Ejercicios de Microeconomía intermedia - Guía práctica en revisión Facultad de Ciencias Económicas
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Facultad de Ciencias Económicas
Ejercicios de Microeconomía
intermedia
Guía práctica en revisión
Autoras:
Lic. Analía V. Calero
Lic. María Eugenia Castelao CaruanaEJERCICIOS DE MICROECONOMIA
INTERMEDIA
1
UNIVERSIDAD DE BELGRANO
Año 2012
Lic. Analía V. Calero
Lic. Ma. Eugenia Castelao Caruana
GUIA PRÁCTICA EN REVISIÓNÍndice EQUILIBRIO GENERAL Y ÓPTIMO DE PARETO.............................................. 1 ECONOMIA DE DISTRIBUCIÓN ............................................................. 2 ECONOMIA DE INTERCAMBIO ............................................................. 3 EQUILIBRIO Y OPTIMO ..................................................................... 4 FUNCION DE BIENESTAR SOCIAL .......................................................... 12 EXTERNALIDADES ........................................................................... 16 BIENES PÚBLICOS ........................................................................... 19 MONOPOLIO Y REGULACION TARIFARIA ................................................. 20 CONSUMO BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE.................................... 23 SELECCIÓN DE CARTERA ................................................................... 29 ECONOMIA DE LA INFORMACIÓN .......................................................... 36 TEORIA DE LOS JUEGOS .................................................................... 43 CONSUMO INTERTEMPORAL ............................................................... 52 BIBLIOGRAFIA CITADA Y SUGERIDA ....................................................... 60 GUIA PRACTICA EN REVISION
MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL
WALRASIANO
Malinvaud (1974) desarrolla tres modelos de Equilibrio General Walrasiano
denominados por el autor como Economía de Distribución, Economía de
Intercambio Puro y Economía con Producción y Propiedad Privada. Los modelos
de Economía de Intercambio Puro y de Economía con Producción son los modelos
típicos de Equilibrio General Walrasiano. El modelo de Economía de Distribución,
en cambio, se aleja de los modelos tradicionales neoclásicos de equilibrio
general al postular la ausencia inicial de propiedad privada y la existencia de un
“distribuidor central” encargado de asignar a cada individuo una renta monetaria
y de administrar la oferta de bienes. Este modelo puede interpretarse como un
punto de partida para un análisis de equilibrio general dentro del marco de la
teoría económica del socialismo.
Cada uno de estos modelos plantea un orden ascendente de generalidad, a saber:
- Economía de Distribución
- Economía de Intercambio Puro
- Economía con Producción y Propiedad Privada
El modelo de Economía de Intercambio Puro relaja el supuesto de rentas
individuales exógenas que asume el modelo de Economía de Distribución, siendo
estas determinadas por las dotaciones iniciales que posee cada uno de los
individuos. A su vez, el modelo de Economía con Producción relaja el supuesto de
ofertas rígidas (exógenamente determinadas por las dotaciones iniciales),
permitiendo la existencia de empresas que produzcan cantidades positivas de los
bienes en cuestión.
GUIA PRACTICA EN REVISIONEQUILIBRIO GENERAL CONOMIA DE DISTRIBUCIÓN
1. Curvas de contrato. Considere una economía de caja de Edgeworth con las
siguientes preferencias:
Todos los parámetros de preferencias son estrictamente positivos. En cada caso,
dibuje el conjunto de óptimos de Pareto dentro de la caja de Edgeworth.
ECONOMIA DE DISTRIBUCIÓN
2. Suponer una economía pura de distribución compuesta por dos individuos, dos
bienes y un distribuidor central administrador de las dotaciones iniciales de esos
bienes. Este distribuidor asigna de manera totalmente arbitraria una renta
monetaria a cada uno de los individuos con el objeto que ellos puedan comprar
los bienes disponibles en la economía.
Se supone además que los individuos son idénticos en cuanto a sus preferencias,
las cuales vienen representadas por la siguiente función de utilidad:
U(xi1, xi2) = xi10.5 * xi20.5 con i = 1,2
Las dotaciones iniciales de los bienes (en manos del distribuidor central) son las
siguientes: W1 = 20 y W2 = 40.
Por último, las rentas monetarias asignadas por el distribuidor a cada uno de los
individuos son: R1 = 100 y R 2 = 60
a. Solucionar el problema de equilibrio general y verificar que, en una
economía de distribución, los precios monetarios quedan determinados.
b. Suponer que el distribuidor central incrementa en una misma proporción la
renta monetaria de ambos individuos simultáneamente ¿Qué efectos
producirá esto sobre los precios de equilibrio?
c. Luego de la suba decretada por el Distribuidor, un economista afirmó que
“el problema de la economía era que las rentas de los individuos eran muy
GUIA PRACTICA EN REVISIONbajas, ahora los individuos tendrán un mayor nivel de utilidad”. Comentar
esta afirmación, sus supuestos, y formalizar su fundamentación.
3. En una Economía de Distribución compuesta por dos individuos con funciones de
utilidad de tipo Cobb- Douglas:
a. Determinar el efecto que produciría sobre el equilibrio general de la
economía un incremento de la renta monetaria asignada al individuo 1.
b. A partir de la situación anterior, se puede afirmar que el administrador ha
realizado una mejora paretiana?
ECONOMIA DE INTERCAMBIO
4. Suponer una economía de intercambio puro compuesta por dos individuos y dos
bienes. Las preferencias de cada individuo i, con i = 1,2, vienen representadas
por la misma función de utilidad de Cobb-Douglas:
Las dotaciones de cada individuo son las siguientes:
w11 = 1 w12 = 2 y w21 = 2 w22 = 1
donde wij es la dotación inicial del bien j en manos del individuo i.
a. Sin resolver el ejercicio, podría decir a priori si el precio relativo del bien 2
respecto al bien 1 será mayor, igual o menor a uno?
b. Se puede determinar a priori cual es el individuo más rico?
c. Podría decir a priori si habrá intercambio en esta economía? Y si las
dotaciones del individuo 2 fueran iguales a las del individuo 1?
d. Solucionar el problema de equilibrio general.
e. Verificar que en el equilibrio el mercado se vacía.
5. Sea una economía con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes (X1 y X2), donde
cada consumidor comienza con dotación inicial de cada uno de los bienes. El
consumidor 1 tiene al inicio 60 unidades de X2, mientras que el consumidor 2
posee 20 unidades de X1 y 10 unidades de X2. Suponga que las funciones de
utilidad son las siguientes:
GUIA PRACTICA EN REVISIONa. Determine el Equilibrio General de esta economía
b. ¿Quedan determinados los precios monetarios? ¿Por qué?
c. Ante una variación positiva de W12 de 1 unidad, resolver mediante estática
comparativa (diferenciar) para X11 y X21.
ECONOMIA CON PRODUCCION Y PROPIEDAD PRIVADA
6. (Difícil) Suponga que una economía dispone de tres bienes: ocio, dorado y boga.
