Errores matemáticos persistentes al ingresar en la formación inicial de profesores de matemática: El caso de la linealidad - revistas. una. ac. cr
←
→
Transcripción del contenido de la página
Si su navegador no muestra la página correctamente, lea el contenido de la página a continuación
Uniciencia Vol. 36(1), pp. 1-17, January-December, 2022 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia E-ISSN: 2215-3470
revistauniciencia@una.cr CC: BY-NC-ND
Errores matemáticos persistentes al ingresar
en la formación inicial de profesores de
matemática: El caso de la linealidad
Persistent mathematical errors when entering initial teacher math training:
the linearity case
Erros matemáticos persistentes ao ingressar na formação inicial de
professores de matemática: O caso da linearidade
Maitere Aguerrea1, María Eugenia Solís1, Jaime Huincahue2
Received: Dec/17/2020 • Accepted: Jun/16/2021 • Published: Jan/31/2022
Resumen
El objetivo de esta investigación fue identificar errores persistentes de conceptos y procedimientos
matemáticos, en particular, la inadecuada aplicación del concepto de linealidad, e implementar situaciones
de aprendizaje para abordarlos, para lo cual se diseñan tareas de aprendizaje en contexto de modelización y
uso de software matemático. El estudio se aplicó a 42 estudiantes de pedagogía en matemática, durante el
periodo 2019-2020. La investigación se realizó desde un enfoque cualitativo y longitudinal. La recolección
de datos inició con la aplicación de un test, al ingresar a la carrera, y un segundo test, luego de cursar
un semestre de formación. Posteriormente, se implementaron talleres colaborativos para confrontar los
errores de linealidad, y se finalizó con la aplicación de un postest. Al ingresar en la formación inicial de
profesor de matemática, el estudiantado presentó un alto porcentaje de errores; aplicó linealidad en raíces,
potencias, logaritmos y trigonometría. Luego de un semestre en la carrera, estos persistieron. Una vez
realizados los talleres, el total de participantes no evidenció errores de linealización en raíces, potencias y
trigonometría. Solo algunos estudiantes continuaron aplicando linealidad a expresiones con logaritmos.
Se concluye que, al ingresar a estudiar pedagogía en matemática, el estudiantado comete errores en
conceptos y procedimientos que debieron ser superados en la enseñanza escolar y que muchos de estos
son altamente persistentes, pese a haber cursado asignaturas para la formación de profesor de matemática.
También, que su abordaje con situaciones de aprendizaje que articulen modelización con uso de software
facilitaría su superación.
Palabras clave: Persistencia de errores matemáticos; errores de linealidad; educación matemática;
formación del profesor de matemática
Maitere Aguerrea, maguerrea@ucm.cl, https://orcid.org/0000-0002-7513-982X
María Eugenia Solís, msolis@ucm.cl, https://orcid.org/0000-0002-2454-9351
Jaime Huincahue, jhuincahue@ucm.cl, https://orcid.org/0000-0003-0749-0551
1 Departamento de Matemática, Física y Estadística, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Católica del Maule, Talca, Chile.
2 Centro de Investigación de Estudios Avanzados del Maule, Universidad Católica del Maule, Talca, Chile.
1http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
Abstract
The objective of this research was to identify persistent errors of mathematical concepts and procedures,
in particular, the incorrect application of the linearity concept, as well as implement learning situations to
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
address errors of linearity by designing learning tasks in the context of modeling and the use of mathematical
software. The study was applied to 42 students in the mathematics education program, during the 2019-
2020 period. Research was conducted under a qualitative and longitudinal approach. Data collection
began with a test upon entering the program and a second test after completing a semester of classes.
Later on, collaborative workshops were implemented to address linearity errors, and a post-test was applied
at the end. Upon entering the initial teacher math training, students showed a high percentage of errors,
mistakenly applying linearity to roots, powers, logarithms, and trigonometry. After a semester of classes,
these errors persisted. After the workshops, none of the participants made linearization errors in roots,
powers and trigonometry, and only some continued applying linearity to logarithms. It was concluded that
at the beginning of the program, students were still making errors in concepts and procedures that should
have been overcome in school, and many of these errors are highly persistent. Using software in learning
situations related to modeling would help students remedy those errors.
