Modelos de partícula independiente - Tema 7 Asignatura de Física Nuclear Curso académico 2012/2013
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Tema 7
Modelos de partícula independiente
Asignatura de Física Nuclear
Curso académico 2012/2013
Universidad de Santiago de Compostela
Física Nuclear, Tema 7 1
Modelos de partícula independiente
1 Modelo del gas de Fermi
1.1 Gas de fermiones degenerado
1.2 Gas de Fermi y fórmula semiempírica de masas
2 Modelo de capas para núcleos esféricos
2.1 Evidencias de la estructura de capas
2.2 Niveles de energía y potenciales fenomenológicos
2.3 Acoplamiento espín-órbita
2.4 Modelo extremo de partícula independiente
2.4.1 Espín y paridad del estado fundamental
2.4.2 Momentos electromagnéticos
2.4.3 Otros resultados experimentales: límites del modelo extremo de partícula independiente
2.4.4 Configuraciones con dos partículas: interacción residual
2.5 Modelos de capas macroscópicos
2.5.1 Campo medio nuclear: aproximación de Hartree-Fock
2.5.2 Modelo de capas para núcleos esféricos con interacción residual
3 Modelo de capas para núcleos deformados: modelo de Nilsson
3.1 Oscilador armónico anisótropo
3.2 Efecto de la deformación sobre los estados individuales
3.3 Previsiones de espín y paridad de los núcleos deformados
Física Nuclear, Tema 7 2
Modelos de partícula independiente
Bibliografía:
K. Heyde Basic Ideas and concepts in Nuclear Physics
The nuclear shell model
Bohr y B.R. Mottelson Nuclear Structure
R.F Casten Nuclear Structure from a simple perspective
M.A Preston Structure of the nucleus
L. Valentin Noyaux et particules
C.A. Bertulani y P. Danielewicz Introduction to Nuclear Reactions
Física Nuclear, Tema 7 3
Modelo de la gota líquida
Modelo colectivo: basados en observaciones fenomenológicas
B( A, Z ) av A as A2 / 3 ac Z ( Z 1) A 4 / 3 a A ( A 2 Z ) 2 A 1
Idea: saturación fuerza nuclear
Física Nuclear, Tema 7 4
Modelo de la gota líquida
ilustra la necesidad de introducir los efectos de partícula independiente
B( A, Z ) av A as A2 / 3 ac Z ( Z 1) A 4 / 3 a A ( A 2 Z ) 2 A 1
El modelo de la gota líquida no reproduce muchos
de los observables nucleares
Física Nuclear, Tema 7 5
1. Modelo del gas de Fermi
1.1 Gas de Fermiones degenerados
Primer modelo de partícula independiente : núcleo visto como un conjunto de fermiones. El núcleo
atómico se describe como un gas constituido por A fermiones confinados dentro de un volumen V
4 3 R ro A1/ 3
V ro A
3
Potencial nuclear al que están sometidos p y n
Comportamiento de un sistema de
Fermi para T=0 y T=/ 0
Física Nuclear, Tema 7 6
1. Modelo del gas de Fermi
1.1 Gas de Fermiones degenerados
Los nucleones se comportan como partículas libres. Se mueven dentro del núcleo pero no
interaccionan entre ellos ppo de exclusión de Pauli
Condiciones de contorno
Soluciones de la forma
La energía está cuantizada
n
n toma valores enteros y positivos
Degeneración de la energía
FN Tema 7
Física Nuclear, Tema 7 7
1.1 Gas de Fermiones degenerados
Calculo del número de niveles entre k y k+dk
kx,ky,kz>0
Volumen de una
corona esférica
Volumen del
Energía máxima cubo unidad
En cada cubo de lado a sólo existe un
F punto que es solución de la ecuación
El numero total de estados: El numero total de estados debe ser A/4 (4
nucleones por estado)
densidad
materia
nuclear
A/a3 =0,16 Energía de Fermi: todos los nucleones
nucleones/fm³ del núcleo ocupan niveles, hasta un
KF= 1,33 fm-¹ determinado momento kF
Física Nuclear, Tema 7 8
1.1 Gas de Fermiones degenerado
La hipótesis de que los nucleones se mueven en el núcleo es difícil de visualizar
Simil de los nucleones como moléculas de un gas.
