BEIO Bolet ın de Estad ıstica e Investigaci on Operativa - 2021, Vol. 37, No. 2
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Boletı́n de Estadı́stica e Investigación
Operativa
BEIO
2021, Vol. 37, No. 2
Sociedad de Estadı́stica e Investigación OperativaCopyright © 2021 SEIO Ninguna parte de la revista puede ser reproducida, almacenada o trasmitida en cualquier forma o por medios, electrónico, mecánico o cualquier otro sin el permiso previo de la SEIO. Los artı́culos publicados representan las opiniones del autor y la revista BEIO no tiene por qué estar necesaria- mente de acuerdo con las opiniones expresadas en los artı́culos publicados. El hecho de enviar un artı́culo para la publicación en BEIO implica la transferencia del copyright de éste a la SEIO. Por tanto, el autor(es) firmará(n) la aceptación de las condiciones del copyright una vez que el artı́culo sea aceptado para su publicación en la revista. Edita SEIO: Facultad de CC. Matemáticas Universidad Complutense de Madrid Plaza de Ciencias 3, 28040 Madrid ISSN: 2387-1725
BEIO (Boletı́n de Estadı́stica e Investigación Operativa) es una revista que publica cuatrimestralmen- te artı́culos de divulgación cientı́fica de Estadı́stica y de Investigación Operativa. Los artı́culos pretenden abordar tópicos relevantes para una gran mayorı́a de profesionales de la Estadı́stica y de la Investigación Operativa, primando la intención divulgativa sin olvidar el rigor cientı́fico en el tratamiento de la materia en cuestión. Las secciones que incluye la revista son: Estadı́stica, Investigación Operativa, Estadı́stica Oficial, Historia y Enseñanza y Opiniones sobre la Profesión. BEIO nació en 1985 como Boletı́n Informativo de la SEIO (Sociedad de Estadı́stica e Investigación Opera- tiva). A lo largo de los años ha experimentado una continua evolución. En 1994, aparece publicado el primer artı́culo cientı́fico y desde entonces el número de artı́culos cientı́ficos publicados ha ido creciendo hasta que en 2008 se segregan del Boletı́n los contenidos relacionados con la parte informativa y comienza a perfilarse como revista de divulgación de la Estadı́stica y de la Investigación Operativa. Los artı́culos publicados en BEIO están indexados en Scopus, MathScinet, Biblioteca Digital Española de Matemáticas, Dialnet (Documat), Current Index to Statistics, The Electronic Library of Mathematics (ELibM), COMPLUDOC y Catálogo Cisne Complutense. La Revista está disponible online en www.seio.es/BEIO. Editores Anabel Forte Deltell Francisco Parreño Torres Universitat de València Universidad de Castilla-La Mancha anabel.forte@uv.es francisco.parreno@uclm.es Editores Asociados Estadı́stica Investigación Operativa Rosa M. Crujeiras Casais César Gutiérrez Vaquero Universidade de Santiago de Compostela Universidad de Valladolid rosa.crujeiras@usc.es cesargv@mat.uva.es Estadı́stica Oficial Historia y Enseñanza Pedro Revilla Novella Ma Carmen Escribano Ródenas Instituto Nacional de Estadı́stica Universidad CEU San Pablo de Madrid pedro.revilla.novella@ine.es escrod@ceu.es Editores Técnicos Antonio Elı́as Fernández Marı́a Jesús Gisbert Francés Universidad de Málaga Universidad Carlos III de Madrid aelias@uma.es mgisbert@est-econ.uc3m.es Paula Saavedra Nieves Universidade de Santiago de Compostela paula.saavedra@usc.es Normas para el envı́o de artı́culos Los artı́culos se enviarán por correo electrónico al editor asociado correspondiente o al editor de la Revista. Se escribirán en estilo article de Latex. Cada artı́culo ha de contener el tı́tulo, el resumen y las palabras clave en inglés sin traducción al castellano. Desde la página web de la revista se pueden descargar las plantillas tanto en español como en inglés, que los autores deben utilizar para la elaboración de sus artı́culos.
Índice Editorial 82 L.Cadarso Grupo de Trabajo en Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Estadı́stica 85 R. Romero and J.M. Pavı́a Estimating vote party entries and exits by ecological inference. Mathematical programming ver- sus Bayesian statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Investigación Operativa 98 C. K. Sivashankari and P. Vijayakumar Inventory Models for Deteriorative items with Constant and Linear Price Dependent Demand - in third order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Estadı́stica Oficial 121 E. Barbado How much has national information changed in the Euro Groups Register? Some quality indica- tors in the scope of the ESBRs project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Historia y Enseñanza 130 F. Ruz, E. Molina-Portillo y J. M. Contreras Exploring probability content knowledge in prospective mathematics teachers . . . . . . . . . 130 Opiniones sobre la profesión 148 P. Saavedra-Nieves and A. Saavedra-Nieves On gender perspective in Statistics and Operations Research . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Grupo de Trabajo en Transporte
L.Cadarso
Luis Cadarso
Grupo de Investigación en Sistemas Aeroespaciales y
Transporte
Universidad Rey Juan Carlos
luis.cadarso@urjc.es
En un entorno económico y social marcado fundamentalmente por la globalidad a nivel mundial,
el transporte se ha convertido en un motor fundamental y necesario para el desarrollo y despegue
industrial y social de cualquier región. Es un pilar fundamental para la sociedad: impulsa el creci-
miento, crea riqueza y mejora la accesibilidad geográfica. Además, es ingrediente clave para lograr
una alta calidad de vida, por ejemplo, uniendo a las personas. La prosperidad de la sociedad depende
en gran medida de su capacidad para mantener las diversas regiones del mundo integradas plena y
competitivamente. Un transporte eficiente es vital para que esto suceda.
Sin embargo, la creciente demanda mundial, coyunturalmente aliviada en el ámbito de los pasajeros
por los efectos de la pandemia de la COVID-19, unida a la frecuente incapacidad, ya sea por motivos
económicos o por limitaciones de espacio, para construir más infraestructuras para aumentar la
capacidad, han provocado un problema de congestión severa en nuestros sistemas de transporte,
tanto en los urbanos como en los interurbanos. La congestión amenaza nuestras posibilidades para
satisfacer la demanda, con graves impactos socioeconómicos y medioambientales. Existe un claro
consenso en que el problema no va a desaparecer, la demanda va a continuar, y por lo tanto la
amenaza en términos económicos, sociales y medioambientales debe abordarse.
En conjunto, el sector del transporte en España y en la Unión Europea se enfrenta a nuevos retos de
extrema complejidad desde una perspectiva de planificación y gestión, entre los que se encuentra la
situación pandémica, con escenas donde las tendencias en la demanda y las regulaciones gubernamen-
tales fluctúan vertiginosamente, elevando los niveles de incertidumbre, y exigiendo nuevos métodos
adaptativos para la planificación y gestión, desde el operador hasta el gestor de la infraestructura.
