Interpretar, registrar, comunicar y comparar usando fracciones - 4to. Grado Universidad de La Punta

Interpretar, registrar, comunicar y
comparar usando fracciones
4to. Grado
Universidad de La Punta

4to. grado
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                                            usando fracciones

CONSIDERACIONES GENERALES
        El camino para el aprendizaje de las fracciones lo constituirán los problemas
dados en los distintos contextos en que aparecen las fracciones: medida, reparto
equitativo, trayectos, patrones, probabilidad, ganancias, recetas, áreas, etc.
      Serán las situaciones en contextos variados los que den oportunidad a los
alumnos de reinventar estos números reconociendo su necesidad y significado.
        Los diferentes significados de las fracciones en sus contextos de uso que se
priorizaran en 4to año serán:
   a. La fracción como expresión que vincula la parte con el todo (continuo o
discontinuo)
En este caso se la utiliza para indicar división en partes, respondiendo a la pregunta
qué parte es del entero en cuestión. Se conviene que el denominador de la fracción
indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes
consideradas.
  b. La fracción como reparto equitativo
En este caso se analizan situaciones en donde la pregunta a responder es cuánto le
corresponde a cada uno. Estas situaciones se diferencian de las de parte-todo en
tanto intervienen unidades múltiples.
        Los problemas en que las fracciones expresan partes de un todo potencian la
discusión sobre los fraccionamientos del todo, la forma y el número de las partes
obtenidas, la relación con el número de cortes, la equivalencia de las partes, pero no
colaboran para tratar las fracciones mayores o iguales a la unidad, porque en los
hechos de la vida cotidiana nunca una “parte” supera al todo... es más, ni siquiera lo
iguala.
        Las primeras instancias escolares de tratamiento de las fracciones otorgan a
los problemas que aluden a partir un entero en partes iguales (más aun en el caso de
“todos” continuos) un lugar particular, porque su abordaje ofrece la posibilidad de
discutir sobre la importancia de que las “partes” sean iguales, no se superpongan y
completen el todo, para que las expresiones del tipo a/b tengan sentido.
       Para avanzar en la construcción del sentido de las fracciones, se proponen
problemas de reparto que pueden ser abordados por los niños a partir de sus
conocimientos de división con números naturales.
       Los problemas de reparto obligan a seguir repartiendo el resto de la división
entera y dan lugar a una diversidad de procedimientos a partir de los cuales se
generan buenas condiciones para abordar el trabajo con fracciones. Esta diversidad
plantea de entrada la necesidad de discutir acerca de la noción de equivalencia de las
“partes” y puede constituirse en punto de apoyo para abordar otras cuestiones: la
relación entre el tamaño de cada parte y el número de las partes; la relación entre los
enteros que se reparten y el número de destinatarios, etc.

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ÍNDICE DE LA PROPUESTA

Actividad 1: A Medir.
Iniciar el trabajo con fracciones a partir de mediciones concretas para responde a
diversas situaciones, lo que favorecerá la construcción de sentido de dichos números.

Actividad 2: De Compras.
Continuar el trabajo con fracciones a partir de mediciones concretas.

Actividad 3: Saltando fracciones.
Lograr establecer relaciones de tipo aditivas a través de un juego tipo “juego de la
oca”.

Actividad 4: Plegando Cuadrados.
Contextualizar la fracción como expresión que vincula la parte con el todo.

Actividad 5: A Repartir.
Trabajar con situaciones de reparto, en donde el objeto a dividir no siempre se puede
partir.

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Actividad 1: A Medir.

MATERIALES
Botellas de ½ litros, 1 litro, 1½ litros, 2 litro y 2¼ litros. Vasos de ¼ litro. Un rollo de
piolín. Tijera. Una regla de 1 metro.

ORGANIZACIÓN
En grupos de 3 o 4 alumnos.

DESARROLLO

Con las botellas:

   1 · Con una botella de 1 litro con agua llena cuatro vasos.
      - Te sobró agua en la botella.
      - ¿Qué cantidad de agua tiene cada vaso, con respecto a la botella?

   2 · Llena seis vasos de agua, ¿qué botella te conviene usar para vaciar los vasos,
       de tal manera que quede llena? ¿Por qué?