Existen i consumidores y 2j firmas. Cada consumidor tiene preferencias sobre los
tres bienes y una dotación inicial dada por wi =(T; 0; 0) : Cada firma usa el
trabajo como único insumo. Todas las firmas impares producen dorados de
acuerdo a una tecnología con rendimientos constantes a escala. Todas las firmas
pares producen boga de acuerdo a una tecnología con rendimientos constantes a
escala.
a. Provea la notación necesaria para de.nir un equilibrio walrasiano en esta
economía.
b. Qué puede decir de los precios de equilibrio y los beneficios de equilibrio?
7. Suponga que la frontera de posibilidades de producción de la economía está
definida por: X2 + 4Y2=B
La Economía está formada por dos agentes (A y B) cuyas preferencias están dadas
por:
El agente A es el dueño de toda la producción del bien X que obtiene la economía
y el agente B es el dueño de toda la producción del bien Y.
Suponga que B=128, =0,5 y =0,5. Si el precio del bien X es la mitad del precio
del bien Y ¿Alcanzará la economía una situación de equilibrio general?
Suponga B=128, =1/4 y =3/4 resuelva las misma pregunta del apartado
anterior.
GUIA PRACTICA EN REVISIONa. ¿Cómo cambiaría la respuesta si inicialmente los bienes se distribuyeran a
medias entre los dos individuos?
b. Con los mismos datos del ejercicio anterior. ¿Cómo cambiaría la respuesta
al segundo apartado si inicialmente fuese B el dueño de toda la producción
del bien X y A el de toda la producción del bien Y.
8. Una hipotética economía cuenta con 90 unidades de trabajo y otras tantas de
capital para producir dos tipos de bienes X e Y. Las funciones de producción de
los dos están definidas por:
a. Explique las condiciones que deben cumplirse para alcanzar la eficiencia en
la asignación del capital y el trabajo en esta economía.
b. Suponga que el precio del trabajo es la mitad de la remuneración del
capital y que existe competencia perfecta en los mercados de factores.
¿Cómo se distribuirá el capital y el trabajo entre los dos sectores de la
economía? Obtenga los niveles de producción de los dos bienes.
c. Una serie de reformas recientes han aumentado el precio relativo del
trabajo, hasta igualarlo a la remuneración unitaria del capital. Obtenga la
nueva asignación de recursos de la economía y comente las consecuencias
de dichas reformas sobre la producción final de los distintos bienes.
d. Utilice la información obtenida en los apartados anteriores para representar
la Caja de Edgeworth de la producción y para representar en ella las
soluciones de los apartados (b) y (c)
e. Explique qué relación hay entre el equilibrio en el mercado de factores y la
frontera de posibilidades de producción de la economía y represente esta
última.
9. Actualmente la economía distribuye las 100 unidades de capital disponibles de
modo que el sector X utiliza 10 unidades y el sector Y el resto. Por otra parte, de
las 100 unidades de trabajo disponibles, el sector X utiliza 25 y el sector Y 75.
GUIA PRACTICA EN REVISIONa. ¿Se encontrarán en equilibrio los mercados de capital y trabajo de esta
economía? Explique su respuesta y represente gráficamente la situación
actual.
b. Calcule la relación de precios de los factores (w/r ,o el tipo de salario
partido por el precio del capital) de la situación actual de la economía.
c. Como cambiará la situación de equilibrio si la relación de precios de los
factores fuera w/r=0,8.
10. Una economía dispone de 180 unidades de trabajo y 120 de capital que puede
utilizar para la producción de dos bienes cuyas funciones de producción están
dadas por:
El individuo A es propietario de tres cuartas partes del trabajo y de la cuarta
parte del capital disponible en la economía. Las preferencias de los dos
individuos que conforman esta economía están dadas por:
Si el precio del trabajo es dos terceras partes del precio del capital:
a. ¿Cuál será la situación de los mercados de bienes y de factores?
b. Obtenga y represente gráficamente el equilibrio general de la economía.
GUIA PRACTICA EN REVISIONEQUILIBRIO Y ÓPTIMO DE PARETO
1. Sea una economía con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes ( y ), donde
cada consumidor comienza con una dotación inicial de los bienes y se comporta
tomando como dados los precios de mercado.
El consumidor 1 tiene al inicio 40 unidades de X1 y 160 X2, mientras que el
consumidor 2 posee 240 unidades de X1 y 120 de X2. Suponga que las funciones de
utilidad son las siguientes:
para i=1, 2
a. Hallar el Óptimo de Pareto si todo el poder de negociación lo tiene el
individuo 1.
b. Hallar la solución competitiva y verificar que es Óptimo de Pareto
c. ¿Qué precios son los que quedan determinados? ¿Por qué? Graficar.
d. Encuentre la curva de contrato
Solución
a. Si todo el poder de negociación se encuentra en manos del individuo 1,
debemos maximizar su función de utilidad, sujeta a las restricciones del
problema, a saber: la utilidad del otro individuo y el vaciamiento de los
mercados
sujeto a:
;
Planteamos el lagrangiano incorporando las restricciones de vaciamiento de los
mercados a la restricción de la utilidad del individuo 2:
(1)
GUIA PRACTICA EN REVISION(2)
(3)
Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que
. Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos ;
b. Para hallara la solución competitiva:
Para el individuo 1: sujeto a su Restricción de Presupuesto:
(1)
(2)
(3)
Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que
Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos las funciones de demanda del
individuo 1:
y
Para el individuo 2:
(1)
(2)
(3)
GUIA PRACTICA EN REVISIONDel despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que
Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos las funciones de demanda del
individuo 2:
y
Si buscamos el vaciamiento de los mercados, entonces:
Al reemplazar las funciones de demanda en la condición de equilibrio obtenemos
los precios relativos, . Con lo cual tenemos que :
y en equilibrio se verifica que se vacían los mercados:
por otra parte, en equilibrio, se verifica que las tasas marginales de sustitución
de los dos bienes para los dos individuos se igualan, y a su vez se igualan a la
relación de precios:
Para el individuo 1:
Para el individuo 2:
Luego: RMS1=RMS2 =
GUIA PRACTICA EN REVISION2. Suponga 2 bienes y 2 individuos cuyas preferencias vienen representadas por una
función de utilidad tal que: U1 = U1 (X11; X12) y U2 = U2 (X21; X22) donde Xij=
cantidad demandada por el individuo i del bien j.
Asimismo, los consumidores poseen dotaciones iniciales, wij, donde w representa
la disponibilidad inicial del bien i para parte del individuo j.
Luego: w1 = (w11; w12) y Individuo 2 : w2 = (w21; w22)
a. Determine a partir de la información brindada a qué tipo de modelo de
equilibrio general hacemos referencia y enumere los supuestos del mismo.
b. Explique el concepto de Óptimo y de Equilibrio y demuestre que el
equilibrio competitivo es Óptimo de Pareto. Grafique mediante un
diagrama de caja.
c. Explique qué condición se tiene que cumplir en el equilibrio general y qué
funciones se determinan.
d. Explicite los dos teoremas fundamentales de la Economía del Bienestar y
su significado conceptual.
