SECRETO DEL PASADO: EL LENGUAJE - Guillermo Abad Vegas - UPCommons
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EL LENGUAJE
SECRETO DEL PASADO:
ARCOS Y BÓVEDAS
TFG
trabajo final de grado
Guillermo Abad Vegas
Septiembre
2021|ETSAB|UPC
Tutor: Carlos PérEZ LAMAS
Tribunal de tecnología
Isabel Crespo Cabillo
Miquel Martí Casanovas
Carlos R. Marmolejo Duarte
ed amlaP fo lardehtac eht fo muirbiliuqe labolg eht fo sisylana citatS )a( .91 .giF
;]2191 revlleB i óibuR[ stsurht s’tluav eht fo sisylana lacitatS )b( .lardehtac s’acrollaM
rohtua eht yb nwarder( sehcra esrevsnart dna gnissorc eht fo pot no sdaoL )d( dna )c(
SUMARIO
PREFACIO Encaje del presente trabajo en los estudios 02
Justificación de la temática escogida 04
OBJETIVOS
06
METODOLO-
GÍA 08
CAPÍTULO
01 El inicio de la arquitectura 10
CAPÍTULO
02 El cálculo tradicional 16
CAPÍTULO
03 Los inicios del cálculo científico 26
CAPÍTULO El diseño de arcos de fábrica:
04 ¿una cuestión de resistencia o estabilidad? 34
CAPÍTULO La optimización en las estructuras,
05 ¿una cuestión de geometría? 40
CONCLUSIO-
NES 52
ANEXO
I Tipos de esfuerzos 56
BIBLIOGRA-
FÍA 60
LISTADO DE
ILUSTRACIO- 62
NESCon el paso de los cursos yo esperaba que algún día nos
explicaran el comportamiento de un arco. Cómo fun-
ciona y qué diferencias tiene respecto una viga. Precioso
hubiera sido también conocer qué métodos tenían los
antiguos arquitectos para "calcular" sus grandes monu-
mentos de piedra. Pero terminé hasta el último módulo
de estructuras y ningún profesor trató este tema.
En cambio si me di cuenta de algún modo que en el fon-
do las estructuras se nos explicaban como si se tratasen
de pilares y forjados. Supongo que porque la arquitectura
es donde mejor se inserta. Al fin y al cabo Le Corbusier
fue quién promovió su uso con la maison domino. Y esto,
de algún modo, creo que a los alumnos nos hace caer en
el prejuicio de pensar que el diseño de una estructura tan
PREFACIO solo es decir cada cuanto están los pilares y cual será el
Encaje del presente trabajo en los estudios material a utilizar.
En el primer año que entré en la universidad, recuer- Ya en los últimos cursos, en proyectos sobretodo, pude
do como en una de las tantas clases de física I, con Fi- ver como el arquitecto debe dar una respuesta a todas las
del Franco como profesor, se nos explicó algo que llamó partes que conforman la arquitectura. Léase urbanismo,
mucho mi atención. Tanto es así que durante la resta de proyecto, instalaciones, construcción y estructura. Sin
los cursos siempre ha estado rondando por mi cabeza y, embargo en ninguna de ella llegamos a profundizar por-
a medida que iban pasando los años e iba aprendiendo que "bueno, en la vida real ya pedirás a un especialista Fig. 0.1 A la izquierda el
cada vez más en materia de estructuras me daba cuenta que calcule la estructura o que te haga el proyecto de las diagrama de cargas
de que aquello que nos comentó Fidel en el primer año instalaciones". de un elemento ho-
era cierto. rizontal. En el medio
Así pues, a pesar de que la arquitectura conforma una su diagrama de mo-
Básicamente lo que aprendimos en Física I fue ser capa- mentos y la derecha
unidad, ésta está atomizada en especializaciones. Esto
un arco gótico, que
ces de analizar una estructura sencilla de barras y hallar me hizo entender que, sino me espabilaba por intentar se corresponde con
sus esfuerzos. Entonces, en un pequeño paréntesis nos aprender el funcionamiento de los arcos y dar respuesta los dos diagramas de
comentó la estrecha relación que existe entre los diagra- a estas inquietudes, nadie me lo iba a explicar. la izquierda.
mas de momentos que nosotros aprendíamos a calcular
y las formas de los arcos de la antigüedad. En concreto
puso el ejemplo de cómo la forma de un arco gótico co-
rresponde al diagrama de momentos resultante de una
carga distribuida más un puntual en el centro, pero in-
vertido. He tratado de redibujar el croquis que realizó
para explicárnoslo (figura 0.1). De esta explicación me
surgieron dudas como ¿Entonces antiguamente también
se conocía todo esto que a nosotros nos explican en ma-
teria de estructuras? ¿La forma de los arcos condiciona
su resistencia? ¿Existen formas "óptimas" para resistir
con menor material los mismos esfuerzos?
2 3PREFACIO
Justificación de la temática escogida
Los motivos que me han llevado a realizar este tra-
bajo se extraen del apartado anterior y resumiendo son
los siguientes:
La falta de conocimientos acerca del funcionamiento es-
tructural de los arcos y bóvedas, que ya en la actualidad
están prácticamente en desuso con la llegada de la arqui-
tectura moderna.
La completa ignorancia sobre cómo es posible que los
arquitectos del pasado diseñaran sus estructuras y éstas
perduraran durante los siglos como prueba de su sabi-
duría. Pues es obvio que estos grandes monumentos no
eran hechos por aficionados, las obras duraban hasta si-
glos y por tanto, tenían que saber ya de antemano si el
proyecto era viable o no. No resulta lógico que dedicaran
tantos recursos en la construcción de una catedral, por
ejemplo, que ¿posiblemente se hundiría?
La inquietud y ganas de indagar en la explicación de Fi-
del acerca de la relación entre la forma de los arcos, los
diagramas de momentos y su posible optimización.
4 5OBJETIVOS
"
> Investigar qué métodos se utilizaban antaño para ase- Y en efecto, levan-
gurarse que las construcciones se sostendrían en pie. tar una obra no es,
como creen los pro-
Hacer un recopilatorio de aquellas aportaciones que, a
fanos en la materia,
lo largo de la historia, fueron claves en el desarrollo del poner piedra sobre
cálculo estructural y que han contribuido a entender su piedra y argamasa
naturaleza. sobre argamasa; sino
que, dada la diver-
sidad de las partes,
> Estudiar cómo la arquitectura moderna de la mano de
necesita cosas diver-
la tecnología y la industria han cambiado la manera de sas y diversos proce-
diseñar una estructura. ¿La forma influye en mejorar el dimientos. En efecto,
comportamiento? los cimientos tienen
una exigencias, otras
las ligaduras y las
> Entender la lógica de las estructuras de arcos y bó-
cornisas, otras los
vedas con la intención de poder comprender mejor las ángulos y los bor-
construcciones del pasado. Paralelamente investigar la des de los huecos,
relación entre forma y diagrama de momentos. otras las superficies
externas de los mu-
ros, otras distintas
> Mucho se habla hoy en día de eficiencia energética en rellenarlos y darles
edificios, pero poco se habla de la eficiencia de sus es- el espesor adecuado.
tructuras. Es cierto que la tecnología y los nuevos mate- Ahora bien, qué es
riales han cambiado la forma de diseñar una estructura propio de cada cosa
pero, ¿la han hecho más eficiente en términos de soste- será nuestra labor
nibilidad respecto a las antiguas catedrales por ejemplo? desarrollarlo. "
Libro III, Cap. I.
