el razonamiento matemático, y
prender mejor la matemática que enseño”. no solo ejercicios en los cuales se apliquen
fórmulas o se desarrollen algorítmicamente.
Profesores que crean problemas por El Profesor 5 comenta:
variación
Al igual que en la categoría anterior, la “...son problemas que surgen de mo-
entrevista aquí se enfocó en cuatro aspectos: 1) dificar problemas que me encuentro,
Motivación para crear problemas; 2) Criterios y yo se los traigo a los muchachos
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porque son problemas diferentes que que las matemáticas siempre se tenían
pueden ser más interesantes, y lo otro que diseñar desde el aspecto puro, la
que yo pienso, que puede ser intere- matemática propia y sus elementos, y
sante desde el punto de vista del razo- cuando entre acá [magister en edu-
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namiento matemático, es que traigan cación matemática], te das cuenta de
[los problemas] un tipo de razona- que debes considerar aspectos tan ol-
miento nuevo, que no han visto los vidados como la afectividad que el es-
otros problemas triviales que suelen tudiante tiene con la matemática, los
tener los libros”. aspectos cognitivos de los estudian-
tes, el contexto y su interacción con
Es decir, los profesores de esta cate- las matemáticas que se quieren ense-
goría identifican y recolectan problemas ñar, los recursos materiales y su in-
de textos u otros recursos, los analizan y teracción con las matemáticas, etc.”.
los adaptan. Dicha adaptación, para ellos,
puede ser por tres motivos: a) obtener un Además, se menciona que para que un
problema que se adapte a un contexto más problema adoptado tenga una buena acepta-
próximo al contexto de los estudiantes; b) ción por parte de los estudiantes, depende
obtener un problema que fomente más el de una serie de conocimientos tanto mate-
razonamiento matemático; y 3) obtener pro- máticos como didácticos, con la finalidad
blemas que sean más novedosos y de interés de promover el razonamiento matemático
para los estudiantes. en los estudiantes. Como indica el Profe-
Sobre el segundo foco de la entrevista, sor 6: “Un criterio es que sea novedoso [el
criterios considerados en la creación/varia- problema], desde el punto de vista del razo-
ción de problemas, los profesores mencio- namiento matemático, y que además tenga
nan que los criterios a considerar no siem- afinidad con lo que hacen los estudiantes y
pre deben comenzar por el aspecto puro de el mundo en el que se encuentran insertos”.
la matemática (representaciones, definicio- Como cierre del segundo punto de la
nes, teoremas, procedimientos), sino que es- entrevista, los profesores señalan que para
tos deben estar relacionados con la afinidad crear/variar un problema y que este logre los
entre los estudiantes y la matemática que se objetivos planteados para una determinada
quiere enseñar. Es decir, considerar aspec- clase, deben utilizarse criterios que surgen de
tos cognitivos (como los errores frecuentes un amplio trabajo autónomo por parte del do-
de los estudiantes en el tema que se quiere cente, sea por que son “autodidactas” o porque
estudiar), ecológicos (como los contextos y han fomentado sus competencias matemáticas
aspectos sociales), epistémicos (riqueza de y didácticas mediante cursos de capacitación.
la matemática y su interacción con otros as- Al respecto, el Profesor 4 señala: “los criterios
pectos como los recursos tecnológicos, con- para adaptar mis problemas tienen que ver
texto, etc.). El Profesor 4 señala al respecto: con los aspectos de tus estudiantes como tal,
depende de una serie de conocimientos, si así
“cuando yo hice toda mi carrera pro- lo quieren ver, dimensiones del conocimiento
fesional, yo nunca vi didáctica, ni pe- del profesor, y por tanto la adaptación de mis
dagogía, ni aspectos pedagógicos, ni problemas no depende de una sola cosa sino
nada de esto. Entonces mi idea era de una serie de cosas”.
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