Energía cinética media de los nucleones
Energía del punto cero (a0)
Relacionada con la
descripción cuántica del
núcleo atómico
Física Nuclear, Tema 7 9
1.2 Gas de Fermi y fórmula semiempírica de masas
Una forma de evaluar este modelo es compararlo con las predicciones de la fórmula
semiempírica de masas
Evaluación del término de volumen
La energía de volumen es proporcional a la suma de la energía cinética + potencial
(av = a0 +U0)
La energía potencial es la suma de la energía de enlace + energía de ligadura
|Uo|=F+S~ 36+8 =44MeV av = 21 –44 ~ 20 MeV
en la fórmula semi empírica de las masas av =15.8 MeV
Reproducción satisfactoria
-el valor Uo en acuerdo con resultados experimentales
-El valor F no depende del nº de nucleones del núcleo saturación de la fuerza nuclear
-La densidad de estados es proporcional al volumen definido por el potencial y aumenta
con el nº de nucleones como A
Física Nuclear, Tema 7 101.2 Gas de Fermi y fórmula semiempírica de masas
Evaluación del término de superficie: en la superficie del núcleos kx,y,z=0, estos estados
no deben contabilizar en el total de espacios disponible
Densidad de Superficie de una corona esférica con
estados en radio k, k+dk
la superficie
Superficie del elemento volumen unidad
Densidad de niveles corregida del término de superficie
Física Nuclear, Tema 7 11Modelo del gas de Fermi
Integrando y desarrollando en serie obtenemos
V= a3
S=6a2
R=a ~1,2A¹/3
Término de volumen Término de superficie
as = 15,9 Mev a comparar con
La fórmula semiempírica de masas
17,2 MeV
Física Nuclear, Tema 7 12Modelo del gas de Fermi
Evaluación del término de asimetría
Si el núcleo es simétrico N=Z=A/2
Lo que permite reescribir el nivel de Fermi de protones y neutrones
Física Nuclear, Tema 7 13Modelo del gas de Fermi
2/3
Término de asimetría
as = 25 MeV en buen acuerdo con la fórmula semiempírica de
masas que predice 21 MeV Potencial bastante realista
Física Nuclear, Tema 7 142. Modelo de capas para núcleos esféricos
2.1 Evidencias de la estructura de capas
Potencial de ionización atómica : símil de la evidencia experimental de la existencia de
capas en física atómica
Energía de separación de neutrones
Física Nuclear, Tema 7 2 8 20 28 50 8215 1262. Modelo de capas para núcleos esféricos
2.1 Evidencias de la estructura de capas
Energía de separación de protones
Energía del primer estado excitado
en núcleos par-par
Física Nuclear, Tema 7 162.2 Potenciales fenomenológicos
Pozo cuadrado tridimensional: los nucleones se mueven independientemente bajo el efecto
De un potencial promedio
Coordenadas esféricas
Rl(r) = A r jl (kr)
Solución de la parte radial
-Uo
Física Nuclear, Tema 7 172.2 Potenciales fenomenológicos
La solución se da en forma de funciones de bessel esféricas jl(kR)=0
Los posibles estados permitidos para un potencial así
! Solo se reproducen los números mágicos
inferiores !
n representa el orden de aparición de un
momento angular orbital dado
La degeneración viene dada por el número de
proyecciones de momento angular orbital
diferentes
Física Nuclear, Tema 7 182.2 Potenciales fenomenológicos
Oscilador armónico
En coordenadas cartesianas
Física Nuclear, Tema 7 192.2 Potenciales fenomenológicos
En coordenadas esféricas. La parte radial
La solución se da en función de polinomios de Laguerre
Aplicando condiciones de contorno
Comparando con la solución en
coordenadas esféricas
! Solo se reproducen los
números mágicos inferiores
!
Física Nuclear, Tema 7 202.2 Potenciales fenomenológicos
Pozo 3D Oscilador armónico
Exactamente idéntico al Mejora reproducción hasta capas
nivel de HF en Física Atómica más profundas
Física Nuclear, Tema 7 212.2 Potenciales fenomenológicos
Woods Saxon
Mejora un poco más la
reproducción hasta capas
más profundas
Física Nuclear, Tema 7 222.3Acoplamiento espín-órbita
Acoplamiento espín-órbita : término adicional introducido en 1949 por Mayer and Jensen
Justificación: dependencia de la fuerza nuclear con el espín
La función de onda del sistema: tiene su parte radial, angular y de espín
Donde m= ms+ml, los valores propios del término de espín-órbita son de la forma
Esto significa que el campo medio es más atractivo para el caso en que l y s son
paralelos que cuando son anti-paralelos
Física Nuclear, Tema 7 232.3 Potenciales fenomenológicos
los valores propios de energía son
Se rompe la
degeneración en j
Física Nuclear, Tema 7 242.3 Potenciales fenomenológicos Física Nuclear, Tema 7 25
2.3 Potenciales fenomenológicos
¿Es el concepto de capa
estático?