De Re Aedificatoria,
Alberti.
6 7METODOLOGÍA
Para llevar a cabo el trabajo nos ayudaremos del hilo
conductor de la propia historia de la arquitectura. Así
pues empezaremos desde sus inicios y trataremos de ir
recopilando las distintas visiones, concepciones o reglas
acerca de las estructuras en cada época hasta el renaci-
miento (siglo XVII). Paralelamente las iremos analizan-
do para tratar de comprender sus fundamentos, pues
como la arquitectura del pasado esta basada principal-
mente en bóvedas y arcos, esto nos servirá para ir com-
prendiendo su funcionamiento.
Una vez realizado esto, haremos uso de los conocimien-
tos de estructuras con los que a lo largo de la carrera nos
instruyen para tratar de verificar si la información reco-
pilada. Así podremos ver qué relación existe (si es que la
hay) entre cómo antaño se entendía el esqueleto resis-
tente en la arquitectura y como lo hacemos en la actuali-
dad. De este modo podremos determinar las principales
diferencias y aprender de la propia historia.
Llegados a este punto abordaremos el tema de la "eficien-
cia" estructural y de cómo poder optimizar una estructu-
ra. Para ello tendremos sobre la mesa todo lo aprendido
hasta este punto del trabajo, por lo que podremos dispo-
ner tanto de las ecuaciones contemporáneas como de la
visión ancestral para poder llegar a una conclusión final.
8 9llo que era estructura y lo que no, entre muro de carga
y tabique. Todo en el fondo, en mayor o menor grado,
contribuía a la estabilidad del conjunto. Y es que podría-
mos decir que en los inicios de la arquitectura, ésta era
pura estructura. Y hasta el decoro muchas veces, aunque
parezcan meros adornos, son parte de la estructura del
edificio decoradas y, por tanto, necesarios para su esta-
bilidad, como en el caso de los pináculos del gótico que
explicaremos más adelante.
De esta forma, la arquitectura en sus inicios era un con-
junto de estructura y construcción con el objetivo de
generar un cobijo para el ser humano. Pero, ¿cómo cons-
truir una edificio que se sustentara en pie con el pasar
de los años cuando ni siquiera existe un conocimiento
CAPÍTULO riguroso sobre la física y las matemáticas?
01 El inicio de la arquitectura
Pues lo más sencillo para construir un cobijo es apilar
La arquitectura entendida como el diseño de la cons- pedazos de algún material sólido y durable en el tiempo.
trucción, es probablemente una de las primeras discipli- Este material durante milenios ha estado la piedra, aun-
nas que la humanidad ha desarrollado desde sus inicios. que también se ha utilizado la misma tierra comprimida
Y es que podríamos decir que las necesidades básicas de para levantar muros. Posteriormente apareció el ladrillo
cualquier ser humano es disponer de comida para po- y el adobe, que tienen la virtud de poder ser fácilmente
dernos alimentar, de ropa para no ir desnudos y un re- manipulado con las manos. Todos estos materiales tie-
fugio o lugar donde cobijarnos de la intemperie. Fruto nen en común que únicamente soportan compresiones,
de esta necesidad de refugio ha surgido la motivación lo cual condiciona su uso y diposición.
de hacer construcciones habitables a lo largo y ancho de
todo nuestro mundo desde tiempos inmemorables, dan- Es así como las primeras construcciones eran de fábri-
do lugar a lo que hoy conocemos como arquitectura. ca, es decir, hechas a partir de materiales pétreos o la-
1.Esto me hace re-
flexionar en si ocu- drillos unidos entre si mediante un aglomerante o en
rrirá lo mismo con No importa el lugar o el tiempo, todas las distintas cultu- seco, con la propia geometría de la pieza, generando un
las distintas religio- ras que pueblan la faz de la tierra tienen sus construccio- aparejo (figura 1.1). Dado que estos materiales son muy
nes que existen o han nes, sus arquitecturas particulares, fruto de su localiza- resistentes a los esfuerzos de compresión, se utilizaban
existido en nuestro ción geográfica, ideas religiosas, materiales locales, etc. para conformar los paramentos verticales o muros, pero
mundo. ¿Será que
Sin embargo, a pesar de todas sus diferencias formales, ¿cómo sabían qué grosor darle al muro? Pues en aquellos
todas provienen de
una mismo origen y utilitarias, matéricas, etc. Todas ellas responden a la mis- tiempos no había más remedio que acudir a la lógica y
que por tanto son las ma necesidad básica de protegerse de la intemperie, de al sentido común. Y la respuesta lógica era muy senci-
distintas manifesta- construir un cobijo. Esto nos muestra la diversidad de lla: cuanto más gordo mejor. Lo cual es realmente cierto,
ciones de un mismo manifestaciones que existen de una misma necesidad, de cuanto más grueso es el muro más resistente es, y por
Dios que en cada
una misma unidad1; y no por ello unas son mejores que tanto, más seguro. Además, este grosor "extra" del muro
latitud se le ha nom-
brado de forma dis- otras, simplemente atienden a premisas distintas. proporcionaba una gran inercia térmica, haciendo así
tinta pero que apelan que el calor permaneciera en el interior por más tiempo.
a un misma unidad? En los inicios de la construcción, y por tanto de la arqui- De este modo la estructura contribuía a la climatización
tectura, no había una distinción consciente entre aque- y al confort térmico. Por otro lado, cuanto más grueso
10 11Fig. 1.1 Distintos apa- proporciones era seguro, otro semejante aunque de dis- 2. Esta conclusión es
rejos de fábrica. La tinto tamaño, también lo será. De este modo se sacaban el resultado de las
distinta combina- comparaciones de
conclusiones geométricas como esta: la dimensión de los
ción de sus elemen- determinadas cons-
estribos de un templo circular debe ser 1/7 de la luz in- trucciones de la épo-
tos a dado lugar a
terior2. El Panteón de Roma, por ejemplo, cumple esta ca romana realizada
una gran variedad a
lo largo de la histo- proporción (figura 1.2). por Rasch, Jürgen
(1985).
