La calculadora gráfica en la E.S.O - Onofre Monzó del Olmo
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Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana
La calculadora gráfica en la E.S.O.
Onofre Monzó del Olmo
CEP de Godella.
Antecedentes: la calculadora elemental y la científica
El uso de la calculadora elemental y de la calculadora científica ha influido
en varios aspectos del curriculum de las Matemáticas:
Ha dejado obsoletas algunas herramientas que no hace mucho tiempo
eran de uso común, tales como algunas tablas de funciones, especialmente la de
logaritmos y las de razones trigonométricas, y el logaritmo como herramienta para
cálculos aritméticos complicados.
En un libro de texto, no muy antiguo, hemos encontrado la siguiente
7
36'5 × 0'007
5 4
3'265
expresión aritmética:
que se debía de calcular utilizando logaritmos.
Sin entrar en consideraciones sobre la adecuación de este tipo de
ejercicios, parece clara la elección entre las técnicas tradicionales:
- desarrollar el logaritmo de la expresión
- calcular los logaritmos pertinentes, utilizando las tablas
- calcular la expresión aritmética resultante
- calcular el antilogaritmo del resultado anterior, utilizando las tablas
y la introducción, con cierta pericia, de la expresión en una calculadora científica,
visualizando posteriormente el resultado.
91Onofre Monzó del Olmo. La Calculadora gráfica en la ESO
Hay una posibilidad intermedia, un tanto perversa, que es seguir los cuatro
pasos marcados anteriormente efectuando los cálculos con una calculadora
científica.
Ha cuestionado la enseñanza de algunos algoritmos de lápiz y papel como
el de la raíz cuadrada e incluso los de las operaciones elementales.
Los algoritmos escritos tradicionales están depurados en función de su eficacia,
sin embargo es evidente que en la actualidad la calculadora es mucho más eficaz
que cualquiera de ellos.
En el caso de la raíz cuadrada, es casi nula la utilización del algoritmo
escrito fuera del ámbito escolar e incluso en este entorno, ya que poco después de
haber enseñado el algoritmo escrito se permite el uso de la calculadora para
efectuar raíces. Si unimos esto al hecho de que muy pocas veces se necesita
calcular una raíz cuadrada en la vida cotidiana, el resultado suele ser el olvido del
algoritmo.
Con respecto a las operaciones elementales, algunos consideramos
razonable la introducción de algoritmos escritos que no estén diseñados por su
eficacia sino para ayudar al estudiante en la comprensión de los números y las
operaciones, ya que cuando se busque un resultado rápido normalmente se
utilizará la calculadora o el cálculo mental.
Ha influido notablemente en la enseñanza de la Estadística.
El hecho de que los cálculos estadísticos sean menos engorrosos ha
introducido la posibilidad de manejar gran cantidad de datos y, por lo tanto,
trabajar con problemas reales o de naturaleza más cercana a éstos. También ha
ayudado a evitar una dificultad común anteriormente: los cálculos intermedios
hacían olvidar el problema inicial en mu chas ocasiones.
De hecho, aunque todavía hay bastantes profesores reacios a la utilización
de la calculadora en las clases de matemáticas, casi todos están de acuerdo en su
uso cuando se está trabajando la Estadística.
Ha posibilitado el análisis exploratorio de números y operaciones.
Al disminuir el tiempo dedicado a la consolidación de destrezas con lápiz y
papel de los algoritmos de cálculo tradicionales ha permitido darle más peso al
desarrollo de las estrategias personales de cálculo, la estimación y el calculo
mental.
Además, se está empezando a considerar el análisis exploratorio, con
calculadora, de números y operaciones como alternativa a la enseñanza
tradicional de la Aritmética, como se puede ver en las referencias [1], [2], [4] y [7].
La calculadora gráfica
Pecaríamos de inocencia, si pensáramos que la reciente aparición de las
calculadoras gráficas no influirá en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. Por tanto, parece lógico, estudiar sus características para prever
sus aplicaciones, tanto funcionales como didácticas.
Vamos, pues, a especificar las particularidades que más nos han llamado
la atención de estas calculadoras, intentando a partir de ellas aventurar alguna de
sus posibles aplicaciones:
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Al poderse ver varias líneas a la vez, quedan reflejados en la pantalla tanto
la expresión aritmética como su resultado. Esta característica se puede utilizar
para:
*Estudio de expresiones numéricas y algebraicas.