Física Nuclear, Tema 7 26Dependencia spin-isospin de la interacción NN
V f (r )
Otsuka et al (Monte Carlo Shell Model)
Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 082502-1
Esta interacción sólo puede acoplar órbitas con el
mismo momento angular l , j>(l+1/2) y j con j< Interacción atractiva
mucho más fuerte que j> con j> (y j< Produce elementos de matriz grandes
con j que pasa a
El mismo mecanismo es extensible para neutrón en j< (o viceversa)
el operador que acopla el isospín
* El estado d 3/2 en el 24O se encuentra a alta energía muy próximo a la
capa sd, mientras que ese mismo estado en el 30Si está a menor energía
muy próximo al s 1/2
30Si (Z=14 , N=16) 24O (Z=8, N=16)
Además de los 8 protones de la Los únicos 8 protones de que
capa cerrada quedan 6 protones en disponen forman capa cerrada.
d 5/2 todos ellos sensibles de NO quedan protones en d 5/2 para
interaccionar con neutrones d 3/2. interaccionar con neutrones d 3/2.
Cuanto mayor es el número de Los neutrones d 3/2 se encuentran
protones d 5/2 más ligado se poco ligados
encuentran los neutrones d 3/2
Física Nuclear, Tema 7 27Física con núcleos exóticos
Evidencias experimentales de la modificación de números mágicos
Curva de abundancia del proceso r comparada con dos cálculos:
modelo capas estándar
Modelo de capas estándar modificado
Física Nuclear, Tema 7 28Física con núcleos exóticos
Evidencias experimentales de la modificación de los números mágicos con el isospín
40C
ISÓTOPOS ISÓTONOS a Z=20
39K
38Ar
37Cl
36S
35P
34Si
33Al
Sistemática de la energía de
excitación para el primer estado 32Mg
excitado 2+ para isótopos par-par de Sistemática de la energía de
31Na
Ni (Z=28) excitación para el primer estado
N=28 número mágico estándar (56Ni) excitado 2+, comparación del 40Ca 30Ne
Tz=0 (Tz=0) y 36S(Tz=-2) con el 32Mg
29F
N=40 nuevo fenómeno (68Ni) Tz=-6 (Tz=-4)
N=20
Física Nuclear, Tema 7 292.4 Modelo extremo de la partícula independiente
- Las capas completas están caracterizadas por el número cuántico j
y tienen una degeneración de 2j+1
- La proyección del momento angular total es:
En el caso de núcleos
Con simetría esférica
J nunca puede ser mayor que su proyección J= 0 .
Todos los núcleos doblemente mágicos tienen un J=0+ en su estado fundamental
todos los núcleos par-par
MODELO DE PARTÍCULA INDEPENDIENTE TODOS LOS NUCLEONES EN UNA
CAPA CERRADA NO CONTRIBUYEN A LA ESTRUCTURA DEL NÚCLEO
LOS NUCLEONES DE VALENCIA CARACTERIZAN AL NÚCLEO
Física Nuclear, Tema 7 302.5 Espín y paridad de estados fundamentales
Recordar: definición de
espín en FN
15O, 17O J=1/2-
Z=8, Z=8,
N=7 N=9
Estructura de núcleos espejos.
Todos los niveles debajo de 5 MeV
Las paridades negativas
presentan configuraciones
más complejas, solo una se
muestra como ejemplo
Física Nuclear, Tema 7 312.6 Momentos electromagnéticos
El modelo de partícula independiente permite determinar los momentoselectromagnéticos nucleares.
