Cómo funciona el MP3? - Ursula Molter Semana de la Matemática 2010

¿Cómo funciona el MP3?

           Ursula Molter

     Departamento de Matemática
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
     Universidad de Buenos Aires

Semana de la Matemática 2010

Digitalización ¿por qué y para qué?

La palabra digital hoy ya se incorporó al lenguaje diario.
     cámaras digitales,
     teléfonos digitales,
     megapixeles,
     ancho de banda.
La digitalización permite una transformación y procesamiento de
la información, con grandes beneficios.
Es aquí donde se necesita la matemática para desarrollar y
fundamentar las técnicas usadas.

¿Qué queremos digitalizar?

Las señales que pretendemos digitalizar - con distintos objetivos,
incluyen:
    Señales de Audio: Música y Voz
    Video: Imágenes y Televisión
    Datos: Resonancia Magnética, Electrocardiogramas, Números,
    Letras, Patentes

Señales de Audio

                   Consideremos por ejemplo una
                   suite de Bach. Cuando él la
                   escribió, probablemente usó lo
                   que se denomina notación
                   musical.
                   Es evidente que de esta escritura,
                   no se obtiene toda la información
                   de una pieza: depende de quién la
                   ejecuta, cómo la interpreta, etc.
                   Matemáticamente, esto no es
                   muy preciso.

¿Cómo digitalizamos a Bach?

  1   En primer lugar registramos el sonido con intervalos de tiempo
      muy pequeños. (muestreo - sampling de la señal analógica.)
  2   Cada medición se cuantifica asignándole en forma proporcional
      un número entero positivo en un cierto rango, por ejemplo (de
      0 a 512).
  3   Cada uno de estos números es ahora convertido a notación
      binaria (ceros y unos).
  4   Estos números binarios agrupados consecutivamente forman
      una sucesión de ceros y unos, que es lo que llamamos, la señal
      sonora digital en contraposición a la señal analógica.
En este proceso de digitalización sólo se registró información en
determinados instantes de tiempo equiespaciados. El resto de la
señal aparentemente se ha perdido.

Teorema del Muestreo

¿Cómo hacemos para entonces escuchar toda la música?
Usamos la matemática!
El Teorema de muestreo de Shannon, dice que para conocer el
valor de una función o señal f (cuyo rango de frecuencias está
limitado) basta con conocerla en algunos instantes
equi-distribuidos. O sea, si conozco

                     . . . , f (−1/B), f (0/B), f (1/B), f (2/B), . . .

entonces puedo averiguar cuánto vale f en cualquier valor. Cómo?
Lo que probó C.E. Shannon es que usando la función seno, puede
calcular f en cualquier valor:
                           sen(π(Bx − (−1)))           sen(π(Bx − (0)))           sen(π(Bx − (1)))
f (x) = · · · + f (−1/B)                     + f (0/B)                  + f (1/B)                  +...
                             π(Bx − (−1))                π(Bx − (0))                π(Bx − (1))

C.E. Shannon en realidad redescubrió este teorema en 1949 que había
sido descubierto por Whittaker en 1935. Pero Shannon se dio cuenta de la
utilidad de este resultado en la teoría de la transmisión de la información.
Este teorema sólamente se aplica a señales cuyo rango de frecuencias está
limitado a un intervalo finito. Pero esto es siempre el caso en las señales
que aparecen en la práctica (por ejemplo, la frecuencia máxima trasmitida
por una línea telefónica está alrededor de 4.000 ciclos por segundo).
Este teorema se prueba (demuestra) utilizando la Transformada de
Fourier.

Transformada de Fourier

                          El matemático Jean
                          Baptiste-Joseph Fourier alrededor
                          de 1800 escribió su famoso
                          tratado del calor en el cual
                          explicó que las funciones pueden
                          ser descompuestas en
                          componentes muy simples,
                          utilizando sólamente funciones
                          como cos(x) y sen(x).

Transformada de Fourier (cont.)

La transformada de Fourier es un procedimiento matemático que
descompone una señal en cada una de las frecuencias que la
componen.
Se puede pensar en una analogía con un prisma que descompone la
luz en colores.
La idea es que cada función se puede escribir como una suma de
múltiplos de senos y cosenos.
Si consideramos para cada número entero k (positivo y negativo)
las funciones cos(kx) y sen(kx) obtenemos un sistema (o familia)
infinito de funciones, conocido como el sistema trigonométrico.