ria: (1) mampostería
concertada; (2, 3, 4)
distintos tipos de si-
llería; (5) muro com-
puesto de paramen-
tos de sillería atados
con perpiaños y
núcleo de mampos-
tería u hormigón;
(6) muro romano de
núcleo de hormigón
y revestimiento de Llegados a este punto podemos ir entendiendo que la Fig. 1.2 Comparación de
piedra y ladrillo; (7) estructura de un edificio no se trata de ciencias exactas, la sección de 5 cúpu-
muro de paramen- es decir, que un muro tenga que medir exactamente 32.1 las esféricas romanas
tos de mampostería cm de grosor porque si hace 31.9 cm pues se vendría al mismo tamaño.
irregular y remata- De izquierda a dere-
abajo. No. Hay que entender que los materiales nun-
do con una cadena cha: (a) Santa Cons-
ca trabajan al máximo rendimiento, sino que hay unos tanza, 11.5 m de luz;
de sillería; (8, 9, 10)
márgenes de seguridad y por tanto los grosores siempre (b) Templo de la Tos,
distintos tipos de
muros romanos.
son mayores a lo estrictamente necesario. De ahí que en 12.4 m de luz; (c)
la antigüedad, sin la necesidad de ningún cálculo pu- Mausoleo de Elena,
dieran levantar monumentos: los grosores siempre eran 20.18 m de luz; (d)
mucho mayores a los necesarios, del orden de entre el Templo de Minerva
doble y el triple. Medica, 23.5 m de
era el muro más difícil era hacer un agujero en él para luz; (e) Pantheon,
44 m de luz. Se ob-
generar una ventana, por ejemplo. De modo que la afir- Llegados a este punto, tenemos resuelta la construcción
serva la similitud de
mación "cuanto más grueso mejor" tiene un límite. de los muros o paramentos verticales, ahora queda resol- la proporción luz/
ver cómo cubrir los espacios entre los muros. Está claro estribos.
Por tanto, para saber el grosor adecuado en cada caso que las piedras puestas unas encima de otras se sostie-
había que recurrir a la experiencia. Como no se hacían nen, pero puestas horizontalmente para hacer el techo
cálculos para comprobar si un muro era estable o no, el no funciona porque debido a su propio peso van a caer
método que se utilizaba era la misma experimentación. al suelo. Entonces ¿qué solución tenemos? Pues de al-
Es decir, se construía el muro y se veía si se aguantaba guna manera nuestros antepasados descubrieron que la
o no. Y a base de pruebas y errores se iban hallando madera puede salvar una distancia puesta en horizontal.
las medidas de los muros que no se derrumbaban con Y así es como, en las primeras construcciones, para ha-
los años y que, por tanto, estaban bien dimensionados. cer los techos se utilizaban troncos de árboles puestos
Entonces se extrapolaban dichas medidas a las nuevas en horizontal cada cierta distancia a modo de viguetas.
construcciones mediante una semejanza geométrica, es Esto ocurre porque la madera resiste bien esfuerzos de
decir, mediante mantener la proporción. El razonamien- flexión, mientras que los materiales pétreos están más
to era el siguiente: si un edificio con unas determinadas limitados.
12 13Sin embargo, dependiendo del lugar no siempre es fácil te siglos con fábricas pero sin llegar a la idea de arco.
disponer de madera de buena calidad para hacer los te- "
chos, además que éstos estaban limitados por la altura Sin embargo, éstos también tienen su contra-parte, y es El arco nunca duer-
del árbol. Es cierto que se podían transportar los tron- que generan en su base unos empujes horizontales que me "
Proverbio árabe
cos, pero unos cuantos siglos atrás esto tenía un lími- tienen que ser contrarrestados para que todo se manten-
te, mientras que encontrar piedras desperdigadas por el ga en equilibrio. A mayor flecha del arco el empuje en su
suelo era lo más común. Por ello, el siguiente paso fue base será más vertical, y a menor flecha mayor empuje
tratar de cubrir los techos también con fábrica, y la ma- horizontal (figura 1.4). Esto lo sabían muy bien los an-
nera natural de hacerlo es a base de formar con las pie- tiguos maestros de obras y por ello se construían unos
dras o ladrillos, un arco. estribos o contrafuertes que pudieran resistir los em-
pujes horizontales del arco. Pero la pregunta es, ¿cómo
El arco tiene una gran transcendencia en la historia de sabían que grosor sería el suficiente para garantizar la
la arquitectura, pues ha permitido hacer construcciones seguridad?
que de otro modo no hubieran sido posibles. Y es que la
mayor virtud de un arco es convertir un momento flec- Fig. 1.4 Relación entre la
flecha del arco y su
3. Anexo I: Tipos de tor en un axial3. ¿Porque razón la piedra no soporta la
esfuerzos. empuje horizontal.
flexión y se rompe? Pues sencillamente porque no resiste Cuanto más apunta-
tracciones, y la flexión implica un par de fuerzas: una do menos empuje, lo
de compresión y otra de tracción. Es por ello que no se cual significa menor
podía utilizar para los techos, a no ser que se le de una grosor en los estri-
forma de arco al mismo. bos, y viceversa.
El momento flector es un giro provocado por una fuer-
za aplicada a una cierta distancia del punto de apoyo
(figura 1.3). Este producto de fuerza por distancia nos
da una magnitud cuya unidad es kN·m (si la fuerza la
consideramos en kN y la distancia en metros). Si aho-
ra dividimos este valor entre la fuerza axial (en kN) que
puede resistir la piedra o el ladrillo del que disponemos,
obtenemos los metros que ha de tener la flecha del arco
Fig. 1.3Para que el con- que resistirá dicha flexión. En otras palabras, gracias a la
junto esté en equili- forma, de arco en este caso, se puede construir un techo
brio, necesariamente
con piedras. Es así como el arco convierte la flexión en
aparece un giro en
el apoyo de la viga axial: gracias a la geometría. De aquí se deduce su im-
como reacción al portancia, pues contribuye enormemente en la estabili-
peso del individuo. dad de una estructura.
Este tipo de apoyo se
denomina empotra- Este extraordinario descubrimiento aparece por primera
miento. vez en Mesopotamia hace unos 6 milenios, y aunque no
se entendiera en aquellos tiempos como lo acabo de ex-
plicar, claro está que revolucionó la forma de construir.
Sin embargo, no fue en absoluto algo evidente. Prueba
de su contingencia es que en otras culturas, como por
ejemplo los mayas o incas, también construyeron duran-
14 15CD, trácese por debajo el Arco EF. Y por el punto F, donde el
citado Arco corta a la línea CF, trácese el plomo FG por fuera
del muro, que debe soportar la bóveda ACD; así el espesor del
muro estará comprendido entre las líneas EH y FG, y aquél será
suficiente para resistir el Empuje de la Bóveda como hacen ver
"
la práctica y la experiencia.
Capítulo IV, tratado de Derand.
Fig. 2.1 Regla geomé-
trica del tratado de
Derand. Se puede
observar que cuan-
to más rebajado es
el arco mayor es su
estribo resultante y
viceversa, lo cual es
CAPÍTULO correcto.