Keywords: persistence in math errors; linearity errors; mathematics education; math teacher education
Resumo
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
Esta pesquisa teve como objetivo identificar erros persistentes de conceitos e procedimentos matemáticos,
particularmente, a inadequada aplicação do conceito de linearidade, e implementar situações de
aprendizagem para abordá-los, para o qual foram desenhadas tarefas de aprendizagem em contexto de
modelização e uso de software matemático. O estudo foi aplicado em 42 estudantes de pedagogia em
matemática, durante o período 2019-2020. A pesquisa foi realizada a partir de um enfoque qualitativo
e longitudinal. A coleta de dados iniciou com a aplicação de um teste, ao ingressar na universidade, e
um segundo teste, depois de cursar um semestre de formação. Posteriormente, foram implementadas
oficinas colaborativas para confrontar os erros de linearidade, e finalizou com a aplicação de um pós-
revistauniciencia@una.cr
teste. Ao ingressar na formação inicial de professor de matemática, os estudantes apresentaram uma alta
porcentagem de erros; aplicaram linearidade em raízes, potências, logaritmos e trigonometria. Após um
semestre na universidade, estes persistiram. Uma vez realizadas as oficinas, o total de participantes não
evidenciou erros de linearização em raízes, potencias e trigonometria. Só alguns estudantes continuaram
aplicando linearidade a expressões com logaritmos. Conclui-se que, ao ingressar na universidade para
estudar pedagogia em matemática, os estudantes cometem erros em conceitos e procedimentos que
deveriam ter sido superados na escola e que muitos destes são altamente persistentes, embora tenham
cursado matérias para a formação de professor de matemática. Também, que sua abordagem com situações
de aprendizagem que articulem modelização com uso de software facilitaria sua superação.
Palavras-chave: Persistência de erros matemáticos; erros de linearidade; educação matemática; formação
do professor de matemática
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 2http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
Introducción En estos casos, si estas dificultades no son
abordadas en forma temprana y eficazmen-
Durante los últimos años, muchas in- te, podrían obstaculizar el desarrollo de las
vestigaciones han estudiado las dificultades competencias matemáticas y, por ende, la
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
y errores en conceptos y procedimientos ma- progresión de la formación inicial del pro-
temáticos en estudiantes, con el objetivo de fesor de matemática. Asimismo, respecto al
diseñar y construir modelos que permitan la conocimiento matemático, didáctico y pe-
identificación y comprensión de conceptos dagógico de profesores noveles de matemá-
mal aprendidos, además de su superación tica en Chile, los estudios revelan que estos
(Ruano, 2008; Rico 1998; Socas, 2007). presentan dificultad en el reconocimiento
Estos estudios coinciden en que una carac- de conceptos y procedimientos errados, así
terística causal del error es la validación de como también en la identificación y análisis
conceptos y procedimientos matemáticos de argumentos incorrectos, lo que significa
deficientemente desarrollados, que llevan al una debilidad del contenido pedagógico y
estudiante a hacer interpretaciones y argu- didáctico para la interpretación del pensa-
mentaciones incorrectas. El error también miento del alumnado, y un obstáculo para
es visto como una oportunidad de aprendi- los procesos de retroalimentación en su pra-
zaje, por lo que su estudio, desde cualquier xis (Mineduc, 2018; TEDS-M, 2013).
perspectiva, será una contribución a la ense- En esta investigación, el foco princi-
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
ñanza y aprendizaje de la matemática. pal son los errores que cometen estudiantes
Estudios enfocados en educación su- al ingresar en la formación de profesores
perior han identificado errores y dificulta- de matemática. Un tipo de error recurren-
des en el estudiantado al ingresar a la uni- te y persistente en sus producciones es la
versidad, y han analizado su impacto en la aplicación de propiedades de linealidad en
calidad de los aprendizajes matemáticos objetos matemáticos que no la tienen, lo
durante los primeros años de su forma- que también conlleva a cometer otros erro-
ción (Bolaños-Baquero, 2021; Díaz et al., res. Por ejemplo, la linealidad incorrec-
2015; Gamboa et al., 2019; Mena-Lorca et tamente aplicada en potencias, radicales,
revistauniciencia@una.cr
al., 2015; Socas et al., 2014). Los errores logaritmos y en trigonometría, presentes
-y su persistencia- surgen por la creciente en la resolución de diversos problemas del
exigencia cognitiva que tiene el estudian- estudiantado, genera una barrera en otros
tado en este nivel, reflejada en una mayor conocimientos cuando son utilizados como
demanda de habilidades como la reflexión, herramientas. Escudero y Domínguez
el razonamiento y la aplicación de destrezas (2014) detectaron errores en estudiantes de
matemáticas, habilidades que debieron ser bachillerato, que aplican erradamente pro-
desarrolladas progresivamente en su escola- piedades de linealidad como los siguien-
ridad, y que repercuten tanto al ingresar a la
tes: , ,
universidad como para mantenerse en ella.
log(2 – y) = log(2) – log (y), sen(90˚ – 20˚)
En Chile, el estudiantado ingresa a ca-
= sen(90˚) – sen(20˚). Según los autores,
rreras de pedagogía en matemática con pun-
estos errores podrían ser causados por in-
tajes por debajo de los estándares promedio
ferencias, asociaciones incorrectas o por la
en las pruebas nacionales y con una prepa-
recuperación de un esquema previo. Estos
ración insuficiente (Pino-Fan et al., 2018).
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 3http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
tipos de errores, que se mantienen persis- de visualización, razonamiento u organiza-
tentes al resolver problemas que involucran ción de la información. En este camino, las
los objetos matemáticos mencionados, son tareas de modelización matemática, por lo
producto de la tendencia del estudiantado general, consideran componentes visuales
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
a realizar generalizaciones de propiedades y analíticos, claves para la comprensión, la
previas, aprendidas en otros contextos y formulación de conjeturas, la generaliza-
que se aplican en forma no consciente en ción y la justificación (Godino et al., 2012;
situaciones que necesitan resolver. Torregrosa et al., 2010).