Transformada de Fourier (cont.)

Toda función f , de duración finita (por ejemplo dura 2π horas),
puede ser escrita, de manera única, como sumas de múltiplos de
estas funciones:

f (x) = · · ·+a−2 cos(−2x)+a−1 cos(−x)+a0 +a1 cos(x)+a2 cos(2x)+. . .

Está claro, que conociendo los números {. . . , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , . . . }
se vuelve a obtener la función original. El procedimiento que a una
función le asigna la sucesión de números
{. . . , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , . . . }, es lo que se llama transformada de
Fourier. (¡Ojo! hay infinitos números)

Varios Cosenos

Otras señales

Una combinación de tres cosenos:

Una función y su transformada:

Virtudes ...
Para remover “ruido”:

Ejemplo con sonido: Digitalizando a Caruso

La señal corresponde a un pasaje muy corto (6s) del tenor Caruso,
obtenido a partir de una grabación de un disco de pasta.
Caruso Original
¿Qué podemos hacer con esta representación numérica?
Le aplicamos la transformada de Fourier, y le eliminamos las
frecuencias altas.
Caruso Limpio
Hemos eliminado el ruido!

Manipulando a Caruso

Caruso Original   Caruso Limpio   Caruso Ruido   Caruso Más Limpio

Problemas
El problema de la transformada de Fourier, para analizar señales, se
presenta cuando hay cambios abruptos en la señal. Veamos:

Podemos pensar en una función suave “+” dos saltos:

Fenómeno de Gibbs
La transformada de Fourier de la función de salto es:

Esto produce, que al reproducir la función usando solamente un
número finito de coeficientes, obtengamos:

Esto se debe a que las funciones seno y coseno no están localizadas.

Mala Sinfonía
Pensando en la orquesta, Gilbert
Strang en 1994 dijo: “La
transformada de Fourier para
representar una sinfonía, consta
de una orquesta de infinitos
músicos, cada uno tocando
sólamente una nota: No se
necesita director - los músicos
están totalmente aburridos.”
En contrapartida está la notación
musical, donde las indicaciones -
si bien no totalmente precisas - se
adecuan a lo que uno se imagina:
las diferentes notas indican la
duración y la posición en el
pentagrama, la frecuencia.

Mejorando Fourier
Entonces está el desafío matemático: ¿Podemos inventar algo
mejor? Sería bueno, que las funciones base estén localizadas en el
tiempo, ya que entonces podemos analizar la señal localmente sin
condicionar el resto.
Efectivamente esto es posible, y se obtiene utilizando un resultado
muy profundo que se debe a uno de los matemáticos más brillantes
del siglo pasado, el argentino Alberto Calderón

Wavelets

Definición: Una wavelet es una función del tiempo, ψ = ψ(t), de
energía finita, oscilante y bien concentrada.

3 wavelets famosas: Haar(1909) Meyer (1985) Daubechies (1988) .

Wavelets
Esta función luego es dilatada y trasladada para obtener una
colección de funciones que nuevamente permiten representar todas
las señales.

Por ejemplo, ψ(2t) dura la mitad del tiempo, mientras que ψ(t/2)
dura el doble. Por otro lado, la señal ψ(t − k) comienza k unidades
de tiempoi más temprano, y aψ(t) tiene una amplitud a veces la
wavelet original.

Análisis por transformadas

Lo que se denomina la transformada wavelet es la representación
que asocia a cada señal una sucesión de coeficientes que
corresponden a las traslaciones y dilataciones de una wavelet
original.
Teorema: Si ψ es una función adecuadamente elegida, a partir de
la transformada wavelet se puede reconstruir la función.

Ventajas de las “escalas”

Observemos qué es lo que significa “analizar” una imágen con
diferentes escalas de la función de Haar:

¿Qué se perdió?

                  Esta imágen muestra lo que se ha
                  perdido al pasar de la primer
                  imágen a la segunda. Está claro
                  que con las dos imágenes juntas
                  (la segunda y esta diferencia)
                  obtenemos la primera.

+   =

Siguiendo

La última imágen sólamente requiere 1024 pixeles, mientras que la
original usa 262.144

Lena

Otro éxito

Las wavelets han sido exitosas en compresión: el FBI ha optado
utilizar las mismas para comprimir su archivo de huellas digitales.

¡MUCHAS GRACIAS POR ESCUCHARME!

                            Ursula Molter
                       umolter@dm.uba.ar