02 El cálculo tradicional
Vitruvio no cita ninguna regla estructural, ni siquie-
ra de las bóvedas que casi con seguridad vio erigir ante
sus ojos. En la época Helenística resulta lógico que se
escribieran tratados sobre bóvedas, con la intención de
codificar la información que se fue acumulando durante Fig. 2.2 Dibujos y textos
del manuscrito de
4. Según Santiago el Imperio Romano, pero por desgracia se han perdido4.
Martínez de Aranda
Huerta en su libro
sobre el cálculo de
Arcos, bóvedas y cú- Con la caída del imperio romano hubo un retroceso tan- Nótese como este procedimiento tiene en cuenta el perfil
pulas. Sin embargo, estribos.
gible en la técnica de la construcción, y no es hasta el del arco para hallar el estribo, pues no todos empujan
si se ha conservado
otros tratados de gótico donde aparece un mayor dominio de la geome- igual. Sin embargo, y a pesar que la publicación de la re-
ingeniería como el tría. Sin embargo, tampoco de esta época nos ha llegado gla es en el siglo XVII, tiene un carácter gótico, pues los
proyecto de catapul- ninguna indicación sobre cómo los maestros medieva- estribos que resultan son demasiado esbeltos para resis-
tas. Y resulta curioso les proyectaron sus asombrosas estructuras. Habrá que tir el empuje de las bóvedas de cañón típicas del Renaci-
que una fórmula que
esperar hasta el renacimiento, con la aparición de la miento y Barroco.
aparece contiene la
raíz cúbica, cosa que imprenta, para encontrar algunas reglas para el cálculo
manifiesta un cierto de los estribos del gótico. Dichas reglas eran en esencia Esta misma regla de dividir el arco en tres partes igua-
grado de conoci- geométricas y por tanto estaban basadas en la propor- les para quedarse con la proyección horizontal del tercio
miento. ción. En el tratado de Derand de 1643 en el capítulo VI junto al arranque del arco aparece en otros tratados de
aparece una regla geométrica de origen gótico que per- arquitectura de la época, aunque de distinta forma. En
mite dimensionar el estribo para contrarrestar el empuje el manuscrito de Martínez de Aranda, arquitecto espa-
de un arco (figura 2.1), veamos: ñol de finales del siglo XVI, aparece el siguiente dibujo
" para dimensionar el estribo de un arco (figura 2.2). En
Sea la bóveda de medio punto ABCD [...] divídase en tres par- este caso se divide el arco en tres partes iguales y se baja
tes iguales por los puntos B y C, y por uno de los tercios, por una plomada hasta la horizontal de arranque del arco y
ejemplo CD, trácese la línea recta CDF, y tomando el mismo se toma la distancia desde ese punto hasta el arranque,
punto D como centro, y abriendo el compás como la cuerda
resultando la misma medida que en el caso anterior.
16 17Nótese que en ninguna de estas dos citas de esta regla la idea de continuar la construcción con una nave única
geométrica aparece la altura del estribo, es decir que el que salvaría la luz de las tres naves juntas, posiblemente
ancho del mismo es independiente de su altura. Esta re- hacia 1340 (figura 2.4). La obra avanzaba lentamente y
gla geométrica, que aparece citada también por Viollet- hacia 1386 se habían levantado las capillas del lado sur
le-Duc (1854), probablemente fue utilizada en la época de la nave, haciendo posible ya la construcción de la gran
gótica, dado que podemos ver como sus proporciones bóveda única. Sin embargo corría el rumor entre los can-
concuerdan con la realidad (figura 2.3), aunque real- teros y ciertos maestros que la obra era muy peligrosa
mente no podemos afirmar que se haya aplicado, lo úni- y debía detenerse. Entonces el Cabildo o gobierno local
co que demuestra es su carácter gótico. decidió realizar una consulta juntamente con arquitectos
de Gerona y Barcelona. La reunión, celebrada el 23 de
febrero de 1386, contó con un total de 8 expertos de los
cuales 5 estaban en contra de la nave única, pues afirma- Fig. 2.4 Planta de la cate-
ban que era imposible de sostenerse y de un gran peligro, dral de Gerona. La
y tres que estaban a favor, dos de ellos no tenían duda cabecera gótica de 3
naves fue lo prime-
de que la solución no solo era muy segura sino también
ro en construirse.
muy hermosa, mientras que el otro matizaba que esta so- Posteriormente se
lución era segura pero reforzando un poco los estribos. decidió continuar las
obras con una única
gran nave.
En el caso de la catedral de Gerona (1386 - 1416) se tuvo
Fig. 2.3 Aparición de la que hacer un congreso de expertos para tratar la viabili-
regla geométrica co- dad estructural de sus bóvedas de crucería, las más gran-
mentada en la cate- des del gótico: 23 m de luz y 35 m de altura. Esta clase
dral de Gerona y la de congresos de expertos era habitual en la Edad Media
Sainte-Chapelle de cuando había dudas sobre el proyecto o la continuación
París. de una obra importante. Los expertos se reunían en un
congreso para contestar por escrito y bajo juramento, le-
vantándose acta de las discusiones.