*Posibilidad de corrección visual de errores.
El tamaño de la pantalla : un entorno de trabajo más comprensible
Cuando se utiliza la calculadora en el ámbito de la escuela, los estudiantes
primero utilizan la calculadora estándar y en la secundaria aprenden a utilizar la
calculadora científica que posee jerarquía algebraica para las operaciones,
aunque ya existan calculadoras estándar que la tengan.
Un obstáculo inherente a estos dos tipos de calculadoras es la dificultad
de los estudiantes para visualizar o retener en la memoria, una complicada
secuencia de números, símbolos de operaciones y grupos de símbolos que se
introducen en la calculadora. Por ejemplo, para realizar el siguiente cálculo:
1 + 2(3 - 4/5)
Observamos la siguiente secuencia en la pantalla de la calculadora:
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 2.2 5.4
1 + 2 X ( 3 - 4 / 5 ) =
Sólo aparecen en la pantalla los números que introducimos y los
resultados: las operaciones y los símbolos de las operaciones no aparecen.
Algunas veces las respuestas intermedias si que se ven. En el ejemplo anterior, si
la tecla del signo = no se presiona, el estudiante puede pensar que la respuesta
es 2'2 en lugar de la correcta que es 5'4.
Si ahora observamos como se realizan los cálculos en una calculadora
gráfica:
fig. 1 fig. 2 fig. 3
fig. 4 fig. 5 fig. 6
La pantalla funciona como la de un ordenador, muestra todas las entradas
y respuestas a la vez (figura 1). La pantalla muestra la secuencia que tecleamos,
prácticamente igual a como escribimos en lenguaje matemático. La figura 2
93Onofre Monzó del Olmo. La Calculadora gráfica en la ESO
muestra el mismo ejemplo en el que aparece el signo de multiplicación en uno de
ellos y en el otro no.
En la figura 4 se ha utilizado el signo menos de signo para indicar una
operación y observamos como en las figuras 5 y 6 indica que existe un error de
sintaxis y donde está.
Uso de la función últimas entradas y última respuesta.
La función Last Entry de una calculadora gráfica permite al estudiante: a)
repetir las últimas líneas completas, b) editar el comando, 3) calcular un nuevo
resultado.
fig. 7 fig. 8
Una vez introducidos los cambios con Insertar o Delete, la expresión
puede evaluarse de nuevo, la figura 8 muestra la pantalla después de haber
utilizado la función Entry y la figura 9 después de haber realizado los cambios y
evaluado la expresión.
La función Last Answer almacena la última respuesta en una variable Ans
que permite al estudiante utilizarla en posteriores cálculos. La figura 10 muestra
como se puede utilizar la variable Ans y la figura 11 el resultado del cálculo.
fig. 9 fig. 10
Desarrollando el concepto de variable
Frecuentemente muchos libros de texto introducen el concepto de variable
ligado al concepto de ecuación en una definición como la siguiente:
Una variable es una letra que representa un número.
En la ecuación 6x - 7 = 5, x es una variable.
Esta definición obscurece el significado real de variable. Una variable es
un símbolo que representa una cantidad, relación u otras estructuras matemáticas,
pero la esencia de una variable es que representa un conjunto de cantidades,
realciones o estructuras matemáticas. Cuando las variables son introducidas en el
interior de una ecuación, los estudiantes frecuentemente desarrollan el error
conceptual de que la variable representa un sólo número -el valor que hace que
una ecuación tenga solución-. Enfocando el concepto de una variable desde el
punto de vista funcional ayuda a comprender a los estudiantes que una variable
94Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana
puede representar muchos valores diferentes. Las variables son introducidas como
una extensión natural de un proceso numérico. Consideremos la siguiente
situación:
El número de la segunda columna es 3 veces el de la primera, más 2.
Completa la tabla de valores.
Primer Número Segundo Número Primer Número Segundo Número
2 2 8
5 5 17
8 8 26
13 13 41
x x 3x+2
La introdución de variable en la última línea de la tabla es una extensión
natural de los ejemplos numéricos de las líneas anteriores de la tabla. No hay un
valor "único" para la variable. cada línea de al tabla expresa un valor del segundo
número en función del primero. Se usa la variable para expresar la relación
generalizada 3x+2 y ésta representa cada línea de la tabla.
La resolución numérica del problema dado en ejemplo anterior ayudará a
los estudiantes a comprender el papel de las variables en la generalización.