Pero es que, de forma adicional, y coexistiendo temporalmente, la liberalización de algunos modos
de transporte, como por ejemplo el ferroviario en la actualidad, añade más ingredientes al problema,
de forma similar a como ya ocurrió hace tres décadas en el modo aéreo. En este sentido, los opera-
dores ferroviarios, que tradicionalmente competı́an por la demanda con otros modos de transporte,
ahora comienzan también a competir entre ellos, no solo por la demanda, sino que también por la
infraestructura disponible, elevando la competencia intermodal a un nuevo nivel. Hasta hace poco,
las reglas del juego y las condiciones imperantes eran aproximadamente estables de una temporada
a otra o de un dı́a de la semana a otro. Pero la situación ahora está evolucionando hacia un nuevo
esquema altamente variable no solo en España y Europa, sino en todo el mundo.
82BEIO, Vol. 37, Núm. 2 83 Para enfrentarnos de forma exitosa a estos nuevos retos de extrema complejidad desde las perspecti- vas de planificación y gestión, serán necesarias nuevas metodologı́as adaptativas, ágiles y conscientes para responder de forma eficiente y sostenible, mientras que la movilidad, la conectividad y la segu- ridad sean siempre salvaguardadas. En esta coyuntura, dos estrategias son fundamentales para la mejora de los sistemas de transporte: i) la definición de una oferta de servicios orientada a la demanda, y ii) el aumento de la confiabilidad y eficiencia de las infraestructuras y las operaciones. La eficiencia de una red de transporte depende del diseño, la planificación y la gestión y operación de las infraestructuras y los servicios programados sobre las mismas, todo en estrecha relación con la demanda por parte de los usuarios. La práctica de la planificación de sistemas de transporte a menudo se divide en tres horizontes temporales diferentes: niveles estratégico, táctico y operativo. El primero generalmente se caracteriza por decisiones relacionadas con el número, la ubicación y el tamaño de los nodos de la red de transporte (por ejemplo, instalaciones e infraestructuras) y los recursos (por ejemplo, vehı́culos). El establecimiento de tales decisiones tiene un efecto casi perpetuo en el rendimiento general del sistema. En consecuencia, estas decisiones deben tomarse de la forma más informada posible, considerando una amplia gama de posibilidades, incertidumbres y escenarios. En el nivel táctico, es habitual decidir sobre la topologı́a de la red, es decir, sobre cómo se deben conectar los nodos de la misma. Aunque en este nivel las decisiones no suelen ser permanentes, los cambios demasiado frecuentes no son bienvenidos ni por los gestores de la infraestructura ni por los operadores, y tampoco por los usuarios, ya sean pasajeros o mercancı́as y, por lo tanto, las decisiones aquı́ generalmente pueden reconsiderarse de temporada en temporada. Finalmente, el nivel operativo se ocupa de las decisiones a corto plazo, es decir, la programación diaria, incluso minuto a minuto, de los recursos para adaptar mejor los planes a las condiciones vigentes en cada momento. En todos los niveles o procesos mencionados anteriormente, la combinatoria hace que la complejidad de los problemas sea elevada. Para resolverlos, se puede trabajar con diferentes disciplinas, desde la Ingenierı́a del Transporte hasta la Estadı́stica e Investigación Operativa. En la actualidad, la hibridación de metodologı́as de la estadı́stica con otras de la investigación operativa está causando un gran revuelo a la vez que reportan muchos éxitos. Por ejemplo, las metodologı́as basadas en datos, que pueden evitar errores de modelado y obtener una gran precisión, son adecuadas para describir el mundo en su estado actual, pero suelen presentar problemas cuando aparecen cambios disruptivos en el entorno. Por este motivo, la hibridación de diferentes metodologı́as que hasta la fecha se han empleado de forma aislada, o al menos no desde un punto de vista holı́stico, como por ejemplo el aprendizaje, la simulación y la optimización, puede ser un campo de extrema utilidad en situaciones en las que las condiciones del entorno cambien de forma repentina. El uso combinado exitoso de estas técnicas puede conducir a mejoras significativas en el desempeño general del sistema, pero también en su conciencia y adaptabilidad al medio. Esto último es crı́tico hoy en dı́a, donde los cambios extremos unidos a una feroz competencia de los operadores caracterizan el dı́a a dı́a. Por último, y no menos importante por ello, es importante reflexionar sobre el papel que los órganos de decisión desempeñan en este viaje. Su implicación es siempre imprescindible, y a golpe de timón van dirigiendo los esfuerzos de todos los actores en una y otra dirección. Sin embargo, para llegar a destino con un mı́nimo coste y/o esfuerzo, las decisiones informadas, como ya comentábamos, son elemento indispensable. Decisiones informadas para legislar de forma proactiva y eficiente, dirigiendo los recursos hacia un horizonte de mayor movilidad, sı́, pero eficiente, sostenible y de mı́nimo impacto. El Grupo de Trabajo en Transporte de la Sociedad de Estadı́stica e Investigación Operativa tiene como objetivo prioritario la cohesión entre los diferentes nodos de investigación del panorama na- cional para dar respuesta a los retos enunciados, realizando investigación, desarrollo y transferencia
BEIO, Vol. 37, Núm. 2 84
hacia el tejido industrial y los organismos gubernamentales, desde el punto de vista de la estadı́stica
y la investigación operativa. Las lı́neas de actividad prioritarias del grupo se pueden resumir en:
Poner en contacto a diferentes grupos de investigación sobre diferentes áreas de transporte.
Organizar sesiones especializadas en transporte en los congresos de la Sociedad de Estadı́stica
e Investigación Operativa.
Promover la movilidad de estudiantes e investigadores entre diferentes grupos.
Organizar actividades que sirvan para fomentar la investigación en transporte y sus aplicacio-
nes.
Atraer empresas del sector para dar a conocer las posibilidades de la investigación operativa
en el transporte, para ası́ acercar la empresa a la universidad y viceversa.
Convertir a este grupo en una referencia a nivel nacional e internacional en el área.
Agradecimientos
El autor de este breve texto quiere agradecer a D. Federico Perea (Universidad de Sevilla), anterior
coordinador del Grupo de Trabajo en Transporte de la Sociedad de Estadı́stica e Investigación
Operativa, todo el tiempo y esfuerzo invertido en la creación del mismo. Sin su dedicación y apoyo,
no habrı́a sido posible establecer unas sólidas bases para un fructı́fero futuro.Estimating vote party entries and exits by ecological
inference. Mathematical programming versus Bayesian
statistics
R. Romero
Rafael Romero
Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa
Aplicadas y Calidad,
Universidad Politécnica de Valencia, Espa~
na
rromero@eio.upv.es
J.M. Pavı́a
Jose M. Pavı́a
Corresponding author
GIPEyOP, UMICCS, Área de Métodos Cuantitativos
Universitat de Valencia, Espa~ na
pavia@uv.es
Resumen
Ecological regression has been very fertile in proposing procedures that can be used to estimate the so-called
vote transfer matrices. According to various studies, the method implemented in the R function ei.MD.bayes
is the one that currently presents the best performance. This method, based on a hierarchical Multinomial-
Dirichlet model, is estimated from a Bayesian framework, which demands highly trained and experienced
users. The procedure also seems to require having data for a large number of voting units to generate good
estimates, which increases both its computational and operative burden. In this work we show through an
example how the new algorithm available in the R function lphom, based on linear programming, is highly
competitive, generating solutions comparable to the ones attained with ei.MD.bayes even with few units,
which drastically reduces its computational and operative costs. lphom is also very easy to use.