3. En la siguiente economía de dos individuos, se sabe que las funciones de utilidad
tienen la siguiente forma:
y que el individuo 1 posee una dotación w 1= (2,1) mientras que el individuo 2
tiene una dotación w2= (1,2).
a. Hallar el equilibrio competitivo o walrasiano.
b. Compruebe que se cumple la Ley de Walras. ¿Qué vector de precios utiliza
para verificarlo?
c. Compruebe que el equilibrio encontrado es un óptimo de Pareto
d. Suponga que el planificador desea llegar a la siguiente asignación: x11= 2;
x21 = 2; x12 = 1; x22 = 1 (observe que es un óptimo de Pareto). ¿Qué
esquema de transferencias de suma fija debe implementar?
4. Suponga una economía con dos bienes X1 y X2, dos consumidores A y B, y una
firma que produce ambos bienes. La tecnología viene dada por las siguientes
funciones de producción:
GUIA PRACTICA EN REVISIONX1 = √L1 X2 = √L2
donde Li representa la cantidad de trabajo contratada por la firma para producir
el bien i.
Suponga además que cada consumidor tiene una dotación inicial Li fija para
repartir entre ocio y trabajo, igual a 0,5, y que cada uno es dueño del 50% de la
firma.
Las preferencias son las mismas para ambos consumidores:
a. Resuelva el equilibrio competitivo. Resuelva el problema de la firma y de
los consumidores. Encuentre los precios y cantidades de equilibrio.
b. ¿Qué condición se cumple en el óptimo? Grafique.
5. Robinson Crusoe ha decidido utilizar 10 horas de su día para procurarse alimento.
Puede emplear este tiempo recolectando cocos o pescando. Es capaz de pescar
un pez y medio por hora y puede recolectar 4 cocos por hora.
a. Desarrolla una ecuación que exprese su frontera de las posibilidades de
producción. Grafíquela.
b. La función de utilidad de Robinson es U(P,C) = PC/2, donde P representa
su consumo diario de peces y C representa su consumo diario de cocos.
Representar gráficamente la curva de indiferencia de Robinson que se
corresponde con su nivel de utilidad.
c. ¿Qué cantidad optima de peces y cocos elegirá Robinson producir al día?
d. Supongamos que Robinson no vive solo en la isla, sino que vive próximo a un
comercio donde puede comprar peces y cocos. Si los peces cuestan $1,5
cada uno, ¿cuánto deberían costar los cocos para que eligiera consumir el
doble de cocos que de peces?
e. Supongamos que un planificador social deseara que Robinson consumiera 4
peces y 8 cocos al día. Si estableciera el precio de los peces igual a $2,
¿cuánto debería ser el precio de los cocos, y que sueldo debería pagarle a
Robinson?
GUIA PRACTICA EN REVISIONFUNCION DE BIENESTAR SOCIAL Los estados de óptimo en el sentido de Pareto son en general múltiples, por lo que resulta necesario introducir un orden entre situaciones o estados óptimos compatible con el orden o equilibrio parcial (capítulo X). Partiendo de este principio se ha propuesto que los estados sean ordenados de acuerdo a una FUNCIÓN DE BIENESTAR SOCIAL (FBS), una función numérica que tiene como argumentos a los n valores que toman las utilidades individuales de los n consumidores, o sea: W(U1; U2; U3;…; Un) La compatibilidad entre el orden completo y el orden parcial exige que W sea diferenciable y que las Wi´ sean todas positivas. Admitir la existencia de una FBS implica: - Atribuir a cada consumidor una función de utilidad completamente especificada, una utilidad cardinal; - La existencia a nivel colectivo de una relación marginal de sustitución entre las utilidades individuales de los diversos consumidores. Esto supone que las utilidades de individuos diferentes son comparables. Las elecciones representadas por una FBS de esta naturaleza no se inspiran solamente en consideraciones relativas a la eficacia de la producción y la distribución, sino también en una ética de la justicia que debe presidir a la distribución de los bienes entre los individuos. El debate en torno a cómo se define la justicia social ha generado numerosos debates entre filósofos y economistas por su implicancia en la formulación de las políticas públicas. En su libro A Theory of Justice (1971), John Rawls propuso un modelo de justicia según el cual las diferencias sólo podían ser aceptadas si las desigualdades sociales y económicas fueran tales que maximizaran los beneficios de los menos favorecidos. Este criterio demanda imparcialidad en los resultados y en la igualdad de oportunidades: las personas que tienen habilidades similares deberían tener oportunidades similares en la vida. El libro de Nozick, titulado Anarchy, State and Utopia (1974),·presenta una fuerte crítica a la teoría y la práctica de la formulación de políticas públicas al estilo Rawls. En contraposición a la noción de justicia de Rawls, relacionada con la distribución de los resultados de manera "imparcial", Nozick argumenta que la justicia distributiva se basa en la idea del "derecho a" y de los derechos del individuo. Para este autor, la justicia tiene que ver con aquello a lo que las personas tienen derecho y no con la imparcialidad: la distribución puede ser GUIA PRACTICA EN REVISION
justa, pues cada uno tiene derecho a aquello que posee, pero puede no ser imparcial en un sentido distributivo. Según el autor, los individuos y los mercados son el único medio, en un mundo libre, que permite la organización de la sociedad con una aspiración de justicia. Quienes deseaban ver menos políticas públicas y más libertad de elección individual no desaprovecharon esta tesis (Parsons 1998). En la práctica, el criterio aplicado se refleja en la forma funcional de la FBS: Criterio de Rawls Una mejora de la situación social se da si y solo si el que mejora es el que estaba peor. La función es simétrica, concava y paretiana, pero no estrictamente. Maximiza la utilidad del miembro con menor bienestar. Muestra una aversión extrema a la desigualdad en la distribución de utilidad porque W(U1; U2)= W(100,0)= W(0;0). Nótese que la FBS rawlsiana implica una solución estrictamente igualitaria en el óptimo social. A medida que sube a lo largo del eje de 45º, el óptimo social es uno de igualdad absoluta (UA*(R)=UB*(R)), mientras que en el caso utilitarista los óptimos sociales pueden ser compatibles con la desigualdad de utilidades. Criterio utilitarista La ponderación de las utilidades individuales en la FBS es similar para las distintas personas. La FBS es simétrica, cóncava y estrictamente paretiana. El óptimo social de cualquier conjunto de la FBS es aquel donde la cantidad total de la utilidad es la mayor posible. No hay aversión a la desigualdad porque un vector W(U1; U2)= W(100,0)= W(50;50). En términos más generales, el criterio utilitarista se encuentra definido por la expresión: Donde G es una función creciente y cóncava. Cuanto mayor la concavidad de la función G, mayor la aversión de la sociedad a la desigualdad. Cada unidad sucesiva de utilidad que recibe una persona incrementa el bienestar social, pero de forma decreciente. GUIA PRACTICA EN REVISION
1. Dada una función de bienestar social Con oferta
total de bienes:
a. Demostrar que el máximo de la función de bienestar es óptimo de Pareto
b. Mencionar el significado de las condiciones de primer orden
c. Graficar
2. Considere una economía de intercambio puro con dos agentes y dos bienes
repartidos inicialmente de la siguiente manera: y
La función de bienestar social está dada por la sumatoria de las funciones de
utilidad de ambos individuos, siendo:
a. Hallar el punto máximo de la función de bienestar social. Graficar
b. Hallar el equilibrio general de esta economía y comparar con los
resultados obtenidos en el punto anterior. Será igual el consumo de los
individuos? Y sus niveles de utilidad?
c. Cuál será la relación de precios necesaria para llegar, a través del
mercado, a las demandas que determinan el máximo de la función de
bienestar social. Qué será necesario modificar para que obtener esta
relación de precios?