Sólo contribuyen los nucleones desapareados
Momento dipolar magnético
Unicamente j es un buen número cuántico
Si tenemos en cuenta que
Sustituyendo en la ecuación anterior
análogamente
Física Nuclear, Tema 7 322.6 Momentos electromagnéticos
Calculamos ahora el valor medio de la proyección del momento dipolar magnético
sobre el momento angular total
Lo que nos permite definir el factor giromagnético
Teniendo en cuenta los posibles acoplamientos entre l y s
Física Nuclear, Tema 7 332.6 Momentos electromagnéticos
Impar de protones Impar den eutrones
líneas de
Línea contínua gs calculado en nucleones libres Smith
Línea discontinua tiene en cuenta el hecho de que
está rodeado de mesones gs=0.6gs (free) mejora
el acuerdo
El modelo extremo de particula independiente ofrece una comprensión aproximada
La dispersión de los datos no la refleja el modelo que esta simplificando
Física Nuclear, Tema 7 342.6 Momentos electromagnéticos
Momento cuadrupolar
Proyectamos este operador sobre
La dirección en que j=m es máxima
que en el sistema de referencia del laboratorio
Q relacionado con la deformación
Si Q>0 la dirección z domina sobre las otras
coordenadas y decimos que el núcleo es prolato (forma
de huevo)
Para j=m
Si Q2.6 Momentos electromagnéticos
Evaluación para núcleos impares en
protones
Evaluación para núcleos impares en
protones según el modelo de
partícula independiente Q=0
Mayor cantidad de Q>0
No se reproducen los valores de Q grandes
Fracaso del modelo de partícula independiente ???
algunos aspectos relevantes no se están teniendo en
Física Nuclear, Tema 7 cuenta 362.7 Resultados del modelo de partícula independiente
Predicción para núcleos par-par
se reproduce la secuencia de
niveles no la escala absoluta
Física Nuclear, Tema 7 372.7 Resultados del modelo de partícula independiente
Predicción para núcleos 1 partícula – 1 hueco
Tanto el estado fundamental como los primeros excitados
Física Nuclear, Tema 7 382.7 Otros resultados: interacción de apareamiento
Zona
642.7 Otros resultados: interacción residual
208Pb(4He,t)209Bi un proton
de valencia
208Pb(d,t)207Pb un hueco
de valencia
- Las energías de subcapas con diferentes momentos angulares dependen de la
interacción con las capas inferiores
- Diferentes capas inferiores producirán efectos distintos en una misma capa abierta
Física Nuclear, Tema 7 402.8 Configuraciones con dos nucleones
Si consideramos núcleos con más de un nucleón/hueco de valencia, el estado de ese núcleo estará
determinado por el acoplamiento de los momentos angulares de los orbitales que ocupen esos
nucleones/huecos de valencia: |j1-j2|….|j1+j2|
Si los nucleones son idénticos función de onda del acoplamiento deberá ser antisimétrica
Utilizando propiedades de los Clebsch-Gordon
2j es impar porque j es siempre semientero, así si J no es par se anula
2 fermiones idénticos que se acoplan sólo pueden hacerlo a J pares y en principio todos los posibles
acoplamientos corresponderían a niveles de energía degenerados.
Física Nuclear, Tema 7 412.8 Interacción residual
Experimentalmente se observa una ruptura de la degeneración de los estados que surgen por el
acoplamiento de espines de nucleones/huecos de valencia que se explica como una manifestación
de una interacción residual más allá del campo medio.
Ejemplo configuración 2n
a) Elemento de matriz (1d 5/2 )2 J
b) Elemento de matriz considera
El espacio completo (1d 5/2 2s ½ 1d 3/2) Ejemplo configuración 2p
a) (1h 9/2)2J (1h 9/2 2 f 7/2) (1h 9/2 1i 13/2)
b) (1h 9/2 2f 7/2 1i 13/2)
Física Nuclear, Tema 7 422.8 Interacción residual
La variación de energía introducida por una interacción residual V12 entre los nucleones/huecos de
valencia puede calcularse de la forma:
Donde V12 tiene la forma genérica de un potencial central : corto alcance e independiente del momento
angular:
A partir de estas expresiones y utilizando el álgebra de momentos
Donde FR depende únicamente de las coordenadas radiales
Integrando la parte angular
Se rompe la degeneración en J
Física Nuclear, Tema 7 432.8 Interacción residual
Evaluando la separación en energía para niveles de J consecutivos
E2 1 E4 9 E6 25
Podemos asignar valores numéricos desde J=0,2,4,....