Keywords: Voter transitions, Ecological inference, RxC contingency tables, Linear Programming, Software
R, lphom, eiPack
AMS Subject classifications: 90C05, 62F15
85BEIO, Vol. 37, Núm. 2 86
1. Introducción
Entre los meses de abril y mayo de 2017, 47.6 millones de franceses fueron llamados a las urnas para
elegir, en un sistema de doble vuelta, el undécimo presidente de la Quinta República Francesa. El
23 de abril de 2017, en la primera vuelta, Emmanuel Macron obtuvo 8.7 millones de votos (24.01 %)
con Marine Le Pen en segundo lugar, con 7.7 millones de votantes (21.30 %). Ambos debı́an jugarse
la presidencia en una segunda vuelta.
Dado lo ajustado de la primera vuelta, la decisión en la segunda vuelta estaba en manos de los 11.5
millones de electores que se abstuvieron, votaron nulo o en blanco y de los restantes 20 millones de
votantes que se repartieron entre el resto de candidatos, destacando especialmente François Fillon y
Jean-Luc Mélenchon, con 7.2 y 7.1 millones de votos, respectivamente.
Dos semanas más tarde de celebrada la primera vuelta, el 7 de mayo, tuvo lugar la segunda vuelta.
En ella, Macron más que dobló sus votos, consiguiendo que 20.7 millones de franceses votasen por
él. Macron se alzó con holgura con la victoria, frente a una Marie Le Pen que apenas subió un 38 %
su respaldo popular hasta cosechar 10.6 millones de votos. Los restantes 16.1 millones de electores
franceses se abstuvieron o votaron en blanco o nulo en esta segunda vuelta.
Tab. 1: Número de votos (en millones) en 1ra. y 2da. vuelta y porcentajes de incremento en las
elecciones presidenciales francesas del siglo XXI.
Año 2002 2007
Candidato Chirac J.M. Le Pen Sarkozy Royal
1ra Vuelta 5.7 4.8 11.4 9.5
2da Vuelta 25.2 5.5 19.0 16.8
Incremento ( %) 342 % 15 % 67 % 77 %
Año 2012 2017
Candidato Hollande Sarkozy Macron M. Le Pen
1ra Vuelta 10.3 9.8 8.7 7.7
2da Vuelta 18.0 16.9 20.7 10.6
Incremento ( %) 75 % 72 % 138 % 38 %
Fuente: Elaboración propia.
Desde 2002 no se habı́a registrado un incremento tan elevado de votos para un candidato entre la
primera y la segunda vuelta (ver Tabla 1). A raı́z de estos resultados los medios de comunicación
franceses e internacionales especularon y recogieron diversos análisis sobre el origen de los 12 millones
de votos adicionales obtenidos por Macron y de los 3 millones de nuevos votantes de Le Pen.
En esta investigación se comparan las estimaciones de los trasvases de votos obtenidas mediante
dos procedimientos con sustratos filosóficos y matemáticos diferentes. Por un lado, el procedimiento
lphom (Romero y col., 2020), implementado en el programa estadı́stico R (R Core Team, 2021) en
una función del mismo nombre (ver material suplementario en Romero y col., 2020), y, por otro lado,
el procedimiento disponible en la función ei.MD.bayes del paquete eiPack (Lau, Moore y Kellermann,
2020) de R. lphom está basado en programación matemática, mientras que ei.MD.bayes hunde susBEIO, Vol. 37, Núm. 2 87
raı́ces en la estadı́stica bayesiana. En concreto, emplea un método de regresión logı́stica sustentado
en un modelo multinomial-Dirichlet (King, Rosen y Tanner, 1999; Rosen y col., 2001).
A pesar de los diferentes fundamentos de ambos procedimientos, los dos se apoyan en las mismas
fuentes de información e hipótesis básicas para obtener sus estimaciones. lphom y ei.MD.bayes utilizan
exclusivamente la información de los resultados electorales agregados de un conjunto de unidades de
votación que conjuntamente definen una partición del espacio electoral. Ası́ mismo, ambos procedi-
mientos, para superar los problemas de identificabilidad e indeterminación (Greiner y Quinn, 2009)
vinculados a la búsqueda de la solución, asumen la hipótesis de comportamiento homogéneo entre di-
ferentes unidades de votación. lphom supone que las distancias de las probabilidades de transferencia
de voto entre unidades de votación y con el conjunto del espacio electoral son pequeñas y ei.MD.bayes
considera que todas ellas comparten unas mismas distribuciones de probabilidad; diferentes para ca-
da fila de la matriz de transferencia. Ambos procedimientos imponen además las restricciones que se
derivan de la información disponible (lphom de manera explı́cita y ei.MD.bayes de manera implı́cita,
a través de la especificación del modelo), de forma que las probabilidades de transición que am-
bos estiman son perfectamente compatibles con los resultados electorales registrados para todo el
territorio.
El objetivo de este trabajo es analizar, a través del análisis de las elecciones presidenciales francesas
de 2017, las soluciones que ambos procedimientos proporcionan; especialmente cuando la información
está sólo disponible a un nivel muy agregado. Es decir, cuando el número de unidades de votación
para las que se conocen los resultados es pequeño. Esta es, por ejemplo, una situación tı́pica de
noche electoral, en la que los datos detallados para las unidades de votación en las que los votantes
ejercen su derecho a voto (e.g., las mesas o los colegios electorales) todavı́a no ha sido hecha pública,
pero los resultados agregados (por ejemplo, a nivel regional) están rápidamente disponibles.
2. Estimación mediante el procedimiento lphom
El 10 de mayo de 2017, sólo tres dı́as después de la segunda vuelta, un periódico local español
(Las Provincias, 2017) publicaba algunos de los resultados de un estudio sobre las transferencias
de voto entre la primera y segunda vuelta de las elecciones francesas. El estudio, cuyos resultados
completos pueden consultarse en EST2, (Consultorı́a, Innovación y Desarrollo, S.L.) (2017), utili-
zaba exclusivamente los resultados electorales provisionales disponibles de las 12 regiones continen-
tales francesas (Auvergne-Rhône-Alpes, Bourgogne-Franche-Comté, Brittany, Centre-Val de Loire,
Grand Est, Hauts-de-France, Île-de-France, Normandy, Nouvelle-Aquitaine, Occitanie, Pays de la
Loire, Provence-Alpes-Côte d’Azur) más una unidad adicional que englobaba el resto de regiones de
ultramar y Córcega.