3. Considere una economía de intercambio puro con dos agentes y dos bienes.
Demuestre que un reparto igualitario de las dotaciones iniciales de los agentes,
y no es eficiente en el sentido de Pareto si las
preferencias son:
y con
¿Por qué? ¿Ocurriría lo mismo si 1?
GUIA PRACTICA EN REVISION4. Obtenga la curva de contrato y la frontera de utilidad para una economía de
intercambio puro formada por dos individuos con las siguientes preferencias y
dotaciones iniciales:
,
Compruebe que la asignación competitiva es eficiente en el sentido de Pareto.
Calcule los óptimos sociales (en términos de asignaciones) correspondientes a las
siguientes funciones de bienestar social:
¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social? ¿Cuáles son
los precios competitivos que soportan el óptimo social definido por la función de
bienestar social minimax?
GUIA PRACTICA EN REVISIONEXTERNALIDADES La característica crucial de las externalidades es que los bienes que les dan origen interesan a los agentes (por sus efectos negativos o positivos), pero no se venden en mercados organizados. En presencia de externalidades el mecanismo de mercado no logra asignaciones eficientes en el sentido de Pareto de los recursos, lo que significa que sería posible mejorar el bienestar la sociedad en su conjunto modificándolas. Sin embargo, hay otras instituciones sociales como el sistema jurídico o el Estado que pueden, hasta cierto punto, actuar de manera análoga. Los problemas de externalidad surgen si los derechos de propiedad no se encuentran definidos de forma tal que quien genera la externalidad deba pagar o pueda cobrar por el efecto negativo o positivo que genera. Si los derechos de propiedad están bien definidos no hay externalidades en la producción, pero si no lo están, el resultado de las interdependencias económicas genera ineficiencias. Esta afirmación fue planteada en 1968 por G. Hardin en lo que se llamo “The Tragedy of the Commons” (Varian, 1999). Cuando la producción genera externalidades, la forma de producción óptima es independiente de quien tenga los derechos de propiedad, pero la distribución de sus beneficios o pérdidas depende de la asignación de los derechos de propiedad. Existe un caso especial en que el resultado de la externalidad es independiente de quien tenga los derechos de propiedad. Si las preferencias de los agentes son cuasilineales (primera clase práctica funciones de utilidad), esto es, las curvas de indiferencia son meras versiones desplazadas unas de otras, lo que significa que la RMS no cambia cuando alteramos la cantidad del bien), todas las soluciones eficientes deben generar la misma cantidad de la externalidad. El supuesto de preferencias cuasilineales implica que las demandas del bien que genera la externalidad son independientes de la distribución de la renta. Por lo que una reasignación de las dotaciones no afecta la cantidad eficiente de la externalidad. Esto se expresa diciendo que el teorema de Coase es válido si no hay “efectos renta”. Eleonor Ostrom (1990), premio nobel de economía en 2009, demostró que una tercera vía para la gestión de los bienes colectivos diferente al mercado y al Estado es la creación de una institución colectiva. GUIA PRACTICA EN REVISION
1. Supuestos del Modelo: Equilibrio Parcial y un único factor productivo. Dada las
siguientes funciones de producción de dos empresas monoproductoras:
QA = 15 LA0,5 + 1,5QB
QB = 19 ln (LB)
Con PA = 2, PB = 3 y W = 3
Donde LA y LB representan la cantidad de trabajo demandada por cada industria,
W el salario real vigente, PA y PB el precio del producto de cada empresa y Q A, QB
las cantidades producidas.
Resolver suponiendo que las empresas actúan bajo competencia perfecta.
a. ¿Es óptima la asignación de recursos? ¿Por qué?
b. Si ambas empresas se fusionan, hallar QA y QB. ¿Son óptimas estas
cantidades?
c. El Estado analiza la posibilidad de brindar un subsidio a la empresa B de
$ 1,5 por unidad producida (en el contexto del punto a) para tratar de que
se alcance el óptimo en este mercado. El Estado recurre a usted para
conocer su opinión respecto al monto de este subsidio. ¿Es correcto el
monto elegido? ¿Por qué? Demostrar.
2. Dos empresas interdependientes por la generación de externalidades negativas
por parte de la empresa M poseen las siguientes funciones de costos:
y los precios de los bienes son:
Planteando los supuestos y condiciones necesarias, resolver:
a. Hallando la solución competitiva (cantidad y beneficios)
b. Creando un mercado para la externalidad
c. Aplicando un impuesto
3. Dos empresas monoproductoras presentan las siguientes funciones de producción:
QA= 5 ln (LA) – 0,2 QB
GUIA PRACTICA EN REVISIONQB= 3 LB0,5
Con PA = 2, PB = 3 y W = 1
a. Determinar la asignación de recursos suponiendo que las empresas actúan
bajo competencia perfecta. ¿Es óptima la asignación? ¿Qué falla de
mercado está presente?
b. Proponer un mecanismo para solucionar dicha falla. Resolver. ¿Qué se
puede decir acerca de la demanda de trabajo de la empresa B respecto de
la situación anterior?
c. Si se le impone un impuesto de $1 por unidad producida a la empresa B,
¿Es óptima dicha situación? Explicar.
4. Considere una economía de intercambio con dos consumidores, cuyas
preferencias sobre los bienes existentes (x;y) pueden ser representadas por las
siguientes funciones de utilidad:
Dadas las siguientes dotaciones iniciales , halle
los equilibrios competitivos. Es un resultado óptimo en el sentido de Pareto?