Cervantes y Martínez (2007, 2013) Por su parte, las herramientas tecnoló-
estudiaron el error (x ± y)n = xn ± yn, come- gicas han adquirido, en los últimos tiempos,
tido por estudiantes de educación superior, un rol importante para propiciar ambientes
mediante la confrontación de esquemas y de descubrimiento y reflexión, facilitando la
procedimientos algebraicos, utilizando De- visualización y la comprensión de los obje-
rive 5 como software dinámico mediador. tos matemáticos (Bejarano y Ortiz, 2018).
Sus resultados muestran que el uso del sof- En síntesis, es evidente la presencia
tware ayudó al estudiantado a generar desa- de errores en los aprendizajes matemáticos
rrollos válidos de estas expresiones de for- de los escolares y su persistencia al entrar
ma inductiva. a la universidad. En la formación del pro-
Socas et al. (2016) abordaron las difi- fesor de matemática, los errores terminan
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
cultades y errores de estudiantes de educa- convirtiéndose en verdaderos obstáculos
ción secundaria, desde el análisis didáctico para el desarrollo del conocimiento mate-
de tareas de modelización, y concluyeron mático. Por ello, es necesario realizar accio-
que el origen más frecuente de los erro- nes explícitas en su formación, atendiendo
res es la ausencia de sentido, manifestado tempranamente las dificultades propias del
en aspectos no resueltos de la aritmética, alumnado al ingresar. En este camino, se
la geometría y el lenguaje algebraico. Al formularon las siguientes preguntas de in-
respecto, la modelización supone distintos vestigación: entre los errores matemáticos
procesos de construcción, ajustes o uso de que evidencian estudiantes que ingresan
revistauniciencia@una.cr
modelos, que permiten distintas representa- a estudiar pedagogía en matemática, ¿se
ciones de las ideas matemáticas, los cuales manifiesta una inadecuada aplicación del
se distinguen de una enseñanza reducida a concepto de linealidad?; ¿tales errores per-
manipulación de expresiones simbólicas o sisten a pesar de cursar un semestre de for-
de la solución de problemas sin contextos mación?; y ¿cómo podemos abordar estos
significativos para el alumnado. errores desde una propuesta de modeliza-
Para ir más allá de los procedimien- ción utilizando la tecnología?
tos técnicos de cálculo, y dar sentido a los A partir de esta problemática nos plan-
objetos matemáticos, Duval (2006) pro- teamos los siguientes objetivos: 1) Identifi-
pone realizar cambios en la forma en que car errores de conceptos y procedimientos
las tareas y los problemas se seleccionan matemáticos de estudiantes, en particular,
para el aprendizaje, considerando las va- si la inadecuada aplicación del concepto
riables cognitivas relativas a diversas ma- de linealidad está presente en estos proce-
neras de representación, de tal forma que dimientos, al inicio del primer semestre de
se contribuya al desarrollo de capacidades una carrera de pedagogía en matemática.
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 4http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
2) Identificar la persistencia de los errores Existen múltiples aproximaciones
transcurrido el primer semestre de forma- teóricas que problematizan el error. A par-
ción. 3) Diseñar, validar e implementar una tir de corrientes constructivistas, el error es
propuesta didáctica de enseñanza para la su- el resultado de la aplicación de un conoci-
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
peración de errores persistentes, transcurri- miento en un contexto inadecuado, pudien-
do el primer año de formación. do ser considerado como un indicador re-
levante del proceso de aprendizaje, ya que
Marco teórico su presencia impide otros aprendizajes. En
este caso, "el docente puede inducir a los
Errores y persistencia. El error es in- escolares a incurrir en el error, hacer que
herente a la actividad humana y una oportu- constaten su error y generar el conflicto
nidad permanente para contribuir a los pro- cognitivo que les lleve a modificar su cono-
cesos de enseñanza y aprendizaje. El error cimiento" (González et al., 2015, p.74). Al
matemático puede llegar a formar parte del respecto, Gamboa et. al (2019) los definen
conocimiento que emplea el alumnado en la como manifestaciones que provienen de las
resolución de problemas y su reconocimien- dificultades del alumnado, entendiendo una
to puede propiciar una oportunidad eficaz dificultad como un indicador del grado de
en el mejoramiento del conocimiento ma- éxito frente a una tarea. Por su parte, Socas
temático, mediante adecuadas intervencio- (2007) considera el error como un esquema
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
nes didácticas y múltiples vías de atención cognitivo inadecuado que tiene distintas
(Rico, 1998). La complejidad de los obje- procedencias. Así, siguiendo estos enfo-
tos matemáticos y los distintos estados de ques, en esta investigación entendemos el
comprensión de tales significados pueden error como el resultado de un conocimien-
generar errores y dificultades en concep- to aplicado en un contexto equivocado o un
tos y procedimientos matemáticos (Socas, esquema cognitivo inadecuado, que puede
2007), por lo cual, detectar tempranamente impedir otros aprendizajes y ante el cual el
los errores en el conocimiento del alumna- docente puede interferir para modificarlo.