El método lphom, un acrónimo para “Linear Program model based on the HOMogeneity hypothe-
sis”, estima a partir de la resolución de un programa lineal los valores de las probabilidades de
transferencia de votos entre las opciones de la primera y la segunda vuelta que, ajustándose perfec-
tamente a los resultados globales conocidos, minimiza las discrepancias entre dichas probabilidades
en las diferentes regiones. Aunque una exposición detallada del método puede consultarse en Romero
y col. (2020), de forma esquemática el problema puede plantearse, en su versión más sencilla (i.e.,
asumiendo estacionariedad de los electorados), a través de las ecuaciones (1) a (5).
pjk ≥ 0 f or j = 1, . . . , J k = 1, . . . , K (1)BEIO, Vol. 37, Núm. 2 88
K
X
pjk = 1 f or j = 1, . . . , J (2)
k=1
J I
! I
X X X
xij pjk = yik f or k = 1, . . . , K (3)
j=1 i=1 i=1
J
X
xij pjk = yik + eik f or i = 1, . . . , I k = 1, . . . , K (4)
j=1
X
minimizar | eik | f or k = 1, . . . , K (5)
i,k
A partir de los valores observados xij y yik , el modelo básico busca obtener las cantidades pjk que
minimizan (5) verificando las restricciones impuestas por las ecuaciones (1), (2), (3) y (4). Donde: xij
denota los votos cosechados en la unidad i por la opción electoral j (j = 1, . . . , J) durante la elección
1; yik los votos obtenidos en la misma unidad por la opción k (k = 1, . . . , K) en la elección 2; pjk
representa la proporción de votantes que en el conjunto del espacio electoral eligieron la opción j en
la elección 1 y la opción k en la elección 2; los valores eik son unos residuos que deberı́an ser pequeños;
y, por último, I, J y K indican, respectivamente, el número de unidades y los números de opciones
en la elección 1 y en la elección 2. En el escenario más habitual de electorados no estacionarios
es necesario incluir nuevas ecuaciones, que dependen del nivel de información disponible. El lector
interesado puede consultar los detalles en Romero y col. (2020).
En cualquier caso, se trata de un procedimiento extremadamente sencillo de aplicar utilizando la
función lphom, ya que no requiere conocimientos previos ni la necesidad de tunear parámetros o
definir distribuciones a priori, y con unas exigencias de computación mı́nimas (por ejemplo, la
construcción y resolución del modelo con 13 unidades para el análisis de las elecciones francesas
consume menos de una décima de segundo en un ordenador portátil estándar).
La Tabla 2 recoge las estimaciones obtenidas mediante lphom para las probabilidades (en porcentajes)
de transferencia entre las opciones de la primera y la segunda vuelta. La tabla muestra los porcentajes
de votantes que habiendo elegido la opción de la fila en la primera vuelta optaron por la opción de
la columna en la segunda vuelta.
En Romero y col. (2020), donde se ofrece una estimación que no difiere sustancialmente de la que
se presenta aquı́, obtenida aplicando lphom sobre los resultados oficiales correspondientes a los 108
departamentos franceses (incluido un departamento ficticio que engloba a los votantes no residentes),
se analizan en detalle los resultados expuestos en la Tabla 2. En ese trabajo los autores, tras justificar
su carácter razonable desde el punto de vista socio-polı́tico, validan las estimaciones obtenidas y las
comparan con las probabilidades que se derivan de las encuestas pre-electorales y post-electorales
que se realizaron con motivo de esa elección.
3. Estimación mediante el procedimiento ei.MD.bayes
El estudio del trasvase de votos entre procesos electorales es un caso particular de lo que en la lite-
ratura se conoce como “inferencia ecológica”, que engloba a los métodos basados en la denominadaBEIO, Vol. 37, Núm. 2 89
Tab. 2: Estimación de la matriz de transferencia de voto entre la 1ra. y la 2da. vuelta de las elecciones
presidenciales francesas 2017. Estimación mediante lphom con 13 unidades.
Abstención Blancos y Nulos Macron Le Pen
Abstención* 80.0 0.3 12.1 7.6
Macron 0.0 0.0 100 0.0
Le Pen 0.0 0.0 0.0 100
Fillon 12.5 4.9 82.6 0.0
Mélenchon 27.7 26.6 34.9 10.8
Hamon 0.0 0.0 100 0.0
DuPont-Aignan 0.0 29.8 0.0 70.2
Resto candidatos 0.0 88.9 0.0 11.1
* Votos en blanco y nulos incluidos en abstención en la 1ra. vuelta.
Fuente: Elaboración propia.
“regresión ecológica” (King, 1997). Los métodos de regresión ecológica han sido de largo los que
mayor interés han despertado entre los investigadores (ver, e.g., subsección ‘Ecological inference fo-
recasting’ en Petropoulos y col., 2021). Estos métodos, con múltiples variantes, plantean el problema
desde un enfoque probabilı́stico y han ido creciendo en complejidad durante los últimos años.
En dos estudios independientes, Klima y col. (2016) y Plescia y Sio (2018), dos grupos de autores
diferentes presentan y discuten algunos de los principales métodos desarrollados con este enfoque y
realizan un estudio comparativo de los mismos, empleando tanto datos simulados como reales. En
ambos estudios se concluye que el método que mejores resultados arroja (i.e., el que presenta me-
nores distancias con los valores objetivo) es el basado en el modelo jerárquico Multinomial-Dirichlet
en la versión implementada en la función ei.MD.bayes. El modelo jerárquico Multinomial-Dirichlet
fue inicialmente propuesto para tablas 2x2 por King, Rosen y Tanner (1999) y posteriormente ge-
neralizado para tablas RxC (de tamaño cualquiera: con R filas y C columnas) en Rosen y col.
(2001). Matemáticamente, en su versión sin covariables y asumiendo estacionariedad de los electo-
rados, el modelo jerárquico Multinomial-Dirichlet propuesto en Rosen y col. (2001) y programado
K
en ei.MD.bayes asume, en su primer nivel de jerarquı́a, que el vector de votos {yik }k=1 observado en
la elección 2 en la unidad i-ésima sigue la distribución multinomial definida por la ecuación (6).
J J
X xji X xji
(y1i , . . . , yKi ) ∼ M ultinomial Vi , pij1 ,..., pijK (6)
j=1
Vi j=1
Vi
PJ PK
donde Vi = j=1 xji = k=1 yki denota el total de electores de la unidad i y pijk representa la
probabilidad de que un votante de la unidad de votación i que eligió la opción j en la elección 1 elija
la opción k en la elección 2; probabilidades que, en un segundo nivel, se asume se distribuyen por
filas mediante una distribución Dirichlet con los mismos parámetros para todas las unidades, tal y
como se expresa en la ecuación (7).
(pij1 , . . . , pijk , . . . , pijK ) ∼ Dirichlet(αj1 , . . . , αjk , . . . , αjK ) (7)
Con una a priori para cada parámetro αjk dada por la ecuación (8).BEIO, Vol. 37, Núm. 2 90
αjk ∼ Gamma(λ1 , λ2 ) (8)
El procedimiento implementado en ei.MD.bayes es un procedimiento complejo, basado en Cadenas
de Markov de Monte Carlo (MCMC), que, para muestrear (J − 1)KI parámetros disponiendo de
(J + K − 1)I observaciones, requiere especificar y tunear gran cantidad de componentes (entre ellos,
las distribuciones a priori con sus hiperparámetros, el número de iteraciones iniciales que deben ser
descartadas, el salto entre valores aceptados en cada cadena o la longitud de las cadenas) y precisa
de convergencia. Solo si tenemos convergencia en las cadenas pueden estas ser empleadas en una
integración de Monte Carlo.
Lamentablemente a pesar de nuestros esfuerzos empleando diferentes especificaciones no fuimos ca-
paces de alcanzar la convergencia tanto utilizando como inputs los resultados de las 13 regiones
empleadas para generar los datos de la Tabla 2 como también utilizando los datos de los 108 de-
partamentos usados en Romero y col. (2020). De hecho, todas las estimaciones que hemos obtenido
arrojaron resultados con poco sentido desde un punto de vista práctico (ver, por ejemplo, Tabla 3),
dado que no superarı́an ningún escrutinio de coherencia socio-polı́tica.