GUIA PRACTICA EN REVISIONBIENES PÚBLICOS
1. En un modelo de dos consumidores y dos bienes, las funciones de utilidad de los
dos individuos son:
donde es el consumo del bien j por el individuo i
Las funciones de producción de los dos bienes dan lugar a la función de
transformación implícita entre :
Determinar las condiciones de primer orden para un óptimo si es un bien
privado y es un bien público
2. Encuentre la solución descentralizada de asignación de un bien público para dos
individuos cuyas preferencias son:
con =30
con =40
Donde G=20; X1= 50; X2 = 40
Nota: será necesario el uso de un programa matemático para obtener los
resultados finales del ejercicio
GUIA PRACTICA EN REVISIONMONOPOLIO Y REGULACION TARIFARIA
1. Determinar el nivel óptimo de producción y precio de las siguientes empresas
monopólicas e indicar si son un monopolio natural. Las funciones de demanda de
sus mercados y sus funciones de coste son:
2. Un monopolio enfrenta un costo medio igual a su costo marginal, el que es igual
a 5. La demanda de mercado de su producto está dada por D(p)= 53- p.
Determine el excedente del consumidor si la empresa actúa bajo las reglas de
competencia perfecta y si actúa sin restricciones. Indique la pérdida de
eficiencia de la economía de una situación a otra.
3. Un monopolista con una función de costos totales igual a abastece a
un mercado cuya función inversa de demanda es p=300-4x.
a. Obtenga el equilibrio del monopolista y el excedente social de esta
economía
b. Calcule la pérdida de eficiencia que sufre esta economía respecto a una
situación de competencia perfecta
c. Compare ambas situaciones con la que obtendría si una regulación
obligara al monopolista a comportarse como un monopolio social
Si el gobierno otorga una licencia al monopolista, su función de costes asciende a
, ¿Cuánto será lo máximo que la firma monopolista estará dispuesta a
pagar por esta licencia?
4. Un monopolista con una función de producción igual a abastece
un mercado cuya función inversa de demanda es p(x)=80-x. Este monopolista se
comporta como precio aceptante en el mercado de factores, siendo el precio del
trabajo y del capital, respectivamente, w=4 y r=1. Si en el corto plazo, el factor
capital está fijo en K=4:
GUIA PRACTICA EN REVISIONa. Determine la demanda de trabajo que maximiza el beneficio del
monopolista
b. Calcule la función de costos a corto plazo de la empresa y la demanda
condicionada del factor trabajo en el equilibrio ¿Coincide dicha demanda
con la obtenida en el apartado anterior?
5. Sea una empresa cuya función de Cme es 5x y que enfrenta un mercado cuya
función de demanda es p=50 -2x. El producto está sujeto a un impuesto a las
ventas equivalente a t%. ¿Cuál será el efecto de un incremento en la tasa de
impuesto si la empresa se comporta como maximizadora de beneficios?
6. Se autoriza a una empresa a ser la única abastecedora de electricidad en una
zona determinada. Dicha empresa no puede acumular electricidad, por lo que
debe organizar su producción de modo de satisfacer instantáneamente la
demanda. La demanda depende del momento del día, durante la mañana (4
horas) la demanda en megawatts es
, durante el resto del día la demanda en megawatts es
.
La empresa tiene dos clases de costos: costos de equipos que equivalen a $300
por día por megawatt de capacidad instalada (incluyendo interés sobre el capital
invertido) y costos de funcionamiento de $20 por megawatt/hora.
Indicar que capacidad instalará la empresa y qué precios fijará si:
a. El gobierno impone a la empresa la regla de actuar como si rigiesen
condiciones de competencia perfecta
b. La empresa maximiza sus beneficios sin restricciones legales
7. Un monopolio maximizador de beneficio opera con costos totales lineales dados
por: CT(x)= 50+20x.
La función de demanda de mercado es p=100-4x.
La cantidad máxima que puede producir con las instalaciones actuales es de 30
unidades. Indicar:
GUIA PRACTICA EN REVISIONa. El precio, la cantidad y el beneficio resultantes de la maximización libre
del beneficio
b. El precio que cobrará si el monopolio es regulado debiendo vender la
mayor cantidad posible de producto que le permita cubrir los costos
c. El efecto del establecimiento de un precio máximo de $25 sobre la
cantidad y el beneficio resultantes de la maximización del beneficio
8. Un monopolista natural tiene costos totales descriptos por la siguiente ecuación:
C(Q)= 400+ 25Q y enfrenta una demanda de mercado Q= 200- 2P. Obtenga las
ganancias del monopolista, la producción de equilibrio y el excedente del
consumidor cuando:
a. El precio es igual al costo marginal.
b. El precio es igual al costo medio.
c. El monopolista fija una tarifa de dos tramos, una parte igual al costo
marginal y otra parte es un cargo fijo por consumidor. Suponga que la
demanda proviene de 10 consumidores idénticos. ¿Qué cargo fijo deberá
aplicar un monopolista regulado para no tener pérdidas? Y un monopolista
maximizador de beneficios?
9. Un monopolista natural está sujeto a un esquema de regulación por tasa de
ganancia. Sea Q=f(K;L) la cantidad de producto producida con K unidades de
capital y L unidades de trabajo. Suponga que la producción requiere cantidades
positivas de los dos factores, de manera que Q= 0 si K= 0 o si L=0. Sea p(Q) la
función de demanda inversa y R(Q) = p(Q)*Q el ingreso obtenido de la venta de Q
unidades de producto. Sea r el costo de oportunidad del capital. Suponga que el
regulador decide que la tasa de retorno sobre el capital no puede ser mayor que
S.
a. Formule el problema del monopolista y derive las condiciones de primer
orden.
b. Muestre que S debe ser mayor que r para que la firma obtenga beneficios
positivos (Ayuda: trabaje directamente con la función de beneficios).
c. Usando las condiciones de primer orden, muestre que en este contexto
tiene lugar el efecto Averch-Johnson (Ayuda: considere que si λ es el
multiplicador asociado a la restricción sobre la tasa de ganancia en el
problema planteado en a), resulta 0CONSUMO BAJO CONDICIONES DE
INCERTIDUMBRE
1. Don Pedro es propietario de un departamento cuyo valor es de $250.000 y está
evaluando la posibilidad de contratar un seguro contra destrucción parcial del
inmueble (por incendio, etc.).
El costo de la prima del seguro es de $9.900 y en caso de ocurrencia del siniestro
le paga un monto de $122.625.
Si la probabilidad de ocurrencia del incidente es de 0,08 y la pérdida que genera
es de $127.500:
a. ¿Decidirá Don Pedro asegurar el dpto si su función de utilidad es: U = W
½ ? ¿Por qué?
b. Calcular la ganancia esperada de la compañía de seguros y compararla con
el valor esperado. Explicar la relación.
c. Hallar la probabilidad de ocurrencia del siniestro que deja indiferente a
Don Pedro entre asegurar o no la casa.
Solución
a. Para evaluar la decisión de asegurar el dpto. Don Pedro debe comparar la
utilidad que obtiene con la opción cierta con la lograda con la opción incierta.
En este caso, contratar el seguro del dpto representa la opción cierta y
arriesgarse a que el siniestro no ocurra, la incierta.