E0 4 E2 16 E4 36
Lo que me permite calcular el espaciamiento relativo entre niveles
0+(espines antiparalelos)
disminuye considerablemente
El espaciamiento entre niveles
depende de A funciones
angulares universales que no
dependen del potencial central
Física Nuclear, Tema 7 44Descripción microscópica del núcleo atómico
3.1 Resolución del sistema nuclear de N cuerpos
(r1 , r2 , r3 rN )
H E N N
N
H Ti V2b (ri , rj ) V3b (ri , rj , rk )
i i, j i , j ,k
Si nos limitamos a interacciones a dos cuerpos:
N
N
H Ti V2b (ri , rj )
i i, j
Descomponiendo la interacción entre un potencial central y una interacción residual:
N
N
H Ti U (ri ) H res
i i
Física Nuclear, Tema 7 45 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.1 Resolución del sistema nuclear de N cuerpos
(r1 , r2 , r3 rN )
H E N
N N
H Ti V2b (ri , rj ) V3b (ri , rj , rk )
i i, j i , j ,k
Cálculos ab-initio
- resuelven de forma exacta la ecuación
- utilizan fuerzas fenomenológicas N-N y N-N-N
- cálculos limitados a ADescripción microscópica del núcleo atómico
3.2 Calculos ab-initio
Son necesarias interacciones a tres cuerpos para describir los estados de partícula independiente
Física Nuclear, Tema 7 47 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.3 Calculos de campo medio auto-consistentes: Hartree-Fock
El hamiltoniano general del sistema nuclear puede separarse en una parte de interacción a un cuerpo
que describe el campo medio más el término de interacción residual
Si aplicamos el modelo extremo de partícula independiente (despreciando la interacción
residual), este hamiltoniano puede aproximarse como:
U (ri) representa el campo medio interacción que siente un nucleón generada por los demás nucleones
ri representa posición y nº cuánticos (r= ni,, li, ji, mi )
Cada nucleón está descrito por f.d.o que son propias del Ho
k=1,2, .. D representa todos los estados de
partícula independiente de un núcleo luego
en el fundamental D=A
Física Nuclear, Tema 7 48 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
Luego la f.d.o de un núcleo de A nucleones en su estado fundamental será:
Y los valores propios de energía del sistema serán
PROBLEMA no conocemos ni el potencial medio U(ri) ni las f.d.o. USO DEL METODO
VARIACIONAL (Hartree-Fock) para determinar tanto U(ri) como las f.d.o del sistema
DETERMINACION DE U(ri)
Los nucleones son partículas puntuales caracterizadas por ri que interaccionan vía
Así el potencial total sobre una partícula
que para una distribución
continua será
Física Nuclear, Tema 7 49 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
La densidad puede caracterizarse como
Se suma sobre todos los estados ocupados
b=nb, lb, jb, mb
Por lo que el campo medio puede calcularse en un punto como
Para calcular U necesito conoce la interacción V(r,r’) y b(r’)
Pero para determinar b(r’) , necesito conocer U(r)
PROCEDER POR ITERACIÓN
partimos de una solución posible para la f.d.o o U(r) e itero hasta que ambas
convergen
Física Nuclear, Tema 7 50 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
Se puede partir de f.d.o de partícula independiente obtenidas para un potencial macroscópico:
oscilador armónico+ término de espín-órbita
Con estas funciones de onda se resuelve la ecuación
Para un sistema de i=1,... A ecuaciones descripción del estado fundamental.
Teniendo en cuenta que la f.d.o tiene que ser antisimétrica
La ecuación anterior resulta
Física Nuclear, Tema 7 51 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
Utilizando la notación:
Se puede escribir el sistema de ecuaciones que queremos resolver como:
En general la integral incluye términos no locales y su resolución no es trivial
solución iterativa
i( r) U0H( r) + U0F( r,r’) i( r) U1H( r) + U1F( r,r’) i( r) U2H( r) + U2F( r,r’) ....
El proceso se repite hasta encontrar una solución convergente para las funciones de onda
Física Nuclear, Tema 7 52 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
Con el resultado anterior se puede determinar la f.d.o del sistema como:
Estas f.d.o me permiten calcular algunas de las propiedades macroscópicas del sistema
Tales como :
La energía de ligadura
La distribución de masa o carga o el radio cuadrático medio
Física Nuclear, Tema 7 53 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico Física Nuclear, Tema 7 54 José Benlliure
Descripción microscópica del núcleo atómico
3.4 Modelos de capas
Resuelven la ecuación de Schrodinger utilizando dos aproximaciones:
- utilizan un número reducido de estados de partícula independiente: truncamiento
- utilizan interacciones efectivas
- Las subcapas completas (core) no se incluyen
en el cálculo. Su efecto aparece implícito en las
energías de los estados de partícula
independiente y las interacciones efectivas
- Los nucleones pueden ocupar diferentes
orbitales (configuraciones) como consecuencia
de la interacción entre ellos
- En la capa de valencia se consideran todas las
posibles ocupaciones de los orbitales por los
nucleones de valencia y se promedia sobre ellas
(mezcla de configuraciones)
- cada configuración está caracterizada por un
elemento de matriz
Física Nuclear, Tema 7 55 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.4 Modelos de capas
El hamiltoniano del sistema se puede escribir entonces como:
- i son los estados de partícula independiente.