Tab. 3: Estimación de la matriz de transferencia de voto entre la 1ra. y la 2da. vuelta de las elecciones
presidenciales francesas 2017. Estimación mediante ei.MD.bayes con 13 unidades.
ei.MD.bayes por defecto ei.MD.bayes tuneado**
Abst. ByN Macron Le Pen Abst. ByN Macron Le Pen
Abstención* 37.5 3.0 43.0 16.4 43.5 8.1 24.1 24.3
Macron 20.9 11.9 39.4 27.9 23.3 6.1 59.4 11.2
Le Pen 22.0 15.0 38.3 24.7 13.9 5.9 46.5 33.6
Fillon 23.3 6.6 41.0 29.2 15.0 6.7 53.8 24.5
Mélenchon 18.6 7.8 53.5 20.2 17.8 9.7 54.6 17.8
Hamon 19.3 12.0 53.9 14.9 31.6 15.5 32.4 20.5
DuPont-Aignan 29.0 6.3 54.4 10.2 29.1 20.3 24.3 26.3
Resto candidatos 23.2 9.7 38.2 28.9 28.7 20.2 25.9 25.2
* Votos en blanco y nulos incluidos en abstención en la 1ra. vuelta.
** Estimación obtenida en un proceso en dos etapas. Usando primero tuneMD,
con ntunes = 10 y totaldraws = 100000 y empleando después ei.MD.bayes con
la salida de tuneMD como argumento tune.list y, para el resto de argumentos
relevantes, sample = 1000, thin = 1000 y burnin = 100000.
Fuente: Elaboración propia.
Como ejemplo, la Tabla 3 muestra la media de las probabilidades (en porcentajes) de transferencia
que se obtendrı́an con 1000 realizaciones de las distribuciones a posteriori obtenidas utilizando las
opciones por defecto de ei.MD.bayes (panel izquierdo de la Tabla 3) y empleando un conjunto de
opciones tuneadas basadas en las soluciones implementadas en Klima y col. (2016) y recomendadas
en Collingwood y col. (2020) (panel derecho de la Tabla 3). En concreto, la solución del panel derecho
se ha obtenido tras simular con ei.MD.bayes 1.100.000 realizaciones de las distribuciones a posteriori
y elegir de ellas 1.000 realizaciones tras descartar las 100.000 primeras y tomar secuencialmente una
de cada 1.000 entre el millón restante, y donde los parámetros iniciales de las distribuciones a priori
fueron determinados utilizando la función tuneMD de ei.Pack con 10 cadenas y 100.000 muestras porBEIO, Vol. 37, Núm. 2 91
cadena. En total 355 segundos de tiempo de computación en un portátil con CPU Intel®CoreTM
i7-6820HK (4 cores) 2.70GHz y 64GB de RAM, a lo que habrı́a que sumar los costes temporales,
nada despreciables, en que han de incurrir los analistas para determinar una especificación.
Observando las soluciones de la Tabla 3, es claro que las estimaciones obtenidas no tienen sentido
polı́tico. Centrándose, por ejemplo, en el panel derecho, difı́cilmente se podrı́a aceptar que Macron
sólo retuviese el 59.4 % de sus votantes o que Le Pen incluso lo hiciese peor, manteniendo un exiguo
33.6 %, mientras un 46.5 % de sus votantes en la primera vuelta votaban por Macron en la segunda
vuelta. Una posible explicación para estas anómalas estimaciones es que el algoritmo implementado
en ei.MD.bayes tiene dificultades para converger y no funciona bien cuando el número de unidades
en que se particiona el espacio electoral es pequeño.
En este sentido, el 17 de mayo de 2017, unos dı́as más tarde de la segunda vuelta, el periódico
francés Le Figaro publicaba un resumen de los resultados de un estudio realizado por la empresa
Llegey Muller Pons (Pons, 2017) sobre el trasvase de votos entre las dos vueltas. El estudio estaba
basado en los resultados registrados en las 69241 mesas electorales (bureaux de vote) en los que se
habı́a distribuido al electorado francés para ejercer su derecho de voto. En conversaciones privadas
mantenidas con Vicent Pons, fuimos informados que la metodologı́a utilizada para estimar los tras-
vases de votos entre ambas vueltas fue el procedimiento de inferencia ecológica desarrollado por G.
King, de donde se infiere que se empleó la función ei.MD.bayes1 . La Tabla 4 reproduce los resultados
publicados en Le Figaro (Pons, 2017) a partir de los datos que aparecen en el texto y los gráficos que
contiene el artı́culo. Dado que los resultados publicados en el artı́culo de Le Figaro son incompletos,
solicitamos en su dı́a a su autor que nos facilitara una tabla, similar a la Tabla 2, con los resultados
completos obtenidos en su estudio. Desgraciadamente el autor no accedió a proporcionarnos dichos
resultados, por lo que en nuestra comparación en la próxima sección utilizaremos la información
parcial contenida en la publicación del mencionado artı́culo.
4. Comparación de las estimaciones obtenidas por ambos métodos
Observando las Tablas 2 y 4, una primera conclusión en esta comparación es que las estimaciones
generales obtenidas en ambos estudios son bastante similares, al margen de las diferencias en los
valores concretos que, en cada caso, obtiene cada procedimiento para las probabilidades de transición.
Ası́, respecto al destino del voto de los electores que decidieron abstenerse o votar en blanco o nulo
en la primera vuelta, ambos estudios concluyen que la mayor parte volvieron a comportarse de la
1 Aunque este extremo no hemos podido confirmarlo completamente, pues Pons no accedió a indicarnos qué función
habı́a utilizado y carecemos de suficiente potencia computacional para correr con opciones tuneadas ei.MD.bayes
con 69241 unidades (un ordenador con 128Gb de RAM se queda sin memoria tras algunas horas de procesamiento),
todos los indicios apuntan a ello. Hay sólo dos métodos para tablas RxC que puedan ser atribuidos a King.
La versión iterativa de su método básico para tablas 2x2 propuesto en King (1997) y disponible en el paquete
eiCompare (Collingwood y col., 2020), a través de la función ei est gen, y el algoritmo implementado en ei.MD.bayes
disponible, con diferentes opciones por defecto, en las librerı́as eiPack (Lau, Moore y Kellermann, 2020) y ei (King
y Roberts, 2016). Por una parte, se ha de descartar que la solución de Pons sea la que se deriva de aplicar la función
ei est gen pues, desde el punto de vista teórico, (i) es considerada inferior en la literatura (e.g. Klima y col., 2016;
Plescia y Sio, 2018), (ii) genera soluciones que no verifican las restricciones, (iii) siendo inestable (Collingwood
y col., 2020). Además, desde la perspectiva práctica, hemos encontrado que (iv) esta función produce errores para
algunas de las celdas de la matriz de transferencia cuando trabajamos con los datos de los 69241 bureaux de vote
y que (v) sus soluciones difieren significativamente de la solución de Pons para algunas de las celdas donde sı́ es
posible realizar el cálculo. Por otra parte, también se ha de descartar el uso de la función ei de King y Roberts
(2016), al menos en sus opciones por defecto, pues en este caso la solución se obtiene en unos pocos minutos y de
acuerdo con la publicación de Le Figaro la estimación precisó varias horas de cálculo en potentes ordenadores. En
todo caso, la función ei no es más que un wrapper (un envoltorio), al menos desde 2012, de la función ei.MD.bayes.BEIO, Vol. 37, Núm. 2 92
Tab. 4: Estimación de la matriz de transferencia de voto entre la 1ra. y la 2da. vuelta de las elecciones
presidenciales francesas 2017. Estimación publicada en Le Figaro.