   3 · ¿Cuántos vasos necesitaras para vaciar una botella de 2 ¼ litros? Comprobálo

Con el piolín:

   4 · Corta 1 metro de piolín, luego cortálo nuevamente a la mitad. En cuantas partes
       quedó dividido el piolín. ¿Cuánto mide cada trozo con respecto al metro?
       ¿Cómo lo puedes expresar?

   5 · Ahora, cada parte obtenida dividila a su vez en mitades. Cuántos trozos del
       metro tienes. ¿Cuánto mide cada uno de los trozos obtenidos con respecto al
       metro? ¿Cómo lo puedes expresar?

ACTIVIDADES DE CIERRE

   1 · Marcela dice que para vaciar una botella de gaseosa de 2 ¼ litros necesita 5
       vasos de ¼ litro. Lisandro en cambio dice que se necesitan 10 vasos.
A. ¿Quién de los dos tiene razón?
B. ¿Cómo lo habrá pensado cada uno?

   2 · Se necesita trasvasar (pasar de una botella a otra) lavandina de una botella de
       2 litros a botellas de ½ litro. ¿Cuántas botellas se necesitan? ¿Cómo lo
       resolviste?

   3 · Luis necesita vaciar una botella de coca cola de 2 ¼ litros y tiene vasos de ½ y
       de ¼ litro.
A. ¿Cuántos necesitará de cada uno?

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B. ¿Es única la respuesta anterior?
C. ¿Cuál será la forma de utilizar menos botellas?

  4 · Josefina tomó durante la mañana 3 vasos de 1/4 litro de jugo y Fabián 2
      botellitas de 1/2 litro. ¿Quién tomó más?

  5 · Se tiene un piolín de 5 metros de largo. ¿Cuántos trozos de ½ metro puedo
      cortar?

  6 · Se tiene un piolín de 3 metros y medio de largo. ¿Cuántos trozos de ¼ metro
      puedo cortar?

  7 · Carla dice que de 3 metros de piolín se pueden obtener 3 trozos de ½ metro y 6
      trozos de ¼ metro. ¿Tendrá razón Carla? ¿Por qué?

  8 · José tiene 5 trozos de ¼ metro y 3 trozos de ½ metro de piolín.
     Fernando tiene 6 trozos ¼ metro y 2 trozos de ½ metro de piolín.
     ¿Quién de los dos tiene más metros de piolín? Justificá tu respuesta.

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Actividad 2: De Compras.

ACTIVIDAD

                                          3
  1 · La mamá de Luis necesita comprar 2     kg de yerba. En las góndolas del
                                          4
                                 1     1                                    1
     supermercado sólo quedan de   kg,   kg y una promoción con paquetes de
                                 4     2                                    3
     kg.
     -     ¿Qué paquetes puede comprar?
     -     ¿Hay una sola posibilidad?
     -     Si quiere llevar la menor cantidad posible de paquetes, ¿cuáles debe elegir?
                                3                                     1
     -     ¿Pueden formarse 2     de yerba utilizando sólo envases de   kg?
                                4                                     3

  2 · Para reflexionar:
     -     ¿Cuántos medios se necesitan para formar un entero?
     -     ¿Cuántos tercios se necesitan para formar un entero?
     -     ¿Cuántos sextos se necesitan para formar un tercio? ¿Y un medio?
     -     ¿Puedo formar un entero usando quintos?
     -     ¿Puedo formar un medio usando quintos?

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Actividad 3: Saltando fracciones.

MATERIALES
Una pista numerada como la del juego de la Oca pero saltando de ¼ en ¼
comenzando en cero hasta el cinco, fichas de colores y un dado cuyas caras deberán
ser de la siguiente manera:

ORGANIZACIÓN
Equipos de 4 alumnos.

REGLAS DEL JUEGO
Cada alumno deberá tener una ficha de color. Cada uno a su turno tira el dado y con
su ficha avanza tantas casillas como indica el dado. Gana el primero que llega a la
meta.