Como hemos visto, las reglas medievales son reglas de
proporción que definen formas independientemente del
tamaño. Lo cual se cumple en este caso: se dobla el tama-
ño usual pero se mantienen las proporciones. Sin embar-
go, durante la construcción de la catedral, que empezó
por el ábside y que tenía un esquema de tres naves, surge
18 19Resulta curioso que estos dos "bandos" correspondían es posible que en esa época tuvieran la seguridad para
prácticamente al origen de los expertos: 4 eran de Bar- emitir un juicio tan determinante cuando no existía un
celona, 3 de Gerona y uno de Mallorca. También cabe ejemplo de parecidas dimensiones? Sin duda alguna esto
resaltar los dos aspectos que fueron discutidos en la re- demuestra los conocimientos que antaño existían en "
unión: por un lado está el estructural propiamente y por los maestros góticos, fruto de alguna teoría común que
Existen diferencias
otro el estético. Pues bien decían los que estaban a favor compartían que permitía proyectar con seguridad inde- entre los arcos. En
de la nave única que ésta era más bella y hermosa. Es así pendientemente del tamaño. Quizá se trata de la regla efecto, el entero es
como la parte técnica y la estética entran en interrelación, que explicamos anteriormente, aunque esto no lo pode- aquel que está cons-
característica de todo el gótico. Podríamos decir que los mos asegurar. tituido por un se-
micírculo completo;
arquitectos barceloneses tenían envidia del proyecto de
su cuerda pasa por
catedral de sus vecinos los gironeses y no querían que En el Renacimiento aparecen grandes arquitectos en las el centro del círcu-
su catedral quedara eclipsada, por lo que se oponían tierras italianas, y entre ellos, Leon Battista Alberti, nos lo. Hay también un
al proyecto de una nave única. De este modo hubieron dejó escrito en su libro De Re Aedificatoria muchos de tipo que más parece
ciertas disputas en el congreso pero finalmente, visto el los conocimientos que el fue aprendiendo e investigan- tener naturaleza de
dintel que de arco: lo
panorama, los miembros del Cabildo se decantaron por do a lo largo de su experiencia profesional. El resultado
llamamos rebajado,
la solución de tres naves, eso sí, con la firme oposición de es un compendio del saber constructivo de la época que porque no es un se-
los tres que defendían la gran nave. demuestra una gran sabiduría por parte del autor en nu- micírculo completo,
merosos temas: materiales, técnicas constructivas, puen- sino una cierta parte
En los años siguientes la obra estaba prácti- tes, urbanismo, etc. En el capítulo XIII del libro tercero de él; su cuerda está
camente paralizada y se hacían trabajos se- a una determinada
habla acerca de la naturaleza estructural de los arcos y
cundarios, hasta que se nombra a Guillermo distancia del cen-
distingue entre 3 tipos: el de medio punto, el rebajado y tro y por encima de
Bofill maestro de obra de la catedral y resu- el apuntado. él. Existe también
cita el proyecto de una sola nave. Entonces el compuesto, que
la manera de poder sacarlo adelante es cele- Del arco rebajado nos explica que producen un podero- unos llaman angular
brando otro congreso de expertos, pero esta y otros agudo, que
so empuje, y que para contrarrestarlo se debe colocar un
vez con mayor personas y de lugares distin- consta de dos arcos
tirante de hierro en su base o, como hacían los antiguos, rebajados, y en su
tos, no solo Barcelona y Gerona. El congreso construyendo grandes muros en sus dos laterales y con cuerda tiene los dos
tiene lugar en 1416 y reúne a 12 arquitectos un arco de descarga en su parte superior para aliviar el centros de las dos
quienes deberán contestar por escrito a 3 empuje. Del arco apuntado no explica que no lo utili- curvas que se cortan
preguntas: la primera referente a la segu-
ridad de la nave única, la segunda sobre la
zaban los antiguos, pero que funciona bien para resistir mutuamente.
"
fuertes cargas verticales, especialmente en la clave. Por Cap. XIII
propuesta de 3 naves y la última sobre cual ello explica que es adecuado colocarlos en las entradas De Re Aedificatoria,
forma o continuación es más compatible de las torres. El arco de medio punto defiende que es el Alberti.
con la cabecera ya terminada. La respuesta más estable y lo considera el arco ideal, veámos:
a la primera pregunta fue unánime y los 12 "
afirmaron que la obra era segura y los estri-
bos ya iniciados serían suficientes. Tan solo Que el arco entero es el más sólido de todos se evidencia no sólo a partir de la experiencia
misma sino sobre todo razonada y dialécticamente. Y no veo de qué modo pueda venirse
dos de ellos expresaron alguna duda sobre abajo espontáneamente, a no ser que una dovela expulse a la otra; pero están tan lejos de
resistir terremotos o huracanes. este peligro que incluso se refuerzan con su mutuo apoyo; es más, si por ventura comienza
a derrumbarse, la naturaleza de las cargas en que se apoyan o en que están embutidas las
dovelas lo impide. De ahí la afirmación de Varrón: en las estructuras de arco la parte iz-
Fig. 2.5 Vista interior de Finalmente se optó por la solución de la gran nave, que
quierda está en pie gracias a la parte derecha en igual medida que la parte derecha lo está
la gran nave y su en- se terminó en 1598. Las grandes bóvedas llevan varios
cuentro con la cabe- siglos en pie, lo cual da la razón a todos aquellos que "
gracias a la parte izquierda.
Libro III. Cap. XIII
cera de 3 naves. defendieron esta opción. Pero la pregunta es ¿cómo De Re Aedificatoria, Alberti.
20 21"
A continuación nos habla de las bóvedas y insiste en la Hay, sin embargo,
necesidad de diferenciar el esqueleto resistente o la es- entre todos los tipos
de bóveda uno solo
tructura del resto del edificio. Podríamos decir que esto que no requiere ar-
lo aprendió de la influencia gótica, presente en su tiem- madura [cimbra],
po, pero también esto lo aplicaban los antiguos romanos. la esférica, porque
Por ejemplo el Panteón de Roma contiene un entramado consta no sólo de
de arcos de ladrillo y machones que transfieren la carga arcos sino también
de anillos. ¿Y quién
de la cúpula hasta la cimentación (figura 2.6). Además, sería capaz de referir
como buen renacentista, realiza analogías con los esque- o pensar qué inmen-
letos de animales: so es el número de
" unos y otros, ensam-
Han observado los estudiosos de la naturaleza que, en lo to- blados y dispues-
cante a los cuerpos de los seres vivos, ella llevó a cabo su traba- tos de forma que se
jo de tal forma que nunca quiso que los huesos estuvieran en corten mutuamente
ningún momento separados y desunidos entre sí. De igual ma- Fig. 2.7 Estabilidad de las cúpulas. Las esféricas son autoportantes en ángulos iguales y
nera uniremos también nosotros las osaturas entre sí y las re- en todas las etapas constructivas, siempre que se ejecuten los desiguales, de forma
forzaremos hermosísimamente mediante nervios y ligaduras, anillos completos, y las poligonales son estables si contienen que, sea cual fuere el
de modo que haya una serie continua y compacta de osaturas, dentro de su espesor un anillo circular. Mainstone 1977. lugar en que hayas
con cuyo solo apoyo, incluso si faltare lo demás, pueda la obra insertado una piedra
alzarse acabada en cuanto a miembros y firmeza.
" a lo largo y ancho
de toda la bóveda,
Libro III. Cap. XII. De Re Aedificatoria, Alberti. te das cuenta de que
has colocado una
Esto demuestra la conciencia de la jerarquía estructural dovela perteneciente
en la construcción, cada elemento tiene un cometido y a arcos y anillos? "
disponiéndolos sabiamente es posible llevar a cabo la Libro III. Cap. XIV
obra. Otro ejemplo que demuestra sus amplios conoci- De Re Aedificatoria,
mientos está en las cúpulas. Alberti explica cómo éstas Alberti.
se componen de arcos y anillos de tal manera que no ne-
cesitan cimbra para construirse, pues existen arcos dis-
puestos en vertical y horizontal (anillos) que permitan
Fig. 2.6 Reconstrucción que la obra sea estable en construcción. También habla
gráfica de la estruc- sobre las cúpulas poligonales y explica como en determi-
tura del muro del nadas ocasiones también es autoportante: si dentro de su
Panteón. Pier Olinto espesor puede inscribirse un anillo circular (figura 2.7).
Armanini 1893.