Abstención* Macron Le Pen
Abstencióna 91.0 5.8 3.2
Macron 6.3b 90.6 3.1b
Le Pen 6.0b 1.3b 92.7
Fillon 20.5 63.5 16.0
Mélenchon 32.0 58.3 9.7
Hamon ? ? ?
DuPont-Aignan ? ? ?
Resto candidatos ? ? ?
* Votos en blanco y nulos incluidos en abstención en la 1ra. vuelta.
a
Hay una aparente discrepancia entre el texto del artı́culo que dice que del 9 %
de los abstencionistas que votaron en la segunda vuelta el 64 % lo hicieron por
Macron y la figura del mismo en la que aparece que se abstuvieron el 92.5 %.
b
Estimación aproximada a partir de la gráfica del artı́culo de Le Figaro (Pons, 2017).
Fuente: Elaboración propia.
misma manera en la segunda vuelta (91 % según ei.MD.bayes2 , 80 % según lphom3 ), mientras que de
estos los que decidieron votar lo hicieron aproximadamente en un 60 % de los casos por Macron y
en un 40 % por Le Pen (5.8 % y 3.2 % del total según ei.MD.bayes, 11.1 % y 7.6 % según lphom).
Respecto al destino de los votos que obtuvo en la primera vuelta el candidato del centro-derecha
Fillon, ambos estudios coinciden en que fueron mayoritariamente a Macron (63 % según ei.MD.bayes,
83 % según lphom), pero difieren en el destino del resto de los votos. Según lphom fueron (casi) todos
a la abstención, mientras que ei.MD.bayes los reparte entre la abstención y Le Pen.
Ambos estudios coinciden casi exactamente en obtener que el 10 % de los electores que en la primera
vuelta votaron al candidato populista de izquierdas Mélenchon se inclinaron en la segunda vuelta
por Le Pen. En cuanto al resto de los votantes, ei.MD.bayes obtiene que la mayorı́a prefirió votar
a Macron antes que abstenerse (58 % frente a 32 %). lphom obtiene, por el contrario, que un 54 %
decidió abstenerse frente al 35 % que se inclinó por Macron.
Al ser desconocidos los valores reales de los trasvases de votos, y dado que los resultados expuestos
para los dos estudios son razonables desde el punto de vista socio-polı́tico, resulta difı́cil pronunciarse
sobre cuáles son más cercanos a los valores reales. Algo menos arriesgado resulta opinar en la
comparación de los resultados obtenidos en ambos estudios respecto al destino del voto de los
electores que en la primera vuelta optaron por Macron o por Le Pen.
Sobre estos electores, lphom obtiene el, desde nuestro punto de vista, razonable resultado de que en
términos prácticos (casi) todos estos votantes repitieron su voto al mismo candidato en la segunda
vuelta. Sin embargo, ei.MD.bayes obtiene que más de 800.000 de los votantes a Macron en la primera
vuelta decidieron en la segunda abstenerse o, incluso, votar a Le Pen, y que casi 600.000 de los vo-
2 Hay una aparente discrepancia entre el texto del artı́culo de Le Figaro que dice que el 9 % de los abstencionistas
votaron en la segunda vuelta (el 64 % de ellos a Macron), y la figura del mismo en la que aparece que se abstuvieron
el 92.5 %.
3 Contabilizando los votos en blanco y nulos dentro de la abstención.BEIO, Vol. 37, Núm. 2 93 tantes a Le Pen en la primera vuelta decidieron en la segunda abstenerse o, incluso, votar a Macron. En nuestra opinión no resulta muy razonable pensar que casi millón y medio de los electores que optaron por Macron o por Le Pen en la primera vuelta, decidieran en la decisiva segunda vuelta cambiar su voto, abandonando al candidato que preferı́an dos semanas antes. A la vista de estos resultados y los de la Tabla 3 la sensación es que ei.MD.bayes tiene tendencia a sesgar hacia valores centrales, algo coherente con la hipótesis de que las filas de la matriz de transferencia se distribu- yen condicionalmente como multinomiales-Dirichlet, una combinación que excluye la posibilidad de probabilidades extremas: ceros y unos. 5. ¿Cómo afecta incrementar el número de unidades? En el análisis que hemos realizado, hemos visto los resultados con dos situaciones extremas. Una situación donde los votantes están divididos en 13 unidades y otra situación, que no hemos sido capaces de replicar, en la que la matriz se obtiene a partir 69241 unidades. Una pregunta que nos podemos plantear es si las ventajas mencionadas (en términos de razonabilidad de la solución y de tiempo de procesamiento) de la aproximación basada en programación matemática se mantendrı́an si aumentase el número de unidades. Aunque serı́a necesario abordar un estudio en más profundidad, en esta sección estudiamos cuales serı́an las soluciones que se obtendrı́an si utilizásemos como unidades las 577 circunscripciones (Cir- conscription, en francés) en que las autoridades francesas agruparon al electorado en las elecciones de 2018. Los resultados que se han obtenido con las tres especificaciones utilizadas en los apartados anteriores más una cuarta (basada en el algoritmo nslphom propuesto en Pavı́a y Romero, 2021a y disponible en Pavı́a y Romero, 2021b) se muestran en la Tabla 5. A la vista de los resultados po- demos afirmar que, al menos para este ejemplo, se mantienen todas las ventajas de la aproximación basada en programación matemática señaladas anteriormente. En términos de tiempos de computación, tenemos que el número de segundos que necesitó cada uno de los algoritmos, ei.MD.bayes por defecto, lphom, ei.MD.bayes tunedado y nslphom por defecto, hasta alcanzar su solución fue, respectivamente, de: 12.9, 49.4, 11641.3 (3 horas y 14 minutos) y 79.2. Aunque la solución más rápida se alcanza empleando ei.MD.bayes por defecto (12.9 segundos), esta no tiene sentido desde el punto de vista socio-polı́tico. Hay que notar, empero, que con esta especificación ei.MD.bayes no produce cadenas convergentes, algo que sı́ ocurre con la versión tuneada. Las soluciones alcanzadas por los otros tres algoritmos son satisfactorias y razonables polı́ticamente. Las matrices obtenidas con lphom y con nslphom (que constituye una mejora de lphom que también permite obtener estimaciones por unidades de votación, al igual que ei.MD.bayes), no obstante, parecerı́an preferibles. Por una parte, mantienen la ventaja de ser logradas en un tiempo razonable (alrededor de 1 minuto; menos de un 1 % del tiempo que necesitó ei.MD.bayes tunedado) y, por otra, no implican las importantes transferencias (en número de votos) entre Macron y Le Pen, que todavı́a conllevarı́a la solución basada en ei.MD.bayes tunedado. Esta última solución, sin embargo, mejora brutalmente respecto a la opción de ei.MD.bayes por defecto, algo que no se lograba al incrementar de 13 a 108 el número de unidades, pero sı́ se logra al pasar de 108 a 577. 6. Conclusiones Aunque no es posible extraer conclusiones generales de una sola comparación entre ei.MD.bayes y lphom, sı́ que parece deducirse que, para el estudio del trasvase de votos entre dos procesos
BEIO, Vol. 37, Núm. 2 94
Tab. 5: Estimaciones de la matriz de transferencia de voto entre la 1ra. y la 2da. vuelta de las
elecciones presidenciales francesas 2017. Estimaciones obtenidas con 577 unidades.