do, indagar sobre sus causas y desarrollar En el caso de errores de tipo algebrai-
revistauniciencia@una.cr
propuestas de enseñanza para abordarlos y co, Socas (2007) argumenta que provienen
superarlos son una preocupación permanen- de errores propios de la aritmética, de los
te de educadores e investigadores. procedimientos utilizados o, incluso, de las
Rico (1998) propone dos líneas de de- características propias del lenguaje alge-
sarrollo respecto a los errores, en las cuales braico. En el caso de los errores relaciona-
se orientó esta investigación: el tratamien- dos con la factorización, Bolaños-Barquero
to curricular de los errores y su abordaje y Segovia (2021) concluyen que lo que ge-
desde su diagnóstico, proponiendo los me- nera errores en los procedimientos de fac-
dios para enfrentarlos, incentivando desde torización en el estudiantado es la falta de
el error el aprendizaje del conocimiento sentido estructural algebraico. Además, Bo-
matemático; y, por otra parte, desde la for- laños-González y Lupiáñez-Gómez (2021)
mación de profesores de matemática, para identifican que el error más frecuente se
lograr la detección y corrección de errores, relaciona con los diferentes usos de las le-
mediante observación, análisis, interpreta- tras, ya sea como incógnita de valor espe-
ción y tratamiento. cífico, como número generalizado o como
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 5http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
variable. Ambos resultados son concordan- resolución de problemas matemáticos ele-
tes con la exhaustiva revisión bibliográfica mentales, identificando un alto porcentaje
de García et al. (2012), al plantear que las de errores aritméticos, en uso de paréntesis,
causas de los errores matemáticos pueden en la interpretación de datos, en el uso de
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
ser de carácter procedimental, de carácter escalas numéricas y en el uso de conceptos
conceptual u originados en la adquisición geométricos, logrando determinar que estos
del conocimiento algebraico. errores se mantienen en el tiempo, pese a
Cabe destacar que los errores emer- que los estudiantes han cursado asignaturas
gen, en su mayoría, en los niveles escola- matemáticas en su formación. Esta persis-
res obligatorios previos, en las áreas de tencia es un punto de interés en nuestra in-
aritmética, álgebra, geometría y, datos y vestigación y tomaremos como referencia la
azar (Agencia de Calidad de la Educación, visión de Rico (1998) respecto a la dificul-
2017; Escudero y Domínguez, 2014). En tad didáctica que genera.
estos niveles, se han reportado errores en
la comprensión del sistema numérico racio- Los errores son a menudo extremada-
nal, en las propiedades de potencias, raíces mente persistentes, debido a que pueden
y logaritmos (González et al., 2018; Socas reflejar el conocimiento de los alumnos
et al., 2016), en la operatoria algebraica, sobre un concepto o un uso particular de
factorización y reconocimiento de produc- reglas nemotécnicas. Son resistentes a
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
tos notables, en la representación algebrai- cambiar por sí mismos ya que la correc-
ca de diferentes situaciones, en sistemas de ción de errores puede necesitar de una
ecuaciones, en funciones lineales y cuadrá- reorganización fundamental del conoci-
ticas (Díaz et al, 2015; Rodríguez-Domingo miento de los alumnos. Son persistentes,
et al., 2015; Ruano et al., 2008), errores en particulares de cada individuo y difíciles
la representación de puntos, en vectores o de superar. (p. 84)
figuras en el plano cartesiano, en la medida
Para evidenciar las complejidades
de lados en figuras semejantes y errores en
que atañen al concepto de persistencia y re-
la interpretación de gráficas (Ramírez-Uclés
revistauniciencia@una.cr
sistencia, en la investigación realizada por
et al., 2018; Zaldívar y Briceño, 2019).
Mena-Lorca et al. (2015), con estudiantes
Existe todavía mucho que explorar y
de pedagogía, profesores de matemática y
conocer sobre los errores matemáticos en
estudiantes de maestría, se estudiaron los
la formación inicial de profesores de ma-
errores asociados a la noción de infinito en
temática. Socas et al. (2014) analizaron las
dificultades y errores que se manifiestan en la igualdad , reconociendo una per-
la resolución de problemas matemáticos, sistencia tal que se cuestionaba la igualdad,
evidenciando dificultades relacionadas con incluso, luego de observar distintos pro-
el conocimiento lingüístico, semántico, la cesos que demostraban el resultado, plan-
estructura del problema, el lenguaje o las teando una persistencia que va más allá del
representaciones, los razonamientos, las error, basada en el infinito como un obstácu-
estructuras matemáticas y el conocimien- lo epistemológico.