Además indica la necesidad de sujetar con ligaduras
las partes débiles de la cúpula con las partes fuertes y
construir un pequeño andamio con el que sujetar el peso
de los anillos que se construyan mas arriba hasta que
fragüen, e ir moviendo dicha estructura a medida que Fig. 2.8 Modelo constructivo de la cúpula de Santa Maria del Fio-
avanza la obra. Resulta curioso que este procedimiento, re ideado por Brunelleschi. No fue necesario el uso de cim-
tal como lo explica se refiere de forma implícita al méto- bras y se utilizó un aparejo en espina de pez. Existen varias
do ideado por Brunelleschi para la cúpula octogonal de interpretaciones, en la figura la reconstrucción de Sanpaolesi
Santa Maria del Fiore (figura 2.8). (1941).
22 23Otro gran arquitecto italiano del Renacimiento fue An- contraposición con la sobrecarga. Resulta curioso que el
drea Palladio. En su tratado Los cuatro libros de la ar- posible colapso no lo atribuyese a la posibilidad de fallo
quitectura pone de manifiesto el carácter proporcional, del material, sino únicamente a consideraciones geomé-
independientemente de la medida, de las reglas que tricas y de equilibrio. Es un primer germen del análisis
enuncia para el dimensionado de los distintos elemen- límite de los arcos que demuestra una vez más la sabidu-
tos. Por ejemplo, propone dar un tercio de la luz del vano ría de los arquitectos de la historia.
a las pilastras que lo soportan en el caso de las arcadas de
las Logias (figura 2.9). Esto difiere respecto la regla antes Es posible considerar como hipótesis entonces, que la
comentada de Derand, pues en esta última el tercio co- manera de "dimensionar" los elementos estructurales en
rrespondía a la proyección horizontal del perfil del arco la antigüedad se basara simplemente en su geometría y
contiguo al estribo, lo cual resulta en una mayor esbeltez. equilibrio, dando por sentado que las tensiones admisi-
bles de los materiales de fábrica nunca serán sobrepasa-
Sin embargo, existe un informe pericial que este arqui- dos. De este modo el equilibrio radica en contrapesos,
tecto redactó acerca de la estabilidad de la Logia pública es decir, en que los empujes se cancelen, y como conse-
del Palacio de Brescia (figura 2.10). Las pilastras de di- cuencia de este saber, han aparecido las reglas propor-
cha Logia tenían unas dimensiones de un medio de la cionales que hemos ido comentando y que han llegado
luz del vano, por lo que Palladio en su informe afirma hasta nuestros días.
rotundamente su rotunda fiabilidad en las mismas, pues
hace más de un tercio, que es la regla que el mismo da en
su tratado. Lo interesante es que en un párrafo posterior
describe el proceso de colapso de las bóvedas aludiendo
al equilibrio de las distintas partes que la conforman:
"
En relación con las bóvedas que apoyan sobra las pilastras, nos
parece que el arquitecto las ha hecho de un grueso y propor-
ción convenientes, y que teniendo como apoyo unas pilastras
de forma tan robusta (como se ha dicho), no es posible que
aquella pequeña parte del arco, que se encuentra en la parte
alta de esas bóvedas (y que trata de descender más que ninguna
otra parte), por su propio peso pudiera enderezarse, para lo
que debería alargarse (por ejemplo medio brazo), y así empu-
jaría a las pilastras de cada lado un cuarto de brazo, y conse-
cuentemente con ellas todo el grandísimo peso que soportan.
Sucedería entonces que el esfuerzo del peso menor (que aquí
es el de esa porción del arco, con las personas que pudieran Fig. 2.9 Aplicación de la
encontrarse encima), movería el mayor, que consta de todas las regla del tercio a la
pilastras y de todo el muro que soportan, el arco del tejado in-
Planta y sección Iglesia de Il Reden-
Fig. 2.10 cluido, lo cual es imposible, pues el menor peso movería al ma-
tore de Palladio en
de la Logia de Bres-
cia. Los machones
yor. Así pues, no hay necesidad de pensar en estas frivolidades. " Venecia.
centrales tienen 1/2 Informe pericial sobre la Logia del Palacio de Brescia. Palladio.
del vano y los de las
esquinas algo más, Palladio explica que el colapso de las bóvedas sucede-
cumpliendo con las ría al descender la parte superior, y por tanto el arco
reglas del propio Pa- debe "enderezarse" haciendo que el empuje sea mayor
lladio.
y tratando de girar las pilastras. Todo lo cual niega que
pueda suceder a causa del gran peso de la estructura en
24 25su longitud? (figura 3.2). Entonces se plantea una viga
la cual alarga en sentido horizontal y se da cuenta que
no solo varia la longitud de la viga, sino su propio peso
también aumenta. De este modo concluye lo siguiente:
"
Podemos concluir, en consecuencia, que las magnitudes de las
fuerzas de prismas y cilindros del mismo grosor, pero de dis-
tinta longitud, están entre sí en proporción al cuadrado de sus
respectivas longitudes, o lo que es lo mismo, son proporciona-
"
les a los cuadrados de sus longitudes.
Proposición III. Jornada segunda, pág. 223. Galileo.
Es así como en la actualidad, la fórmula por excelen-
cia para calcular el momento en una viga biapoyada es
q·L2/8, que nos indica que el momento varía según la luz Fig. 3.1 Resistencia límite
al cuadrado, como bien nos decía Galileo. de una ménsula car-
CAPÍTULO gada en su extremo.
03 Los inicios del cálculo científico A continuación se plantea comparar dos ménsulas cilín-
dricas semejantes de distinto tamaño concluye que los
" Galileo Galilei, en 1638 publica sus Consideraciones momentos de los cilindros están en proporción sesquiál-
...abandonad, pues, y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias. tera con respecto a las resistencias de sus secciones. Es
la idea que sustenta- Las dos nuevas ciencias a las que se refiere son la cinemá- decir, que el peso crece con el cubo mientras la resisten-
bais, tal vez al uníso-
no con otros muchos
tica y la resistencia de materiales. Realmente lo que in- cia crece con el cuadrado. He aquí la imposibilidad del
que han hecho estu- tenta demostrar, y de hecho lo hace, es la imposibilidad proyecto proporcional. Para acabarlo de demostrar, Ga-
dios de mecánica, de de la existencia de un principio proporcional en el dise- lileo se enuncia el siguiente problema: supongamos una
que las máquinas y ño de una forma estructural. Lo cual es justo el principio ménsula cilíndrica de una cierta dimensión que está en
los artefactos com- que había estado imperando hasta la época, por lo cual unas ciertas condiciones de resistencia, si hacemos cre-
puestos de la mis-
ma materia y que
su aportación es realmente revolucionaria. cer la longitud de la ménsula, ¿en qué proporción debe
mantienen con toda aumentar su diámetro para que se mantengan las con-
exactitud las mismas Para ello Galileo se plantea el problema de la resisten- diciones de resistencia? Esta pregunta la vamos a tratar
proporciones entre cia de una viga en ménsula con una carga puntual en de responder juntos y, al obtener la respuesta veremos
sus partes hayan de su extremo (figura 3.1). Y se da cuenta que, si la viga si concuerda con lo que dedució Galileo. Para ello nos
ser igualmente o, por
decirlo mejor, pro-
(prismática en este caso) está puesta de canto, es decir, basaremos en las fórmulas que se nos han enseñado a
porcionalmente dis- con la mayor longitud de su sección en vertical, resistirá lo largo de la carrera en materia de estructuras, y en vez
puestas a resistir y a un peso mayor en su extremo que si se coloca de forma de realizarlo con un cilindro, lo resolveremos con una Fig. 3.2 Incremento del
ceder a los choques y inversa. Pero la pregunta es ¿cuánto más resistente será? sección prismática. Partiremos de la fórmulas siguientes: momento en la viga
violencias externas, Pues la respuesta que deduce es, que para un cierto ma- a causa de su alarga-
puesto que se puede
demostrar geométri-
terial, el momento resistente es proporcional a el ancho (1) Tensión (σ) = Momento (M) / Momento resistente (W) miento.