Cuando se está en este proceso, el número de líneas de la pantalla de la
calculadora sirve para reforzar el concepto de variable.
fig. 11 fig. 12 fig. 13
Las funciones Las Entry y de edición de la calcualdora gráfica se pueden
utilizar para analizar detenida y eficientemente la situación discutida anteriormente.
La figura 11 nos muestra la primera línea introducida en la pantalla. Utilizando la
función Last Entry , se repite y se edita el primer valor de la tabla, 2, se sustituye
por el 5 y se calcula de nuevo el resultado. La figura 12 muestra la segunda línea.
Se repite el proceso para cada línea de la tabla. (Ver figura 13)
En cada paso el único número de la expresión matemática que se cambia
es el que aparece como primero en la tabla de valores. La pantalla muestra el
proceso de construción de la tabla. Los estudiantes siempre tienen que hacer
cálculos tediosos para confeccionar la tabla de valores.
En cada paso del proceso de resolución, el valor del primer número se
sitúa en la expresión y ese valor es utilizado para calcular el segundo número. este
proceso enfatiza la idea de que el primer número puede tomar cualquier valor y
que el valor del segundo número es una función del primer número. Esta técnica
para generalizar una relación se puede utilizar en muchas situaciones de
problemas semejantes a la presentada en el ejemplo anterior.
95Onofre Monzó del Olmo. La Calculadora gráfica en la ESO
La escritura de expresiones matemáticas.
Como la forma en que se escriben las operaciones combinadas intenta
aproximarse a la estándar, la complejidad del orden de prioridades, que utiliza la
calculadora para evaluar este tipo de operaciones, pone en evidencia lo
complicado que puede llegar a ser escribir correctamente una expresión
matemática con varias operaciones combinadas.
Para evidenciar la dificultad a la que nos referimos veremos la lista de
prioridades que utiliza la calculadora, pero antes clasificaremos las operaciones
según su sintaxis, basándonos en la posición del operador, para entender mejor
esta lista.
Clasificación de las operaciones
- Operaciones sufijas: tienen un solo operando y el operador se escribe
detrás. Ejemplos 5!, 27².
- Operaciones prefijas: tienen un solo operando y el operador se escribe
delante. Ejemplos: Ö5, -90, log 7.
- Operaciones infijas: tienen dos operandos y el operador se escribe en
medio. Éstas son la más comunes. Ejemplos: 2+5, 14/7, 5x3.
- Operaciones implícitas: operaciones en las que el operador esta implícito,
sólo se escriben los operandos. Hasta la calculadora más elemental tiene una
operación implícita que es la que de una secuencia de cifras y, eventualmente, un
punto decimal obtiene como resultado un número decimal; recordemos que 123.4
significa 1x102 + 2x10 + 3 + 4x10-1. Pero las calculadoras gráficas también tienen
implementada la multiplicación implícita. Ejemplos: 2(A+B), 3X, 8 log 6.
Prioridades en la evaluación de operaciones
0. Paréntesis
1. Operaciones sufijas
2. ^ Ö (potencias y raíces)
3. Multiplicaciones implícitas cuyo 2º operando no sea una operación prefija
4. Operaciones prefijas
5. Multiplicaciones implícitas cuyo 2º operando sea una operación prefija
6. nPr nCr (variaciones y combinaciones)
7. x / (multiplicaciones explícitas y divisiones)
8. + - (sumas y restas)
9. = ¹ > ³ < £ (operaciones relacionales)
10. and (conjunciones lógicas)
11. or xor (disyunciones lógicas)
En esta lista de prioridades se ve cómo los diseñadores de la calculadora
intentaron emular la escritura estándar de expresiones matemáticas al introducir la
multiplicación implícita, y cómo se vieron obligado a hacer que ésta apareciera en
dos lugares de la lista, dependiendo de las características de sus operandos, para
96Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana
que las prioridades en las operaciones siguieran los cánones incluso en casos tan
sutiles como estos:
donde en el primer caso casi nadie esperaría el resultado de
(94) mientras que en el segundo casi todo el mundo espera
calcular sin(30X).
A la vista de esto no parece descabellado plantearse
la cuestión de trabajar más detenidamente en la clase de
fig. 14 Matemáticas la escritura de expresiones, pues es fácil caer en el
error de exigir al estudiante que sepa algo que no está explicitado
en el currículo.