to de los procesos. Por otro lado, Nortes Por otro lado, Caronía et al. (2014),
et al. (2016) estudiaron errores y dificulta- desde un diseño longitudinal, estudiaron
des en futuros maestros que suceden en la la persistencia de errores en estudiantes
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 6http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
universitarios de primer año e identificaron El mismo autor concluye, en su estudio, que
los errores más frecuentes en la aplicación el uso de la modelización en la práctica edu-
incorrecta de propiedades (ecuaciones con cativa promueve positivamente el desarro-
radicales, exponenciales y logarítmicas), llo de la competencia matemática, además
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
en el manejo de expresiones algebraicas y de otorgarle un sentido funcional.
en la lectura y comprensión de enunciados; En este estudio tomaremos como refe-
luego de transcurrir dos semestres acadé- rencia, para el abordaje del error persistente,
micos, un porcentaje de estudiantes mejoró el enfoque dado por Socas et al. (2016). Se-
sus errores, sin embargo, constataron casos gún los autores, un proceso de modelización
que mostraron persistencia y omisión de es un proceso esencial de la matemática que
problemas que contestaban correctamente se transfiere a otras áreas del conocimien-
al ingresar a la universidad, además de nue- to. Este se desarrolla mediante cinco fases:
vos errores, lo cual indica la necesidad de (1) sistematización, explicitación y reco-
implementar nuevas estrategias curriculares nocimiento de la regla; (2) matematización
para su abordaje. o formulación en términos de la regla; (3)
En consecuencia, debido a que los es- resolución en términos de la regla, median-
tudiantes en formación inicial docente tam- te la representación elegida, lo que com-
bién cometen errores, susceptibles a persis- porta el análisis del modelo construido; (4)
tencia y resistencia, esta investigación se validación (verificación) de la regla; e (5)
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
enfocó en identificarlos y abordarlos, pro- interpretación, lo que es concordante con
piciando la reorganización del conocimien- corrientes individualizadas sobre el proce-
to errado y su modificación, acciones que so de modelar. Desde este punto de vista,
llegan a ser ineludibles en la formación del las tareas de modelización pueden tener una
profesor de matemática. naturaleza intramatemática. En esta inves-
Modelización y tecnología. La mo- tigación, se implementan tareas geométri-
delización en los procesos de enseñanza y co-algebraicas con apoyo de software edu-
aprendizaje de la matemática ha sido tema cativo, que ponen de manifiesto los errores
de estudio en las últimas décadas, amplia- que se comenten, para promocionar en el
revistauniciencia@una.cr
mente considerada como un proceso que alumnado la exploración de patrones y pro-
vincula la realidad y las matemáticas, des- cedimientos no explicitados para la recons-
tacando algunas conexiones intramatemá- trucción de su conocimiento. Además, este
ticas, por ejemplo, numéricas, algebraicas, enfoque de modelización es de interés por
analíticas o geométricas; se caracteriza, en la factibilidad de aplicarlo en intervencio-
ocasiones, por la búsqueda de regularidades, nes didácticas remotas.
cuando no se explicitan patrones o procedi- Por otro lado, la integración de las
mientos (Socas, 2016; Zaldívar, 2019). Por tecnologías educativas, como mediadoras
otra parte, el diseño y resolución de tareas de procesos de exploración, visualización
de modelización para generar aprendizaje y generalización matemática, es recurren-
comprensivo en el estudiantado es, en la te en las tareas de modelización (Ferrando
actualidad, un tema de interés en investiga- 2019). Varias investigaciones han logrado
dores y docentes, así como la investigación evidenciar que la incorporación del sof-
didáctica sobre el uso de modelización en tware GeoGebra en los procesos de ense-
los procesos educativos (Ferrando, 2019). ñanza y aprendizaje mejora el rendimiento
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 7http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
académico del estudiantado (Bejarano y Or- y, finalmente, se aplica un postest. Partici-
tiz, 2018; Iranzu, 2009; Villagrán, 2018). En paron en esta investigación 42 estudiantes
la investigación de Bejarano y Ortiz (2018), que ingresaron a una carrera de pedagogía
realizada en estudiantes universitarios, se en matemática de una universidad chile-
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
observó que las características dinámicas na, firmaron un consentimiento informado
de GeoGebra, en una situación de mode- para su incorporación voluntaria a cada
lización centrada en las funciones reales, una de las cuatro etapas que componen esta
potenciaron el interés por aprender e incen- investigación.