ei.MD.bayes por defecto lphom
Abst. ByN Macron Le Pen Abst. ByN Macron Le Pen
Abstención* 26.6 7.0 45.4 21.0 83.5 0.0 9.3 7.3
Macron 23.9 8.3 47.0 20.9 0.0 0.0 100 0.0
Le Pen 25.0 11.0 36.4 27.7 0.0 0.0 0.0 100
Fillon 22.3 8.0 50.0 19.7 12.4 9.5 67.4 10.8
Mélenchon 23.0 8.2 45.6 23.1 22.7 20.7 54.8 1.8
Hamon 30.8 9.2 46.9 13.2 0.0 0.0 100 0.0
DuPont-Aignan 37.3 10.6 27.2 24.9 0.0 45.2 0.0 54.8
Resto candidatos 33.6 11.7 20.0 34.7 0.0 80.7 0.0 19.4
ei.MD.bayes tuneado** nslphom por defecto
Abst. ByN Macron Le Pen Abst. cByN Macron Le Pen
Abstención* 89.9 1.2 4.4 4.5 78.1 4.9 9.0 8.0
Macron 1.7 1.4 95.2 1.8 0.3 0.7 98.7 0.3
Le Pen 0.8 0.9 0.8 97.5 0.1 0.1 0.0 99.8
Fillon 6.4 4.8 71.3 17.6 17.0 7.7 67.3 8.1
Mélenchon 12.3 17.0 65.8 5.0 26.3 14.3 56.0 3.4
Hamon 4.6 3.5 89.4 2.5 0.0 0.0 100 0.0
DuPont-Aignan 2.9 53.9 2.7 40.5 0.1 44.9 0.6 54.5
Resto candidatos 4.1 83.3 4.7 7.9 0.0 77.6 3.0 19.4
* Votos en blanco y nulos incluidos en abstención en la 1ra. vuelta.
** Estimación obtenida en un proceso en dos etapas. Usando primero tuneMD,
con ntunes = 10 y totaldraws = 100000 y empleando después ei.MD.bayes con
la salida de tuneMD como argumento tune.list y, para el resto de argumentos
relevantes, sample = 1000, thin = 1000 y burnin = 100000.
Fuente: Elaboración propia.BEIO, Vol. 37, Núm. 2 95 electorales, el procedimiento lphom constituye una alternativa sencilla, rápida y competitiva frente a los complicados procedimientos de inferencia ecológica propuestos en la literatura. Se impone abordar un estudio amplio y sistemático de comparación entre ambos procedimientos para determinar las fortalezas y debilidades de cada algoritmo y las circunstancias en que cada uno de ellos generará mejores estimaciones. El procedimiento propuesto en Rosen y col. (2001), que puede aplicarse utilizando la función ei.MD.bayes del paquete ei.Pack de R, tiene elevadas necesidades de computación, precisa dispo- ner de datos desagregados para un número elevado de unidades territoriales (baste comparar los resultados de las Tablas 3 y 5) y, al tratarse de un procedimiento bayesiano, exige además usuarios experimentados y con los conocimientos adecuados para ajustar las diferentes opciones de la función y comprobar la convergencia de las cadenas. Por el contrario, el procedimiento lphom tiene unas exigencias computacionales mı́nimas, funciona correctamente con datos muy agregados, más fáciles de conseguir y con menos costes de tratamiento, y puede ser empleado por cualquier analista, no necesariamente experimentado, utilizando, por ejemplo, la función R que se recoge en Pavı́a y Romero (2021b). Basta con disponer de las tablas de votos registrados en unas mismas unidades de votación en las dos elecciones. Esto permite que cualquier agente interesado (partido polı́tico, medio de comunicación, analista independiente) pueda generar con rapidez y facilidad una estimación razonable, incluso en una noche electoral. Algunos expertos (e.g. Jonston y Hay., 1983; Upton, 1978), han objetado, probablemente con razón, que los métodos basados en programación matemática tienen tendencia a obtener demasiados valores extremos (100 % y 0 %), el sesgo contrario al observado con ei.MD.bayes. Esta tendencia hacia los valores extremos mostrada por lphom (y que puede ser observada en las Tablas 2 y 5) puede deberse al hecho de que la solución óptima de un programa lineal es siempre un vértice del conjunto convexo de las soluciones posibles y, debido a las restricciones (1) y (2), en nuestro problema se generan muchos vértices con estas caracterı́sticas. Los autores de la presente nota, en un trabajo en evaluación, pendiente de publicación (Pavı́a y Romero, 2021a), han desarrollado variantes de la metodologı́a en que se basa lphom (como nslphom) que mitigan este inconveniente y mejoran el ajuste a la realidad de los resultados obtenidos. El paquete lphom que implementa, entre otros, los algoritmos lphom y nslphom está disponible en CRAN (Pavı́a y Romero, 2021b). Agradecimientos Los autores desean agradecer los valiosos comentarios y sugerencias recibidas de dos evaluadore/as anónimo/as y la asistencia recibida por parte de la dirección de la revista. Desean asimismo agrade- cer el soporte del Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades, Agencia Española de Investiga- ción, cofinanciado con fondos FEDER, proyecto ECO2017-87245-R, y de la Consellerı́a d’Innovació, Universitats, Ciència i Societat Digital, Generalitat Valenciana, proyectos AICO/2019/053 y AI- CO/2021/257. Acerca de los autores Rafael Romero, Doctor Ingeniero Agrónomo y Catedrático del Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa de la Universidad Politécnica de Valencia (jubilado), está especializado en la aplicación de métodos avanzados de estadı́stica e investigación operativa en diversas áreas
BEIO, Vol. 37, Núm. 2 96 y, especialmente, el control y la mejora de la calidad en procesos industriales. Ha actuado como Consultor del Banco Mundial (desarrollo de modelos matemáticos para la planificación hidroagraria de grandes zonas en Túnez y Senegal), de IBM España (aplicaciones del proceso de datos en la comercialización hortofrutı́cola), de Aerolı́neas Argentinas (desarrollo de modelos matemáticos para el establecimiento de programas de actividad y renovación de flota), ası́ como de muchas otras empresas. Sus dos áreas de investigación actuales están centradas en el control de calidad en la industria siderúrgica, donde colabora con las principales empresas españolas y portuguesas del sector, y en la aplicación de modelos de optimización matemática para el análisis de los resultados de procesos electorales. Jose M. Pavı́a, Licenciado en Ciencias Matemáticas y Doctor en Economı́a, es catedrático de Métodos Cuantitativos de la Universitat de Valencia. Director del Grupo de Investigación en Procesos Electorales y Opinión Pública (GIPEyOP), Pavı́a desarrolla y aplica métodos cuantitativos y de aprendizaje automático en multitud de áreas de ciencias sociales, incluida la inferencia ecológica, la predicción electoral y la investigación por encuestas. Su trabajo se centra en la búsqueda de innovaciones que acorten la brecha entre la teorı́a y las aplicaciones prácticas. Sus intereses de investigación son diversos y comprenden, entre otros, estudios electorales, predicción, encuestas, aprendizaje automático, inferencia ecológica, evaluación de riesgos, estadı́stica bayesiana o detección de delitos. Referencias Collingwood, Loren, Ari Decter-Frain, Hikari Murayama, Pratik Sachdeva y Juandalyn Burke (2020). eiCompare: Compares Ecological Inference, Goodman, Rows by Columns Estimates. R package version 3.0.0. url: https://CRAN.R-project.org/package=eiCompare. EST2, (Consultorı́a, Innovación y Desarrollo, S.L.) (2017). ((Análisis del trasvase electoral entre las dos vueltas de las elecciones presidenciales francesas)). En: url: www.est2.es. Greiner, D. James y Kevin M. Quinn (2009). ((R x C Ecological inference: bounds, correlations, flexibility and transparency of assumptions)). En: Journal of the Royal Statistical Society. Series A (Statistics in Society) 172.1, págs. 67-81. issn: 09641998, 1467985X. url: http://www.jstor. org/stable/30136741. Jonston, R. J. y A. M. Hay. (1983). ((Voter transition probability estimates: an entropy-maximizing approach)). En: European Journal of Political Research 11.1, págs. 93-98. doi: https://doi.org/ 10.1111/j.1475-6765.1983.tb00045.x. eprint: https://ejpr.onlinelibrary.wiley.com/ doi/pdf/10.1111/j.1475-6765.1983.tb00045.x. url: https://ejpr.onlinelibrary.wiley. com/doi/abs/10.1111/j.1475-6765.1983.tb00045.x. King, Gary (1997). A Solution to the Ecological Inference Problem: Reconstructing Individual Beha- vior from Aggregate Data. Princeton University Press. isbn: 9780691012407. url: http://www. jstor.org/stable/j.ctt46n43p. King, Gary y Molly Roberts (2016). ei: Ecological Inference. R package version 1.3-3. url: https: //CRAN.R-project.org/package=ei. King, Gary, Ori Rosen y Martin A. Tanner (1999). ((Binomial-Beta hierarchical models for ecological inference)). En: Sociological Methods & Research 28.1, págs. 61-90. doi: 10.1177/0049124199028001004. eprint: https://doi.org/10.1177/0049124199028001004. url: https://doi.org/10.1177/ 0049124199028001004.