H i v
a a a al
i , j , k ,l i
j k - vi,j,k,l son los elementos de matriz a dos cuerpos
i i , j , k ,l
- a,a+ son los operadores de destrucción y creación
Cada una de las configuraciones de los nucleones de valencia estará descrita por un elemento de
matriz de la forma:
1 | H | 1 , 2 | H | 2 , 3 | H | 3 ,
Donde cada uno de los estados 1, 2, 3 es 1 a a a | 0
un determinante de Slater que resulta del
producto de estados de partícula
2 a ' a ' a' | 0
independiente , …de una determina 3 a '' a '' a'' | 0
capa cerrada |0> :
Física Nuclear, Tema 7 56 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.4 Modelos de capas
A partir de aquí podemos construir el hamiltoniano del sistema como:
Con este hamiltoniano podemos obtener los valores propios de energía como:
H E
siendo: c11 c22 c33 y los parámetros c1, c2, c3,… el peso de cada
configuración.
Física Nuclear, Tema 7 57 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.4 Modelos de capas
Diagonalizando la matriz obtenemos los valores propios de energía:
Eligiendo convenientemente la base de estados ,…se simplifica el método
de diagonalización.
Física Nuclear, Tema 7 58 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.4 Modelos de capas
Los elementos de matriz a dos cuerpos podemos obtenerlos como:
j1 , j2 , J , M | V | j3 , j4 , J ' , M ' ( j ,m , j ,m
m1 , m2
1 1 2 2 | J, M ) ( j ,m , j ,m
m3 , m4
3 3 4 4 | J ', M ')
j1 , m1 , j2 , m2 | V | j3 , m3 , j4 , m4
Como la interacción V es invariante rotacional los elementos de matriz
serán independientes de M y J=J’: Por tanto solo dependerán de J y de T.
A modo de ejemplo se enseñan los elementos de matriz para un núcleo
con dos nucleones de valencia en la capa sd (A=22)
Los orbitales de valencia serán: 1d5/2, 1d3/2, 2s1/2
Física Nuclear, Tema 7 59 José BenlliureDescripción microscópica del núcleo atómico
3.4 Modelos de capas
El número de configuraciones, y por tanto la dimensión de la matriz que hay que
diagonalizar se incrementa rápidamente con el número de nucleones de valencia y
con el número total de nucleones del núcleo:
Física Nuclear, Tema 7 60 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear (para saber más, Heyde pag. 351-360)
El estudio de momentos cuadrupolares eléctricos ponía en evidencia la existencia de grandes
discrepancias entre los valores calculados (suponiendo una distribución esférica) y los resultados
experimentales sobre todo manifiesta para valores grandes de A
150Descripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
Cualquier superficie puede parametrizarse en función de armónicos esféricos
Donde a es la amplitud del armónico esférico
, r () determinan la posición de un punto de la superficie en el sistema elegido
Dependiendo de la superficie necesitaremos
un desarrollo multipolar diferente parametrizado por
informa del número de coordenadas necesarias
Física Nuclear, Tema 7 62 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
Si nos limitamos a desarrollos de orden cuadrupolar
Haciendo uso de los armónicos esféricos
Física Nuclear, Tema 7 63 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
La descripción del sistema puede simplificarse si utilizamos como sistema de referencia
el de los ejes principales procedemos a rotar nuestro sistema (ángulos de Euler).
El nuevo sistema verifica
(simetría especular)
Por lo que la superficie queda caracterizada por : los 3 ángulos de Euler, a20 y a22
Normalmente estas variables suelen sustituirse por y
La figura representa en un diagrama polar las diferentes
regiones de deformación
=radio
=ángulo cambia en 2/3 para pasar de un eje a otro
Física Nuclear, Tema 7 64 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
El resto de valores de corresponden a núcleos con simetría tri-axial .