tivaron el trabajo colaborativo mediante el La primera etapa estuvo centrada en
análisis y la reflexión. Por su parte, Iranzu la identificación de errores matemáticos co-
(2009) evidencia que GeoGebra favorece metidos por estudiantes que ingresaron a la
la visualización de problemas matemáticos, carrera en el 2019. Se construyó un test diag-
al facilitar la comprensión de los registros nóstico de 59 preguntas de elección múlti-
algebraicos y evitar obstáculos que generan ple, generado con el análisis bibliográfico de
los objetos algebraicos. errores matemáticos que suceden al ingresar
Considerar los conocimientos profe- en la educación superior (Cervantes y Mar-
sionales del profesor escolar para proponer tínez, 2007; Gamboa et al., 2019; López et
tareas y actividades en la formación inicial al., 2018) y se estableció una categorización
docente daría, al profesor, herramientas di- por contenido y objetivo de aprendizaje se-
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
dácticas para una organización más efecti- gún el currículo nacional chileno (Mineduc,
va de la enseñanza de los contenidos ma- 2009). Posteriormente, la prueba fue vali-
temáticos (Socas et al., 2014). Siguiendo dada por el comité curricular de la carrera,
esta línea, en esta investigación se abordó constituido por académicos vinculados en
el error de los propios estudiantes, situándo- la formación de profesores de matemática;
los en tareas de análisis e interpretación de luego de ajustes menores, fue aplicado en el
producciones propias de escolares, donde se mes de marzo de 2019, al ingresar a la uni-
ponen en juego sus dificultades, obstáculos versidad, durante 90 minutos. El análisis de
y errores. El diseño de las tareas conside- los resultados se enfocó en la identificación
revistauniciencia@una.cr
ró problemas matemáticos y procesos de de errores, categorizados según el uso de
modelización, utilizando GeoGebra, para objetos matemáticos específicos, o bien, de
la toma de conciencia del error y la recons- procedimientos, por ejemplo, la linealidad
trucción del conocimiento. (o no linealidad). Una forma de discriminar
como error generalizado, en los participan-
Metodología tes, fue considerar que, si cerca de un tercio
del estudiantado muestran el mismo error,
El presente estudio se enmarca en un es necesario abordarlo académicamente.
enfoque cualitativo y longitudinal, con el fin La segunda etapa consistió en estable-
de explorar y describir los distintos estados cer qué tipo de errores se mantienen luego
del conocimiento matemático, en un grupo de que los estudiantes cursaran el primer se-
de estudiantes en formación docente para mestre en la carrera, sin discriminar si apro-
profesor de matemática. Se da comienzo baron o no los cursos, con el fin de identi-
con la identificación de errores y su persis- ficar la persistencia de errores transcurrido
tencia, luego se realizan experimentaciones un semestre de formación, y transformado,
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 8http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
a la vez, en el pretest de los errores persis- en un trabajo académico 100 % remoto. En
tentes. Se propuso esta instancia, ya que este contexto, se observa que la carga aca-
el primer semestre cuenta con cursos que démica del estudiantado se transformó en
abordan conceptos matemáticos de álgebra, un aumento en la exposición frente al com-
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
geometría básica y uso de software (Geo- putador, lo que genera dificultades y nuevas
Gebra). Para la exploración se construyó adaptaciones en donde la tecnología actúa
un test sobre los errores más frecuentes de como mediador de todas las prácticas edu-
la primera etapa, a fin de evidenciar cuá- cativas (Guerrero-Ortiz y Huincahue, 2020).
les errores, conceptuales o procedimentales Los datos extraídos consisten en desarrollos
persistían, y cuáles fueron superados, en- de los grupos y notas de campo respecto al
marcado en un nuevo instrumento mucho trabajo grupal remoto. Los documentos que
más acotado y dirigido. Se construyó un se originaron fueron: protocolo de construc-
test con 27 preguntas, de elección múltiple, ción de GeoGebra y desarrollos en Word®.
solicitando desarrollo para cada respuesta, Por último, la cuarta etapa consistió
y validado por expertos. Su aplicación fue en aplicar un postest, previamente validado,
en septiembre de 2019, durante 90 minu- de 6 preguntas de respuesta abierta, sobre la
tos. El análisis fue centrado en dos áreas: 1) persistencia de errores de linealidad aborda-
reconocer desde una impresión descriptiva dos en los talleres, en noviembre de 2020,
los tipos de errores (aciertos, errores y omi- durante 90 minutos. En esta etapa participa-
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
sión), y 2) contrastar los errores identifica- ron 24 estudiantes.
dos con los de la etapa anterior, con el fin
de determinar su persistencia. Análisis y resultados
La tercera etapa tuvo un diseño expe-
rimental, con la aplicación de situaciones de Etapa I-Diagnóstico. En esta etapa,
aprendizaje construidas y centradas en los diagnóstica y exploratoria, se observó un
errores de linealidad, identificados como alto porcentaje de estudiantes que presen-
persistentes, previamente validadas por un tó errores y dificultades en conceptos rela-
grupo de estudiantes de la carrera y el grupo cionados con la aritmética, el álgebra y la
revistauniciencia@una.cr
de expertos. La experimentación consistió geometría, lo que es concordante con inves-
en tres talleres de 2 a 3 días de duración, de- tigaciones vinculadas a la formación uni-
sarrollados en el transcurso de dos semanas versitaria y escolar (Cervantes y Martínez,
continuas (taller 1, de lunes a miércoles, ta- 2007; Gamboa et al., 2019; Escudero y Do-
ller 2, de viernes a lunes, taller 3, de miérco- mínguez, 2014). En general, los resultados
les a viernes), con actividades que duraron muestran la presencia de errores y dificul-
90 minutos, trabajando y socializando sus tades en: operatoria de expresiones con raí-
conocimientos en grupo y, a la vez, retroali- ces, potencias y logaritmos; desigualdades;
mentados por los profesores-investigadores. operatoria algebraica; fracciones algebrai-
Los talleres tuvieron la siguiente participa- cas; factorización; ecuaciones cuadráticas
ción: el taller 1, con 31 participantes; el ta- y fraccionarias; identificación de funciones;
ller 2 con 18, y el taller 3 con 14. La ex- modelamiento algebraico; transformaciones
perimentación se realizó en septiembre de isométricas; espacio; congruencia; seme-
2020, en la plataforma Teams®, al encon- janza; ángulos en circunferencia; trigono-
trarse en confinamiento por el SARV-CoV2, metría, y procesos recursivos.