VARIANTE
        Con los mismos materiales, el alumno tira el dado y antes de mover debe decir
en qué número caerá su ficha. Luego avanzando sobre el tablero, comprueba si su
anticipación fue correcta. En este caso avanza hasta el casillero en cuestión. Si su
respuesta fue errónea se queda en el lugar en donde está.

        Se podrá ir introduciendo, luego de algunas veces de haber jugado, una
limitación del tiempo para decir a qué número va, promoviendo el pasaje de la
estrategia utilizada a otra más eficaz.

       Otra variante sería que en lugar de utilizar un dado se utilicen dos dados por
grupo. La diferencia está en que el jugador tira dos dados, y elige cuál de los puntajes
le conviene para avanzar con su ficha.

        También se podría dejar vacios varios casilleros y el jugador que caiga en
alguno de ellos deberá completarlo con el número correspondiente. En caso de no
lograr escribirlo correctamente podrá perder el turno o cumplir con alguna otra sanción.

ACTIVIDAD DE CIERRE

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        En distintas clases, a continuación del juego, el docente podrá optar por
realizar discusiones colectivas alrededor de situaciones como las que se presentan a
continuación.

  1 · La ficha de Marcia está en el casillero 1 ½, si saca ¾, ¿En qué casillero “caerá”
      su ficha?

  2 · La ficha de Luciana está en el casillero 3 ½, luego de tirar el dado movió su
      ficha al casillero 4 ¼, ¿qué número pudo haber sacado con su dado?

  3 · Juan y Luís están empatados! Sus fichas esta en el casillero 2 ¾.
        Juan tira y saca ¾ y está muy contento con el tiro que realizó.
        -   ¿Por qué Juan está tan feliz?
        -   ¿Podrá Luis, con su tiro, superar a Juan? ¿Por qué?

  4 · Desde el inicio del juego Elías ha lanzado el dado en tres oportunidades
      obteniendo en cada uno de los tiro: ¼, ¾ y ¼ ¿en qué casillero se encuentra su
      ficha?

  5 · Luego de tres vueltas de tirar el dado Marcela y Karina han obtenido los
      siguiente puntos en cada una de sus tiradas:

        Marcela: ½, ¾ y ¼                    Karina: ¾, ½ y ¼.
        Hasta este momento, ¿Quién va ganando?

  6 · Si la ficha de un jugador está en el 4 ¼, ¿Qué deberá sacar al tirar el dado para
      ganar?

Nota:
 El haber jugado no implica necesariamente que el alumno pueda responder en
  forma inmediata a estos interrogantes, deberá cada uno generar estrategias que
  permitan resolver las situaciones planteadas.

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Actividad 4: Plegando el Cuadrado.

MATERIALES
Cada grupo dispone de 30 cuadrados blancos, iguales, de 10 cm x 10 cm,
aproximadamente (también se puede utilizar papeles glasé) y tres sobres por grupo.

ORGANIZACIÓN
En grupos de 3 o 4 alumnos.

DESARROLLO

  1 · Plegá de diferentes formas cada papel para dividirlo en dos partes iguales y en
      cuatro partes iguales, y que indiquen las marcas correspondientes al plegado.
      - ¿Cómo realizaron los pliegues?
      - En todos los casos, ¿la cantidad de pliegues es la misma?

  2 · Tomá otro cuadrado y dividilo en 8 partes de diferentes maneras.
      - ¿Con cuántos pliegues se puede hacer?
      - ¿Cuál es la menor cantidad de pliegues que se necesitan para hacerlo?

  3 · Hacé dos cuadrados iguales de cada uno de los modelos que hayan encontrado
      y guardar en un sobre todos los papeles plegados en igual número de partes,
      etiquetando los sobres con expresiones que permitan identificar su contenido.

  4 · Pintá 1/4 de uno de los cuadrados. ¿Es posible sacar un cuadrado de cualquier
      sobre para pintar sin tener que hacer nuevos pliegues? ¿Cómo?
      - Ahora hay que pintar la mitad de uno de los cuadrados. ¿De qué sobre
        conviene sacar el cuadrado? ¿Por qué?

                    1                  3
  5 · Si quiero pintaren un cuadrado y   de otro, ¿puedo sacar los cuadrados del
                    2                  4
      mismo sobre? ¿Por qué?