En genera caracterizaremos cualquier punto de la superficie de un núcleo como
r2
r3 r1
Donde los tres semi-ejes tendrán longitudes
Física Nuclear, Tema 7 65 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
Estas expresiones pueden escribirse de forma general
Puesto que la densidad del núcleo es constante los núcleos que se deforman lo hacen
manteniendo el mismo volumen.
Física Nuclear, Tema 7 66 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
Si la deformación es permanente los parámetros a20 y a22 no
dependerán del tiempo.
Para núcleos con simetría axial
= 0, 120, 240 prolate
= 60, 180, 300 oblate
Física Nuclear, Tema 7 67 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.1 Deformación nuclear
Física Nuclear, Tema 7 68 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa
Utilizaremos el modelo de Nilsson para describir la estructura de núcleos deformados
necesitamos un potencial que describa
la forma del núcleo
J ya no es una constante de movimiento,
sino que lo será su proyección
Física Nuclear, Tema 7 69 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa
Vamos a referirnos sólo a núcleos con deformación cuadrupolar (=2 )
Utilizamos una imagen simplista del núcleo en la que los nucleones se mueven en órbitas que
son perpendiculares a la dirección del momento angular orbital que definen estas mismas órbitas
K es la proyección de J sobre el eje de simetría
En núcleos esféricos cada nivel tiene una
degeneración de 2j+1, siendo todos los
valores de k equivalentes.
En núcleos deformados la energía de los niveles
depende de la orientación de la órbita
Cuanto mayor sea el solapamiento entre la órbita y el resto de la materia nuclear
mayor será la interacción y menor la energía del estado
Física Nuclear, Tema 7 70 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa
Caso prolate
El solapamiento es máximo cuanto
menor sea el valor de K
j4 será la órbita de menor energía
Caso oblate
El solapamiento es máximo cuanto
mayor sea el valor de K
j1 será la órbita de menor energía
En núcleos deformados se rompe la degeneración en J
J ya no es un buen número cuántico(no define un estado) sino que lo es su proyección K
Física Nuclear, Tema 7 71 José BenlliureDescripción microscópica de núcleos deformados
4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa
La deformación induce pues un desdoblamiento de niveles en función del valor de su
proyección del momento angular K.
En realidad la separación entre niveles
no es equidistante ya que sin~K/j
Para j=13/2
aumenta con k2
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4.2 Modelo de Nilsson: descripción cualitativa
Como depende de j aumenta cuando j aumenta
Para un K determinado las capas de mayor j tienen una dependencia
menor de la energía con la deformación sin~K/j
En mecánica cuántica no pueden
juntarse dos estados con idénticos nº
cuánticos
aquí el buen nº cuántico es k por
tanto no es posible que dos estados con
el mismo K se crucen
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4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico
Consideramos núcleos con deformación cuadrupolar en los que vamos a analizar el
formalismo que describe el esquema de niveles del núcleo deformado.
Plantearemos la ecuación de Scrödinger para un oscilador armónico
Espín-órbita
oscilador anisótropo
1, 2,, ,3 son frecuencias independientes ( inversamente proporcionales a las longitudes
de los semiejes que definen la forma del núcleo.
(para saber más, Nilsson tema 8 y Heyde tema 13)
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4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico
Si consideramos la deformación como una perturbación de un potencial esférico:
Describe la anisotropía del potencial
HO isótropo
Para núcleos con simetría axial:
Los valores propios de esta parte del hamiltoniano pueden obtenerse aplicando método perturbativo
Considerando que j es todavía un buen nº cuántico para deformaciones pequeñas
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4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico
La variación de energía respecto al oscilador armónico será:
separado la contribución radial y la angular tenemos
se rompe degeneración en K
la variación dela energía depende proporcionalmente del valor de la
deformación cuadrupolar
hay dependencia con K2
depende linealmente con el número cuántico principal
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4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico
Los orbitales pueden caracterizarse como:
K[ Nnz ]
Kproyección de momento angular total y paridad
N nº cuántico principal
nz nº de nodo de la función de onda en el eje z
componente del momento angular orbital a lo largo del eje de simetria
Proyección de espín
K = + +- 1/2
nzes par cuando N es par paridad positiva
nzes impar cuando N es impar paridad negativa
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4.3 Modelo de Nilsson con un potencial fenomenológico
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