camente que las más del prisma por el canto al cuadrado: b·h2. Este descubri- (2) Momento (M) = Carga (q) · Luz2 (L2) / 8
grandes son siempre, miento no lo escribe de esta forma sino que lo enuncia (3)* Momento resistente (W) = Base (b) · Canto2 (h2) / 6 * Esta fórmula tan
proporcionalmente, con proporciones geométricas. sólo es válida para
menos resistentes En este caso sólo consideraremos la viga cargada a peso secciones prismáti-
que las menores. " Además también se plantea la siguiente pregunta: ¿Cuál propio, sin sobrecarga. De modo que la carga (q) la defi- cas macizas.
Jornada primera, es la proporción según la cual va creciendo el momento niremos en función de la sección de la viga y por metro
pág. 70. Galileo. de una viga a causa de su propio peso con relación a la lineal de la misma:
26 27(4) q = b · h · Densidad material (ρ) La argumentación de Galileo es clara y brillante. Resu-
miendo diríamos que las estructuras que básicamente
Si sustituimos las fórmulas 2, 3 y 4 en la primera, obte- soportan su propio peso (como los animales y las es-
nemos lo siguiente: tructuras de fábrica), las cargas crecen con el cubo de las
dimensiones lineales, mientras que la sección resistente
(5) σ = 6 · b · h · ρ2 · L = 6 · ρ · L
2 2
crece con el cuadrado y, en conclusión, las tensiones cre-
" 8·b·h 8·h cen linealmente con el tamaño y por tanto, los elementos
De lo que se ha Dado que la densidad del material (ρ) y la tensión del estructurales pierden la semejanza geométrica. A esto se
demostrado [...] se mismo (σ) se mantienen constantes, las dos únicas varia- le denomina la ley del cubo-cuadrado. Si aplicamos es-
infiere la imposibi- bles serán la luz (L) y el canto (h). Y ya, a primera vista tas conclusiones a un ejemplo práctico, por ejemplo el
lidad de poder, no
sólo en el arte sino observando la ecuación que hemos obtenido, podemos dimensionado de una losa de hormigón o un panel de
en la misma natu- ir haciéndonos una idea de que es lo que sucede con el CLT, podemos ver que ambas soluciones tienen un lími-
raleza, aumentar los canto al aumentar la luz. A la hipótesis de partida, llama- te cuando llegamos a una cierta luz, y por lo tanto dejan
mecanismos hasta remos al canto h1 y para el caso agrandado h2, el cual ha- de ser viables (gráfica 3.4).
dimensiones inmen- llaremos multiplicando la luz por un valor α cualquiera: 2.0 Aumento del
}
Gráf. 3.4
Canto (m)
sas, de modo que se-
ría imposible fabri- 1.8 canto en función de
(6) h1 = 6 · ρ · L
2
car naves, palacios la luz. Se observa la
8·σ (8) h2 = α · h1
2 1.6 ón curva parabólica que
o templos enormes ig
m
(7) h2 = 6 · ρ · (αL)
2
[...] tampoco podría 1.4 or ratifica la ley del cu-
la naturaleza hacer 8·σ 1.2 s ah bo-cuadrado. Se ha
árboles de un tama- Lo realizado el cálculo
ño desmesurado, ya Conclusión, al aumentar la luz α, el canto debe aumentar 1.0
con un hormigón de
que acabarían por α2 para mantener la proporción de resistencia en ambos 0.8 25MPa y una made-
venirse abajo bajo casos. De nuevo queda demostrado que las estructuras 0.6 ra GL 24h, en ambos
su propio peso. Se- no se rigen por reglas proporcionales. Galileo llega a 0.4 casos sin minorar la
ría imposible, igual- la misma conclusión, aunque de una forma distinta ya
mente, construir CLT resistencia del ma-
0.2
estructuras óseas de que estas ecuaciones no estaban formuladas en aquella terial y únicamente
hombres, caballos u época. De este modo, para mantener las condiciones de 0 10 20 30 40 50 soportando su pro-
otros animales, que resistencia pero con un tamaño mayor, los elementos de- Luz (m) pio peso. Nótese la
pudiesen mantener- ben engruesarse de forma desproporcionada. Observamos que para salvar una luz de 40 metros, na- diferencia en el cre-
se y realizar sus pro- die se plantearía hacerlo con una losa de hormigón. Ni cimiento de la cur-
pios menesteres.
" Para hacer más evidente y recalcar esta afirmación dibuja siquiera con 20 metros de luz resultaría rentable, ya que va para estos mate-
riales. Su causa es el
Jornada segunda, un hueso de animal normal y otro 3 veces más largo, ha- solo para sostenerse (sin sobrecarga) harían falta más
peso propio de cada
pág. 236. Galileo. biendo aumentado nueve veces su grosor para mantener de 30cm de canto. Una solución podría ser postesar la material: el hormi-
su resistencia. La imagen (figura 3.3) habla por si sola losa, pues optimiza la sección de la misma y reduce las gón pesa 6 veces más
y demuestra la desproporción del nuevo hueso gigante. deformaciones a causa que el hormigón no fisura por el que la madera.
Entonces para que esto no suceda solo hay dos opciones: "exceso" de compresión.
o encontrar un material más resistente o aceptar que el
de mayor dimensión será más débil en relación al de me- Otra opción sería elemento estructural y pasar de losa a
nor tamaño. De hecho, esto ocurre en los animales: cercha. La ventaja de la cercha es justamente que redu-
" ce el peso propio, pues el material se sitúa en los extre-
un perro pequeño podría llevar sobre sí dos o tres perros igua- mos superior e inferior dejando huecos. Así es como se
les a él, mientras que no creo que un caballo pudiese sostener
Efecto del au- pueden alcanzar luces mayores con un mismo material:
Fig. 3.3
mento de tamaño en
ni siquiera un caballo de sus mismas medidas. " disponiéndolo de una forma más óptima que permita
huesos. Jornada segunda, pág. 237. Galileo. reducir el propio peso. De hecho, en los huesos, tanto
28 29de animales como de humanos, la naturaleza es lo sufi-
cientemente sabia para generar huecos allá donde no es
necesario disponer de material por tal de aligerar el peso
(figura 3.5).