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 9http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
Algunos errores y dificultades más fre- obtenidas, alrededor de 19 estudiantes apli-
cuentes reconocidos en esta etapa se descri- caron linealidad incorrectamente en el primer
ben en las Tablas 1 y 2. Es importante seña- test y continuó aplicándola erradamente en el
lar que, en general, existió una alta omisión segundo test (Tabla 2). Se observa también
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
de respuestas, particularmente en preguntas que, pese a que sigue existiendo omisión de
relacionadas con raíces, cuadrados de bino- respuestas, esta disminuye en esta etapa, en
mio, logaritmos y trigonometría (11, 17, 13 particular, en las preguntas que involucran
y 28 omisiones, respectivamente). raíces, cuadrados de binomio, logaritmos y
Etapa II-Persistencia. Luego de cur- trigonometría (2, 5, 7 y 18 omisiones, res-
sar un semestre académico, se espera anali- pectivamente), donde además existe una alta
zar qué tipo de errores o dificultades se man- presencia de error de linealidad. Esto podría
tienen en el conocimiento del estudiante. Los explicar que el error aumente su frecuencia
resultados en esta segunda etapa (Tabla 1 y en algunos tópicos.
2), muestran una leve mejora en relación con Etapa III-Propuesta didáctica. Se
el diagnóstico inicial, sin embargo, hay erro- trabajó en talleres para el abordaje de difi-
res que mantienen su alta frecuencia y otros cultades y errores de linealidad en expre-
que la aumentan, en concordancia con Caro- siones con raíces y cuadrados de binomio
nía et al. (2014) y Nortes et al. (2016). (taller 1), trigonometría (taller 2) y logarit-
En el caso de la linealidad, la persisten- mos (taller 3). Las secuencias didácticas en
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
cia ha sido evidenciada en múltiples procedi- cada taller situaron al alumnado en un pro-
mientos aritméticos y algebraicos, y en gran ceso de modelización geométrico-algebrai-
parte del alumnado. De las puntuaciones co, confrontando el error, para visualizarlo
Tabla 1. Errores y dificultades con alta frecuencia identificados en las etapas I y II
N.º de estudiantes
Errores y dificultades Etapa I Etapa II
Multiplicar desigualdades por números negativos y mantener su orden 28 25
Al dividir una igualdad por un monomio, no divide todos los términos 24 12
revistauniciencia@una.cr
Cancela y pierde soluciones en ecuaciones cuadráticas 29 6
Sumar 1 al término general de una sucesión para obtener el término (n + 1) 20 25
Cancelar términos semejantes del numerador y denominador sin factorizar 13 14
Al sustraer expresiones algebraicas solo resta el primer término del que sustrae 13 13
No valida la respuesta en el contexto del problema 15 26
Obtiene información espacial equivocada 21 13
Confunde congruencia con semejanza 17 5
Nota: Fuente propia de la investigación.
Tabla 2. Errores y persistencia relacionados con linealidad en las etapas I y II
N.º de estudiantes
Errores y persistencia Etapa I Etapa II
Aplicar linealización a expresiones con raíces 19 11
Aplicar linealización en cuadrados de binomios 18 19
Aplicar linealización en expresiones con logaritmos 18 17
Aplicar linealización en funciones trigonométricas 8 13
Nota: Fuente propia de la investigación.
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 10http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
como fuente de problematización durante del anterior, para luego comprobar que las
las secuencias. áreas no se duplicaron (G1 y G3); la segun-
En el desarrollo de los talleres, el da dibujando en GeoGebra cuadrados de
alumnado se encontró con las siguientes lados 1, , , , ..., luego calcularon
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
situaciones: validación de una situación sus áreas con las herramientas de GeoGe-
problema, fundada en errores conceptuales bra (G2, G4 y G5).