  6 · Discutan cómo dividir los cuadrados para poder sombrear.
      1
         en
      4

      1
        en
      8

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  7 · En cada caso busca distintas expresiones fraccionarias que representen la
      parte sombreada y la parte sin sombrear.

ACTIVIDADES DE CIERRE

  1 · Analizá las siguientes afirmaciones y determinar si son verdaderas o falsas. Si
      son falsas, decir por qué.
A. La mitad y la cuarta parte de un cuadrado siempre tienen la misma forma.
B. Dos medios o cuatro cuartos es todo el cuadrado, porque sombreo todas las
   partes en las que está dividido.
C. Si tomo una parte de dos, es un medio; si tomo dos partes de cuatro, también es
   un medio; si tomo la mitad de las partes en las que está dividido el cuadrado, es
              1 2 3 4
   un medio;    son diferentes formas de escribir la mitad.
              2 4 6 8
D. Cuantas más son las partes iguales en que se divide el cuadrado, las partes son
   más grandes.
E. Una misma parte sombreada siempre se expresar de una única manera.
F. Una fracción la puedo representar sombreando de diferentes maneras.
                                         1     1    1
G. La mitad de un medio es un cuarto, ( de       es ) y la mitad de un cuarto es un
                                         2     2    4
            1      1     1
   octavo, ( de      es ).
            2      4    8

  2 · Analizá la siguiente situación:

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    Tres cuartos es lo mismo que                      Tres cuartos es lo mismo que
   un cuarto y un cuarto y un cuarto                     un medio y un cuarto
            3 1 1 1                                           3 1 1
                                                              
            4 4 4 4                                           4 2 4

¿Quién de los dos tiene razón? ¿Por qué?

  3 · En cada una de las siguientes figuras hay una parte sombreada. Indicá en
                                              1
      cuáles la parte sombreada no representa   del dibujo y explicá por qué.
                                              3

                                                      1
  4 · Cada una de las siguientes figuras representa     de otra. Dibujá en cada caso
                                                      4
      la figura entera de dos maneras diferentes.

  5 · De una tableta de chocolate de 6 trozos iguales, Juan comió
      4. ¿Qué parte del chocolate comió Juan?

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  6 · Carlitos fue con sus amigos a una pizzería. La pizza que les
      sirvieron estaba cortada en 8 porciones iguales. Si Carlitos
      comió 2 porciones, ¿qué parte de la pizza comió?
        Lionel dice que comió ¼ de la pizza, ¿comió más o menos
        que Carlitos? Justifica.

  7 · De una bolsa con 15 caramelos, Diego saco 6.
        -   ¿Qué fracción de caramelos saco Diego de la bolsa?
        -   ¿Qué fracción de caramelos quedaron en la bolsa?

  8 · Observa las siguientes pelotas de tenis:

        -   ¿Cuántas pelotas hay en total? ¿Y de cada color?
        -   ¿Qué fracción de pelotas son blancas? ¿Y verdes?
Nota:
        Al desarrollar la secuencia, es conveniente que tengamos en cuenta que:
 los alumnos trabajen grupalmente en la actividad inicial y en las actividades de
  cierre en forma individual, y que realicen puestas en común con el grupo total;
 las consignas se pueden plantear en forma oral y, a la vez, escribir en la pizarra,
  variando la forma de referirnos a las fracciones (tres cuartos, tres de las cuatro
  partes, las tres cuartas partes, 3/4…);
 los alumnos pueden hacerse cargo de decidir y justificar la validez de las
  respuestas, ya sea en forma empírica (plegando, realizando las marcas
  efectivamente) o mediante argumentos, por ejemplo, cuando un niño dice: Para
  sombrear los tres cuartos de un rectángulo, tendría que dividirlo en dos y volver a
  dividirlo por la mitad porque así formo cuartos, dos cuartos para cada mitad, y no
  necesita hacerlo efectivamente para aceptarlo como cierto;
 las equivalencias y las diferentes relaciones que se van definiendo pueden
  registrarse en afiches y en la carpeta o en el cuaderno, a fin de ir conformando el
  repertorio numérico “tratado por la clase”.