U sin seguro (incierta) = W½ = (250.000 – 9.900)½ = 490
UE con seguro (cierta) = W½ = 0,08 (122.500)½ + 0.92 (250.000)½ = 0.08 * 350 +
500 * 0.92 = 488
Luego, la utilidad esperada de contratar el seguro (cierta) es mayor que la
proporcionada por la no contratación (incierta), por lo que elegirá contratarlo.
b. Asumimos que la compañía aseguradora posee una función de beneficio como
la siguiente:
GUIA PRACTICA EN REVISIONП = prima – x* c = 9.900 – 0,08 * 122.625 = 90
Siendo el beneficio П, que está compuesto por la prima (ingreso), menos la
probabilidad (x) de que ocurra el siniestro multiplicado por el monto asegurado
(c = costo). Lo cual determinaría una ganancia esperada de $90.
c. Para hallar la probabilidad del siniestro (x) que deja indiferente al Don Pedro
entre asegurar o no el dpto se debe plantear una ecuación que iguale la Utilidad
con seguro a la Utilidad sin seguro y que tenga como variable la nueva
probabilidad de ocurrencia del siniestro:
U con Seguro = 490 = x * 350 + (1 – x) 500 = UE sin seguro
350x + 500 – 500x = 490
-150x = -10
x = 0,066…
Si el siniestro tuviera una probabilidad de ocurrencia del 0,066 Don Pedro estaría
indiferente entre contratar o no el seguro.
2. Un chacarero puede plantar soja o maíz. A su vez, las ganancias que obtendría
dependerían de un “evento de la naturaleza”, en este caso el clima. Por lo tanto
sus ganancias son:
Lluvias
Sequía
Normales
Soja 46.000 15.000
Trigo 31.000 24.000
La probabilidad de lluvia es del 50% y la probabilidad de sequía de un 50%. La
función de utilidad del chacarero es: U= ln(W) + 100 donde W = ingreso neto.
a. Si debe elegir entre soja o trigo, ¿Cuál elegirá sembrar?
b. Si puede optar entre distintas proporciones de ambos cultivos (ingreso
proporcional al área sembrada), ¿Cuánto sembrará de cada uno?
GUIA PRACTICA EN REVISIONc. Si existe un seguro para los que sólo cultivan soja que paga $4500 si llueve
y cuesta $2.000, ¿Cambiará su decisión?
Solución
a. Calculamos la utilidad esperada de cada alternativa. Donde UEs es la utilidad
esperada de cultivar soja y UEm es la utilidad esperada de cultivar trigo.
UEs = 0,5 [ U(46.000) + U(15.000)]
UEs = 0,5 [ln 46.000 + 100 + ln 15.000 + 100]
UEs = 110,1761
UEt = 0,5 [ U(31.000) + U(24.000)]
UEt = 0,5 [ln 31.000 + 100 + ln 24.000 + 100]
UEt = 110,2138
Siendo la utilidad esperada de cultivar trigo más alta que la de cultivar soja,
elegirá cultivar la primer semilla.
b. En este caso el individuo debe elegir la proporción X de soja y (1-X) de trigo
que maximiza su utilidad esperada considerando los posibles estados de la
naturaleza.
Si llueve normalmente las ganancias serán: 46.000* X + 31.000* (1-X) = 15.000 X +
31.000
Si hay sequía las ganancias serán: 15.000* X + 24.000* (1-X) = -9.000 X + 24.000
Considerando estas posibles ganancias y la probabilidad de ocurrencia de cada
caso, maximiza la Utilidad esperada a partir de la proporción de siembre X, que
es la incógnita.
Max UEsm = 0,5 [U (15.000 X + 31.000) + U(-9.000 X + 24.000)]
= 0,5 [ln(15.000 X + 31.000)+ 100 + ln(-9.000 X + 24.000) + 100]
GUIA PRACTICA EN REVISION∂UEsm/∂X = 0,5 [15.000 / (15.000 X + 31.000) – 9.000 / (-9.000 X + 24.000)] = 0 Despejando la igualdad anterior para hallar X: 15.000 / (15.000 X + 31.000) = 9.000 / (-9.000 X + 24.000) 9.000 = 30.000 X X= 3/10 y, por lo tanto, (1-X) = 7/10 De forma tal que el chacarero destinará 30% de su tierra a la soja y el 70% al maíz. Reemplazando en la función de utilidad esperada: UEst = 0.5[ln(15.000 * 0.3+ 31.000)+ 100 + ln(-9.000 * 0.3 + 24.000) + 100] UEst = 0.5[ln(35.500)+ 100 + ln(21.300) + 100] UEst = 110,2219 c. Si suponemos que el chacarero cultiva sólo soja y contrata el seguro: Si llueve sus ganancias serán: 46.000 – 2000 = 44.000 En caso de sequía sus ganancias serán: 15.000 + 4.500 – 2000 = 17.500 La utilidad esperada de esta decisión es: UE = 0,5 [U(44.000) + U(17.500)] UE = 0,5 [ln(44.000)+ 100 + ln(17.500) + 100] UE = 110,2310 Dado que es mayor a la utilidad esperada de diversificar la producción calculada en el inciso anterior, la decisión óptima para el individuo será cultivar solamente soja contratando el seguro, y no diversificar. 3. A continuación, y antes de seguir leyendo hasta el final este ejercicio, juegue el siguiente juego normalmente, sin pensar que haya ninguna trampa, de esta forma podrá comprobar que tal vez Ud. sea una persona normal que como cualquier otra cae en la Paradoja de Allais: GUIA PRACTICA EN REVISION
a. Suponga que a usted le permiten elegir entre las siguientes situaciones,
conocidas como loterías A y B. Hágalo y anótelo en un papelito:
Loteria A) $1,000,000 con probabilidad 1
Lotería B) $5,000,000 con probabilidad 10%; $1,000,000 con probabilidad
89%; $0 con probabilidad 1%
b. Ahora suponga que viene otra persona y le dice elija entre las siguientes
loterías C y D. Hágalo y anótelo en un papelito:
Lotería C) $5,000,000 con probabilidad 10%; $0 con probabilidad 90%
Lotería D) $1,000,000 con probabilidad 11%; $0 con probabilidad 89%
c. ¿Cuáles son sus rdos? Comúnmente se observa que la gente prefiere “A” a
“B”, y que prefieren “C” a “D”. Es su caso?
d. Muestre que la elecciones del punto c son inconsistentes con la
maximización de la utilidad esperada.
4. Federico es averso al riesgo y su función de utilidad es U= 100W 0,9, donde W es
su sueldo en miles de pesos.
La empresa que acaba de emplearlo le paga $2.000 mensuales, pero le descuenta
$100 por errores cometidos en el trabajo.
Federico tiene un 10% de probabilidad mensual de cometer un error.