Herramienta para la resolución de problemas
Las calculadoras gráficas proporcionan herramientas importantes para la
resolución de problemas matemáticos. Con ellas ha aumentado la cantidad de
potencia matemática de que disponenlos alumnos -principalmente por medio de la
creación de tablas y gráficas rápidas y fiables. con frecuencia, los problemas que
antes sólo podían resolver los que tenían conocimientos de cálculo diferencial
pueden resolverlos ahora alumnos con conocimientos algebraicos i geométricos.
Como ejemplo tomemos la siguiente actividad:
Disponemos de planchas de tamaño 30 x 20 cm. para confeccionar cajas
como muestra el dibujo:
¿Cuál tiene que ser el tamaño de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepípedo resultante sea máximo?
Si tomamos como X la longitud del
lado de los cuadraditos a cortar.
El volumen del paralelepípedo
resultante es:
3 2
V(X) = 2X(15 - 2X)(20 - 2X) = 8X -140X +600X
La resolución tradicional de este
problema necesita del Análisis: derivar la
función y encontrar dónde se anula.
V'(X) = 24X2 - 280X + 600
y se anulará en:
X1 = 8.837959396, X2 = 2.828707271
Como uno de los lados del paralelepípedo es (15-2X) podemos descartar
X1 pues sino este factor sería negativo.
Comprobemos que en X2 la segunda derivada es negativa, con lo cual el
extremo será un máximo.
V''(X) = 48 X2 - 280 , V''(X2) = - 144.222051
Los alumnos de secundaria que conozcan la fórmula del área del
paralelepípedo y tengan cierta soltura con expresiones algebraicas, serán capaces
de escribir la función volumen de este problemas, pero no sabrán aplicar el cálculo
diferencial para hallar la solución.
97Onofre Monzó del Olmo. La Calculadora gráfica en la ESO
Con las calculadoras gráficas se tienen herramientas muy fáciles de
aprender y que proporcionan una solución con una aproximación de varios
decimales.
Vamos a tratar dos enfoques de este tipo:
El primero es mediante tablas de valores:
Definimos función volumen:
Y ajustamos la tabla para que empiece e 0 y haga los
cálculos para incrementos de la X =1:
Con lo que obtenemos:
fig. 15
fig. 16
fig. 17
Observamos que la X crece de uno en uno y la función crece hasta 3 y
luego vuelve a decrecer con lo que el máximo estará entre 2 y 4, ajustamos de
nuevo la tabla para que empiece en 2 con incrementos de 0'1 (fig. 18).
fig. 18 fig. 19 fig. 20 fig. 21
Con lo que la tabla quedará como en la fig. 19.
Como vemos el máximo estará entre 2'7 y 2'9, procediendo así llegaremos a
tablas como las de la fig. 20 y 2, con lo que el máximo estará entre 2'828704 y
2'828711, es decir aproximadamente en 2'8287.
En el otro enfoque se utiliza una utilidad gráfica para investigar un
modelo geométrico del problema. Se representará en una gráfica la función
volumen y se hace un estimación de las coordenadas del punto máximo de la
gráfica. En la ampliación de esta parte de la gráfica se obtienen las coordenadas
con una aproximación de hasta varios decimales. Las calculadoras gráficas
incluyen utiliades de ampliación (zoom) y de lectura de coordenadas sobre la
curva (trace).
Utilizando la función volumen ya definida y que el máximo está entorno a
800 definimos los valores de la ventana que queremos ver:
fig. 22 fig. 23 fig. 24 fig. 25
98Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana
Posicionándomos sobre el máximo (con la función trace, fig. 23), y
haciendo un zoom sobre el (fig. 24 y 25) obtenemos una buena aproximación.
Repitiendo el proceso obtendríamos mejores aproximaciones.
Los alumnos adquieren más capacidad de resolución de problemas
cuando llegan a entender las conexiones que existen entre las diversas ramas de
las matemáticas. El ser consciente de las conexiones hace más fácil la resolución
de un problema; al resolver problemas se llega con frecuencia a descubrir
conexiones. Esto último es especialmente cierto en el caso de problemas que se
enfocan de diversas formas.
Bibliografía:
[1] CABALLERO, Salvador y otros (1989): NÚMEROS 1º DE E.S.O.. Valencia.
Generalitat Valenciana.
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[9] WARREN, Val (1992): «Grapphic calculators with yonger children». MicroMath
Vol. 8, Num. 1 Spring 1992. Pág 29-30.
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