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Actividad 5: A Repartir.

ACTIVIDAD

  1 · Se reparten 13 globos entre 4 niños. Todos reciben la misma cantidad.
      -   ¿Cuántos globos le tocan a cada uno?
      -   ¿Sobran? ¿Cuántos?

  2 · Se reparten 16 libros entre los 28 alumnos de la clase, de tal forma que los
      grupos tengan la misma cantidad de integrantes.
      -   ¿Cuántos alumnos forman cada uno de los grupos?
      -   ¿Sobran libros? ¿Cuántos?

  3 · El día lunes, en la escuela compramos 18 turrones para compartir entre todos
      los compañeros de mi clase, en total éramos 28. Lo repartimos de tal manera
      para que todos comiéramos lo mismo. ¿Cuánto comió cada uno nosotros?
      Expresalo en fracción.
      El día martes, hicimos lo mismo pero falta un compañero. ¿Cuánto comió cada
      uno?

  4 · Juan reparte 4 chocolates entre 5 chicos para que todos coman
      igual. ¿Cuánto come cada niño?
        ¿Comerían lo mismo si fuesen 4 niños y 5 chocolates para
repartir? ¿Por qué?

  5 · Ocho amigos quieren repartir 5 alfajores y que cada uno coma lo mismo.

Martina dice:                                Pero Rulita opina que:
                                                                        NO!!!
                 Cada uno debe recibir                            A Cada uno le toca
                       1 1   1                                          1   1
                        ,  y                                              y
                       4 4   8                                          2   8

       ¿Quién de las dos tiene razón? ¿Cómo te diste cuenta?

  6 · ¿Cómo pueden 6 chicos compartir 5 barras de cereales? Encontrá tantas
      maneras diferentes de distribución como te sea posible.

  7 · Luisa tiene tres pastafrolas iguales para repartir entre sus cuatro hijos. Miriam
      tiene cuatro pastafrolas iguales a las de Luisa para repartir entre sus cinco hijos.
      -   ¿Comen más los hijos de Luisa o los de Miriam?
      -   Si las pastafrolas de Miriam no son iguales que las de Luisa, ¿Qué podrías
          decir?

  8 · El sábado 3 amigos fueron a una pizzería.

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4to. grado
                                               > Interpretar, registrar y comparar
                                               usando fracciones

Uno de ellos, Juan, le preguntó al mozo: “en cuantas porciones iguales viene cortada
la pizza”.
El mozo le contesto: “en 6 porciones”.
Para saber cuántas pizzas pedir cada uno de los amigos debía decir cuántas
porciones iba a comer, pero en fracción. Así cada uno dijo:
Juan: “voy a comer un medio de la pizza”
Pedro: “tengo mucho hambre, voy a comer cuatro sextos”
Luis: “recién comí un alfajor, con un dos sextos voy a estar satisfecho”
         -   ¿Cuántas pizzas pidieron los tres amigos?
         -   ¿Les sobro? Si es sí, ¿qué fracción?

Notas:
        La puesta en común de los procedimientos realizados para la resolución de las
actividades anteriores debieran ser la oportunidad para promover el debate sobre:
 las representaciones utilizadas (forma circular, cuadrada de las tortas) en relación
  con las ventajas y dificultades derivadas para “cortar” en trozos y también para
  comparar las cantidades;
 las escrituras producidas a partir de la pregunta ¿cuánto come? y la relación de
  las mismas con la representación que la generó. La confrontación de las
  respuestas debiera dar la posibilidad de establecer la equivalencia entre ½ + ¼ y
  ¾; y entre ¼ + ¼ + ¼ y ¾.
 las equivalencias o relaciones obtenidas pueden quedar registradas en los
  cuadernos y en un afiche colectivo en el que se irá agregando información a
  medida que se obtengan otras equivalencias o relaciones;
 las estrategias utilizadas para comparar y la variedad de respuestas
  contradictorias dadas al problema constituyen una excelente posibilidad para
  discutir sobre el procedimiento más fiable.

      Al presentar problemas que involucran tanto particiones como repartos es
necesario tener en cuenta los números que se eligen y las representaciones que se
ponen en juego.

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