Afortunadamente puede acceder a una aseguradora de empleados distraídos:
a. Calcule cuanto estaría dispuesto a pagar por una póliza de seguro que le
daría $100 en caso de que cometa un error.
b. La utilidad de Federico se ve aumentada por el amor a la empresa en la
que trabaja. (Puede extraer indefinidamente café y golosinas de una
maquina) Si hoy lo despidieran y tuviera que trabajar independientemente
su utilidad se reduciría a: U= W^0,9
c. Federico fue reasignado a una posición en donde puede cometer errores
que le costarían mayores deducciones del sueldo. Calcule la perdida de
riqueza que debería sufrir trabajando en la empresa para que estuviese
GUIA PRACTICA EN REVISIONindiferente a que lo despidan. (aclaración: si lo despiden le pagan el
sueldo como indemnización igual)
d. Ahora suponga que hay una probabilidad del 1% de que Federico sea
despedido. Federico puede conseguir una póliza de seguro que cubra casos
de despidos. ¿Cuál sería el "precio justo" de una póliza de seguro que le
pague el monto de riqueza equivalente (calculado en C) en el caso de que
lo despidan? ¿Pagará Federico esta póliza? Provea de una exhaustiva
explicación de su respuesta. (Ayuda: compare la situación en la que
compra y en la que no compra la póliza)
5. La función de utilidad para un individuo X está definida de la siguiente manera:
1/2
U= (y/10.000) para 0≤y≤50.000
U= 1/4*(y2/100.000)3 *(y/10.000) para y>50.000
a. Analizar si el individuo es averso o no al riesgo
b. Si el individuo dispone de $50.000 ¿contrataría un seguro pagando $600 de
prima si existe una probabilidad de 0,03 de que ocurra un siniestro, en
cuyo caso pasaría a tener $8.000?
c. Si dispone de $40.000 y puede comprar un billete de lotería con
probabilidad 0,01 de tener $70.000, y el precio del billete es de $2.500
¿Qué hace?
d. Si dispone de $80.000 y puede comprar un billete de lotería con
probabilidad 0,01 de tener $70.000, y el precio del billete es de $2.500
¿Qué hace?
GUIA PRACTICA EN REVISIONSELECCIÓN DE CARTERA
1. Sean dos activos A y B cuyos rendimientos se muestran en la siguiente Tabla:
Estado Probabilidad Retorno A Retorno B
I 0,25 10 11
II 0,25 12 6
III 0,25 18 10
IV 0,25 20 17
a. ¿Cuál es el rendimiento medio de cada uno de los activos?
b. ¿Cuál es su Varianza? ¿Y su covarianza?
c. ¿Cuál es su coeficiente de correlación?
Solución
a. El rendimiento medio de cada activo se calcula multiplicando la rentabilidad
del activo en el estado i por la probabilidad de ocurrencia de dicho estado.
µA = RI*pI+ RII*pII + RIII*pIII+ RIV*pIV
Ri = retorno del activo A en el estado i
pi = probabilidad de ocurrencia de ri
Reemplazando los datos para el activo A y el activo B respectivamente:
µa = 10*0,25 + 12*0,25 + 18*0,25 + 20*0,25 = 15
µb = 11*0,25 + 6*0,25 + 10*0,25 + 17*0,25 = 11
b. La varianza de cada activo representa el riesgo de cada inversión. Su fórmula
de cálculo para el activo A es:
σ2A= (RI - µa)2*pI + (RII - µa)2*pII + (RIII - µa)2*pIII + (RIV - µa)2*pIV
GUIA PRACTICA EN REVISIONσ2A =(10-15)2*0,25 + (12-15)2*0,25 + (18-15)2* 0,25 + (20-15)2*0,25 = 17 σ2B= (11-11)2* 0,25 + (6-11)2*0,25 + (10-11)2*0,25 + (17-11)2*0,25 = 15,5 La Covarianza mide la relación entre dos variables y su fórmula es: σAB= E[(Ri - µa) (Rs - µb)] = ∑∑(Ri - µa) (Rs - µb)* pis siendo: Ri el retorno del activo A en el estado i Rs el retorno del activo B en el estado s Debido a que en este ejercicio los estados de la naturaleza son excluyentes y sus probabilidades de ocurrencia son iguales, la fórmula se limita a: σAB = 0,25*[(10-15)*(11-11) + (12-15)*(6-11) + (18-15)*(10-11) + (20-15)*(17-11)] = 10,5 c. El factor de correlación (ρ) indica la relación que existe entre ambas opciones de inversión. Si ρ = 1, las opciones están directamente relacionadas y si ρ = -1, están inversamente relacionadas. Su fórmula es ρ=σAB/( σA* σB), reemplazando obtenemos: ρ = 10,5 /(√17*√15,5)= 0,64 Lo ideal es que el factor de correlación sea negativo, ya que esto implica que el movimiento de una opción de inversión es compensado por el movimiento en el sentido opuesto de la otra. 2. En un mercado existen dos opciones de inversión: una es en “La Grande”, una compañía cuyas acciones poseen una rentabilidad esperada de $15 con un riesgo (desvío estándar) de 18,6. La otra opción de inversión es en la compañía “La Pequeña” cuyas acciones poseen una rentabilidad esperada de $21 y un riesgo de 28. El coeficiente de correlación entre ambas rentabilidad es de 0,2. GUIA PRACTICA EN REVISION
a. Si un inversor averso al riesgo decide invertir 40% en “La Pequeña” y 60%
en “La Grande”, ¿Cuál será el retorno esperado de dicho portfolio? ¿Y su
desvío estándar?
b. ¿Cuánto deberá invertir en cada activo para alcanzar el menor riesgo
posible? ¿A cuánto ascenderá dicho riesgo? ¿Y cuál será la rentabilidad
esperada de dicho portfolio?
c. Graficar la Frontera de Carteras Eficientes.