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Inventory Models for Deteriorative items with
Constant and Linear Price Dependent Demand - in
third order Equation
C. K. Sivashankari
C. K. Sivashankari
RMK Engineering College, Chennai
cks.sh@rmkec.ac.in
P. Vijayakumar
P. Vijayakumar
RVS College of Engineering and Technology, Coimbatore
mathsvijayakumar@gmail.com
Abstract
The research work on fundamental connection between the price theory and inventory control work
was sprung up by many statisticians, economists and businessmen in spite of the high level of
interest in inventory control. Most of the inventory control system now in operation assumed the
known price structure. In this paper joint pricing and inventory control model for deteriorating items
with constant and linear price dependent demand is developed. The research is carried out with the
extension work in Whitin (1955) who derived the linear dependent price which is in third order
equation. The third order equation was not solved by T.M. Whintin and the deteriorating items was
also not considered. But in this research paper, the derived third order equation is solved by using
Visual Basic 6.0 and deteriorative items are also considered. There are two decision variables that
is optimum quantity and optimum price. Two models are developed: the first model uses constant
price dependent demand and the second model uses linear price dependent demands. The objective
is to determine the optimal selling price and the optimal order quantity simultaneously such that the
total profit is maximized. The mathematical model is derived and illustrative examples are provided
and numerically verified and for the given data, the break even analysis is also provided. Sensitivity
analysis is performed.
Keywords: Linear demand, Optimality, Price dependent demand, Price theory, Total profit.
MSC Subject classifications: 90B05.
98BEIO, Vol. 37, Núm. 2 99 1. Introduction In typical EOQ-based inventory models, the demand rate and the holding cost are assumed to have constant values and the unit purchase cost is assumed constant regardless of the order size. In actual applications, however, the demand rate for a specific item can be affected by many variables such as linear, quadratic, exponential, seasonality, selling price, and availability of the stock. Moreover, the unit holding cost tends to be higher for extended storage periods. Additionally, the unit purchase cost is generally lower for larger order sizes due to quantity discounts. Demand is the quantity of a good or service that consumers are willing and able to buy at a given price in a given time period. The demand of a product is only based on selling price of the product which should reflect on a real situation. If the selling price increases then the demand decreases and if the selling price decreases then the demand increases. So, price dependent demand is considered in this inventory models for deteriorating items. In this models, price per unit and optimum quantity both are decision variables. The main objective of this paper is to find optimum quantity and price per unit such that the total profit is maximized. Two inventory models are developed in which the first model gives inventory model for deteriorative items with constant price depend demand and in the second model linear price dependent demand for deteriorative items. In both the models necessary mathematical derivation is developed along with the suitable numerical examples for the given data. The break even analysis is also provided in both models for the optimum solution in the third order equation and it is solved by using Visual Basic 6.0 and the sensitivity analysis is provided. The remaining of this paper is organized as follows. Section 1 presents a brief introduction. Section 2 presents literature review. Section 3 presents Assumptions and Notations and Section 4 is associated with mathematical models and necessary examples are provided. Finally, conclusions, limitations and some recommendations for future research are recommended in Section 5. 2. Literature review Cheng (1990) presented an economic order quantity (EOQ) model that integrates the product pricing and order sizing decisions to maximize profit. The Kuhn-Tucker conditions are used to determine the optimal solution under conditions of storage space and inventory investment limitations. The aim of this paper is to explore the effect of relating the pricing and order sizing decisions on the optimal solution. Such a relationship, although it exists in real situations, has long been ignored in the classical EOQ model. You (2005) investigates the problem of jointly determining the order size and optimal prices for a perishable inventory system under the condition that demand is dependent and assumed that a decision-maker has the opportunity to adjust prices before the end of the sales season to influence demand and to improve revenues. Goh and Sharafali (2002) consider an inventory model with a supplier offering discounts to a reseller at random epochs. The offer is accepted when the inventory position is lower than a threshold level. We compare three different pricing policies in which demand is induced by the resellers’ price variation. Policy 1 is the EOQ policy without discount offers. Policy 2 is a uniform price, stock-independent policy. Policy 3 is a stock level-dependent, discriminated price policy. Maihami and Abadi (2012) consider a joint pricing and inventory control model for non-instantaneously deteriorating items with permissible delay in payments. We adopt a demand function which is dependent on the price and time. Shortage is allowed and partially backlogged. Maihami and Abadi (2012) considered a joint pricing and inventory control model for non-instantaneously deteriorating items with permissible delay in payments and adopt demand function which is dependent on the price and time and shortages are allowed. Shah (2014) studied the stock dependent demand and the effect of the sales promotional scheme viz price discount offered
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