Volviendo a la época de Galileo, si observamos estructu-
ras análogas pero de distinto tamaño, podremos ver una
cierta semejanza geométrica que de algún modo pone
de manifiesto el uso de reglas proporcionales en los an-
tiguos constructores (figura 3.6). A la izquierda tenemos
la cúpula de San Biagio en Montepulciano, en el centro
Fig. 3.7 A la derecha San-
San Pedro de Roma y a la derecha Santa Maria del Fio-
ta Sofia de Salónica,
re en Florencia, todas dibujadas al mismo tamaño. Estas y a la izquierda Santa
dos últimas cúpulas tienen una luz de 42m, el triple que Sofia de Constanti-
la primera, de unos 14m. A pesar de su semejanza, si que nopla. Dibujos a la
vemos una diferencia sustancial entre ellas, pues las de misma escala (toma-
mayor tamaño poseen doble cáscara, mientras que la pe- dos de Choisy 1899).
queña es de una sola cáscara. Esto favorece la reducción
del peso propio, lo que permite que con el mismo mate-
rial se pueda resistir más carga. Sin embargo, nos puede
surgir la duda de si realmente es posible proyectar con
5.El texto de dicha
una ley de semejanza geométrica dada la demostración contradecir a el descubrimiento carta aparece citada
Fig. 3.5 Sección longitu- de la imposibilidad del proyecto proporcional. ¿Donde de Galileo y la ley del cubo-cua- por Stüssi y según
dinal del humero. queda la ley del cubo-cuadrado en este caso? drado. la traducción de S.
Huerta, dice así: "Yo,
Otro ejemplo muy particular re- su esclavo, he tenido
conocimiento, de que
sulta el proyecto para un puen- usted tiene la inten-
te de 240 metros de luz sobre el ción de construir un
Cuerno de Oro en Estambul. Y puente entre Galat-
el proyectista no era nada más ta y Estambul, pero
ni nada menos que Leonardo da que no ha construi-
do todavía, pues no
Vinci, quien supo acerca del an- ha encontrado nin-
helo del Sultán de construir un gún Maestro. Yo, su
puente sobre el Cuerno de Oro, esclavo, lo sé. Yo lo
y a lo cual se ofreció para dise- construiré, un arco
Fig. 3.6 Comparación de Y este no es el único caso, si comparamos las iglesias de ñarlo (figura 3.9). El proyecto ha tan grande que na-
la sección de tres die podrá explicarse
Santa Sofia de Constantinopla y la de Salónica vuelve a llegado hasta nuestros días gra- cómo se puede andar
cúpulas al mismo suceder lo mismo (figura 3.7). Esta última es 3 veces más cias a una carta5 que Leonardo sobre él, de tan alto
tamaño. De izquier- pequeña que la primera, y en cambio la proporcionali- envió al Sultán hacia 1503 y que que es [...] Y lo cons-
da a derecha: San Fig. 3.8 Chimeneas de
dad del tamaño es evidente. el ingeniero suizo F. Stüssi (1953) truiré de forma que
Biagio (14m de luz), fábrica de distintos
recogió y analizó. Según el ma- pueda pasar bajo él
San Pedro de Roma un barco con las ve- tamaños, todas di-
(42m de luz), San- Para más inri, en el caso de chimeneas de fábrica ocu- nuscrito, el puente presentaba las desplegadas." (El bujadas al mismo ta-
ta Maria del Fiore rre justo lo contrario: a medida que aumenta el tamaño un arco rebajado de 240 metros barco puede verse en maño para comparar
(42m de luz). disminuye la sección (figura 3.8). Todo lo cual parece con unos estribos, según Stüssi, el dibujo). su sección.
30 31de 60 metros. Lo cual supone 1/4 de la luz y está en con- hasta la época, no habían tenido nunca en cuenta. Pues
cordancia con las reglas renacentistas para los estribos cuando leíamos a Palladio acerca del posible colapso de
de puentes (Alberti cita justamente esta proporción para unas bóvedas, en ningún momento menciona el hipoté-
puentes). En la clave el espesor ronda los 1/20 1/30 de la tico fallo del material, es decir, que se supere su tensión
luz, lo cual también era habitual en los arcos de puentes admisible.
y edificios. Además, el propio Stüssi se encargó de ve-
rificar si realmente el proyecto era viable realizando un Por otro lado, hay que tener en cuenta que las fórmu-
análisis elástico del arco, y obtuvo una tensión máxima las con las que demostramos la ley del cubo-cuadrado
en la clave de 10 N/mm2 suponiendo una fábrica de peso son utilizadas para el cálculo a flexión en elementos es-
específico 28 kN/m3. tructurales, como lo son las vigas con las que Galileo se
plantea las distintas cuestiones que va resolviendo en su
tratado. Y como hemos dicho en el capítulo primero, la
virtud de un arco radica en convertir un momento flec-
tor en un axial, pues las estructuras de fábrica no pueden
resistir flexiones a causa de tener una resistencia nula
a tracción. Por tanto, parece ser que estamos tratando
de aplicar una ley, la del cubo-cuadrado (que es cierta,
según ya demostramos) en un lugar donde no le corres-
ponde, pues las fábricas no trabajan a flexión sino a axial.
Entonces, ¿Galileo cometió un error al negar el proyecto
proporcional que empleaban los maestros arquitectos?
¿Y, sino es la ley del cubo-cuadrado, que ley o teoría esta
detrás de la estabilidad de las estructuras de fábrica?
Fig. 3.9 Ala izquierda el Una ejecución con algún tipo de aligeramiento proba-
proyecto de Leonar-
blemente reduciría esta tensión considerablemente. En
do da Vinci para un
puente de 240m de cualquier caso, esto demuestra la viabilidad del proyecto
luz sobre el Cuer- a pesar de utilizar reglas proporcionales, ya que Leonar-
no de Oro en Es- do no introdujo ningún cambio en la geometría a pesar
tambul. Leonardo del tamaño extraordinario.
parece preocuparse
por darle la forma Por tanto, estamos ante una contradicción evidente entre
correcta al puente y lo que hemos demostrado acerca de la ley cubo-cuadra-
por la ejecución de do y la realidad de las obras construidas y de la práctica
las cimbras. A la de-
de los maestros constructores del pasado. En algún lugar
recha la comproba-
ción de su viabilidad debe haber un error.
por parte de F. Stüssi,
quien demuestra que Si repasamos las consideraciones de Galileo, éstas tienen
las tensiones serían en cuenta la resistencia del material, por primera vez en
aceptables para una la historia de la construcción. Es decir, tiene en conside-
fábrica ordinaria. ración este nuevo parámetro a la hora de realizar o pro-
yectar un elemento estructural, cosa que los arquitectos,
32 33También puede leer