Solución
Ordenamos los datos del enunciado:
La Grande (A) La Pequeña (B)
µ 15 21
σ 18.6 28
Siendo ρ=0,2= CovAB /σAσB, despejamos la CovAB=104,16
a. La cartera del inversor está formada por un 60% (xA) de activos de La Grande y
40% (xB) de activos de La Pequeña. La rentabilidad esperada de su portfolio
estará dada por:
µC =E(R)= xA*µA – xB*µB= 0,6*15 + 0,4*21= 17,4
El desvío estándar, por otro lado, está dado por:
σC= √(xA2*σA2 + xB2*σB2 + 2*xA*xB*CovAB) =√(0,62*18,62+0,42*282+0,6*0,4*2*104,16)=
17,32
b. Para minimizar riesgo dada una rentabilidad esperada, necesitamos que la
rentabilidad y la varianza dependan de una misma y única variable. Sabiendo que
xA+ xB=1 tenemos que:
La rentabilidad de la cartera es µc= xA*µA – xB*µB =15xA + 21(1-xA) = 21-6 xA
La varianza de la cartera es σC2 = xA2σA2 + xB2σB2+ 2xAxB* CovAB
σC2 =345,96xA2+ (1-xA) 2784+2xA(1-xA)104,16
σc2=921,64xA2-1359,68xA+784
GUIA PRACTICA EN REVISIONPlanteando el Lagrangeano que minimiza σc2 sujeto a µc: L(xA,λ)=921,64 xA2 -1359,68 xA+784 + λ(21- 6xA- µc) Las condiciones de primer orden para la minimización son: ∂L/∂xA =1843,28 xA -1359,68- 6 λ =0 ∂L/ ∂λ =21- 6 xA - µc =0 (2) De la ecuación (2) obtenemos la proporción que debe invertir el individuo en el activo A para cada nivel de rentabilidad esperada xA= (21- µc)/6 con el fin de minimizar el riesgo. La Frontera de Carteras Eficientes es aquel subconjunto de portfolios factibles que otorgan el máximo retorno para un riesgo dado o, lo que es lo mismo, el mínimo riesgo para una rentabilidad dada. Esta Frontera no indica la cartera que seleccionará el inversor, sólo las opciones factibles que este posee. La selección de una cartera dependerá de la Frontera pero también de las preferencias que cada inversor tenga respecto al riesgo y la rentabilidad. Significado Económico de λ Según el teorema de la envolvente: δL/δµc =δσC2/δµc O sea, que cada posible incremento de µc estará asociado a un riesgo mayor en el mercado. Es la pendiente de la frontera, la tasa a la cual se acepta un mayor riesgo a cambio de cierta rentabilidad esperada (luego de saber el signo de lambda). c. El siguiente gráfico, en el cual el eje vertical representa la rentabilidad esperada y el eje horizontal el riesgo, muestra la Frontera de Carteras Factibles, las combinaciones de riesgo- retorno esperado que es posible alcanzar mediante diversas elecciones para el portfolio. La línea roja (parte superior) es el subconjunto de Carteras Eficientes1, donde un mayor retorno está asociado a un mayor riesgo. 1 En realidad la frontera de carteras eficientes comienza en el punto de inflexión de la Frontera de Carteras Factibles. GUIA PRACTICA EN REVISION
Frontera de Carteras Factibles
22
0 200 400 600 800 1000
21
20
19
18
17
16
15
14
Para seleccionar la cartera óptima del conjunto de carteras eficientes, se debe
conocer la forma funcional de la utilidad del inversor, de donde surge también su
actitud frente al riesgo, y hallar el punto de tangencia entre la FCE y la curva de
indiferencia de mayor nivel de utilidad.
3. Un pequeño inversor tiene una suma de dinero que dedicará a dos alternativas de
inversión totalmente independientes uno del otro en el mercado:
ACTIVO 1: µ1 = 10 σ21 = 3
ACTIVO 2: µ2 = 15 σ22 = 5
a. Obtener 3 puntos de la frontera de carteras eficientes suponiendo valores
de riesgo de 3,5; 2 y 0,5.
b. ¿Cuál es el menor riesgo posible de obtener? ¿Y el mayor rendimiento
esperado?
c. Graficar e indicar las preferencias del inversor averso al riesgo.
d. Explicar el motivo por el cual se buscan carteras diversificadas y qué es el
riesgo de mercado.
e. ¿Qué tipo de correlación conviene? ¿Por qué?
GUIA PRACTICA EN REVISIONSolución Siendo X la participación del activo 1 en la cartera del inversor, la rentabilidad y el riesgo están determinados por: µc=10x + (1-x).15 = 15 - 5x σ2c=3x2 + 5(1-x)2 = 8x2-10x + 5 Dado que las inversiones son independientes el coeficiente de correlación y, por lo tanto, también la covarianza son iguales a cero. a. Para hallar los puntos sugeridos de la Frontera de Carteras Eficientes (FCE) maximizamos la rentabilidad sujeta a los niveles de riesgo establecidos. Lo haremos de forma genérica para obtener una relación que luego nos permita encontrar todos los puntos que buscamos: L(x, λ)= 15 - 5x + λ (8x2- 10x + 5 - σ2c) ∂L/∂x = -5 + λ(16x -10) = 0 (1) ∂L/∂λ = 8x2 - 10x +5 -σ2c = 0 (2) A partir de la ecuación (2) obtenemos que: [10 + (100-32(5- σ2c)1/2]/16 [10 – (100-32(5-σ2c )1/2]/16 Cuando σ2c = 3,5: x1 = 1,075 y µc= 9,625 O puede ser x2= 0,1743 y µc= 14,1285 Entonces, la rentabilidad esperada de un portolio con riesgo de 3,5 se maximiza cuando se invierte 17,43% del dinero disponible en el activo 1 y el resto, 82,57%, en el activo 2, obteniendo una rentabilidad esperada de la cartera de $14,1285 Cuando σ2c = 2: x1 = 0,75 y µc= 11,25 O puede ser x2= 0,5 y µc= 12,5 Entonces, la rentabilidad esperada de un portolio con varianzao 2 se maximiza cuando se invierte el 50% del dinero disponible en el activo 1 y el resto en el activo 2, obteniendo una rentabilidad esperada de la cartera de $12,5. No es factible componer una cartera con un riesgo igual a 0,5. GUIA PRACTICA EN REVISION
b. Para obtener el mínimo riesgo posible minimizamos la función de riesgo: Min σ2c= 8x2 – 10x + 15 ∂σ2c/∂x = 16x – 10 = 0 Despejando la ecuación anterior obtenemos que x = 5/8 y, por lo tanto, el riesgo mínimo es igual a σ2c min= 1,875 La máxima rentabilidad esperada, por otro lado, sería la maximización de µc= 15 – 5x ∂ µc/∂x = 15 esto significa que x=0 c) El inversor averso al riesgo prefiere obtener el valor esperado de la lotería, es decir, la utilidad de la lotería U(px+(1-p)y) debe ser menor que la utilidad del valor esperado de la lotería px+(1-p)y. Este tipo de conducta es la denominada de aversión al riesgo. Intuitivamente cuanto más cóncava sea la función de utilidad esperada, más contrario a correr riesgos será el consumidor. Analíticamente, puede la aversión de un individuo puede medirse mediante los índices de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo, medida global del riesgo y aversión relativa al riesgo. Para conocer la manera de calcular estos indicadores y su aplicabilidad consultar Varian (1999). d. Una cartera diversificada permite disminuir los riesgos del mercado, especialmente cuando se logra una combinación de activos con variabilidad de sus rendimientos indirectamente correlacionadas, esto quiere decir que mientras la rentabilidad de algunos activos están subiendo la rentabilidad de los otros podrían estar bajando. El riesgo de mercado podrá mitigarse o equilibrarse con una diversificación conveniente, pero nunca podrá eliminarse, porque existe una cuota de incertidumbre involucrada en el riesgo. El riesgo inherente a las características propias de los activos si podrá reducirse considerablemente, e incluso eliminarse, con una diversificación adecuada. e. Las ventajas de la diversificación son mayores cuanto menor es la correlación entre la rentabilidad de los activos incluidos en la cartera, por lo que será conveniente que los activos estén negativamente correlacionados. GUIA PRACTICA EN REVISION
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