y procedimentales; construcción en Geo- La mayoría de los grupos represen-
Gebra para confrontar errores; comprensión taron la situación cuadrática, asociando la
del procedimiento mal aplicado al compa- suma de cuadrados con suma de áreas. G3
rar diferentes representaciones; explicación llegó más lejos, completando cuadrados en
del error, utilizando un registro algebraico; su representación gráfica. G4 utilizó la he-
y validación del aprendizaje, argumentando rramienta deslizadores de GeoGebra para
matemáticamente. comparar las áreas en forma dinámica, es-
Resultados taller 1. En esta actividad trategia que podría haber facilitado genera-
se formaron 7 grupos de trabajo (G1-G7) lizaciones posteriores. Sin embargo, hubo
para resolver la situación que se muestra en otras respuestas cuyo bosquejo no logró ex-
el recuadro 1. plicar la relación con la situación planteada
(G1, G5 y G7). De igual forma, se observó
que hubo una mayor dificultad para repre-
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
sentar la situación relacionada con la raíz,
cinco grupos no entregaron una respuesta
Matilde, una diseñadora gráfica, necesita construir satisfactoria (G1, G4-G7). Tal dificultad se
una serie de cuadrados, tal que, cada cuadrado ten- podría interpretar como un posible obstácu-
ga el doble del área que el cuadrado anterior, como lo para el análisis más formal de las rela-
se muestra en la figura. Claudia y Felipe, estudian-
ciones y deducciones esperadas, ya que la
tes de pedagogía en matemática, comentan que la
solución a su problema se puede abordar con Geo- coordinación entre registros geométricos y
Gebra, además de algunos conocimientos de áreas algebraicos es necesaria para la resolución
y un poco de álgebra. Para resolver este problema, de problemas empíricos (Torregrosa, 2017).
revistauniciencia@una.cr
Claudia y Felipe proponen a Matilde que determine Por otra parte, los estudiantes eviden-
la medida de los lados de los cuadrados en cada
ciaron, mayoritariamente, no tener dificulta-
aumento. Por otro lado, la diseñadora se pregunta si
sería suficiente con solo duplicar los lados. des con los desarrollos de cuadrados de bi-
nomio ni de explicarlos utilizando registros
Recuadro 1. Situación problema taller 1
Fuente propia de la investigación. algebraicos. Sin embargo, se identificó una
mayor dificultad al confrontar y expresarlos
Los grupos validaron la situación en algebraicamente, en el caso de estar presen-
conflicto, reconociendo el error a través de te la raíz cuadrada. En la respuesta de G4
la exploración y verificación con GeoGe- hay evidencia que podría interpretarse como
bra, salvo G6 que dio una argumentación aplicación de linealidad en la raíz cuadrada.
incorrecta. Se observaron dos formas dife- Finalmente, de los 7 grupos partici-
rentes de abordar la situación: la primera pantes, solo 3 grupos validaron su apren-
con las herramientas de GeoGebra, dibuja- dizaje correctamente (G4-G6), utilizando
ron un cuadrado de lado 1 y la sucesión de estrategias aritméticas y solo G4 realizó
cuadrados la obtuvieron duplicando el lado una argumentación algebraica; no lograron
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 11http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
responder correctamente G3 y G7, mostran- (G1 y G3). En la respuesta de G7 se cons-
do dificultad con la traducción del problema. truyó una sucesión de triángulos rectángulos
Resultados taller 2. En esta activi- que duplica los catetos y también la hipote-
dad participaron estudiantes de G1, G3, G4 nusa, para construir triángulos semejantes;
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
y G7. La situación problema que debieron cambian las condiciones del problema. Este
resolver se muestra en el recuadro 2. tipo de error podría tener origen en un aná-
lisis parcial de los datos del problema o en
la forma en que se construyeron las razones
trigonométricas, argumentada por las pro-
porcionalidad y semejanza de triángulos, y
manifiestan un obstáculo didáctico (Ruano
et al., 2008; Socas et al., 2016).
En relación con el momento de expli-
En la clase de tecnología se propone construir un car el error formalmente, solo dos grupos
prototipo para generar energía eólica. El innovador lograron dar un contraejemplo y hacer re-
artefacto requerirá de la construcción de 3 triángu-
los rectángulos para las palas giratorias del aeroge- ferencias a las identidades trigonométricas
nerador. Se cree que, si los triángulos se posicio- para los ángulos dobles (G3 y G4).
nan de tal forma que, el ángulo basal de uno sea el Finalmente, solo G4 logra dar la so-
doble del ángulo basal del que está en la posición lución correcta a la situación planteada, uti-
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
anterior, el viento hará girar las palas optimizando lizando identidades de ángulos dobles para
la producción de energía. Para construir el prototi-
po, los estudiantes deciden primero hacer uno de encontrar las medidas correctas de los lados
cartón. Teniendo los materiales necesarios para la de los triángulos; dos grupos indican, equi-
construcción de los triángulos, se dan cuenta de que vocadamente, que necesitan las medidas de
no tienen transportador para medir los ángulos. Sin los ángulos para resolver el problema (G1
embargo, un grupo de estudiantes afirma que basta y G7). Esto evidencia dificultad en la com-
con una regla para la construcción de los ángulos.
El grupo lo explica con la representación del pro- prensión de los conceptos trigonométricos,
blema que muestra la figura. la que podría estar relacionada con aspectos
Recuadro 2. Situación problema taller 2. didácticos, epistemológicos o con conflictos
revistauniciencia@una.cr
Fuente propia de la investigación. semióticos (Godino, 2012). En esta activi-
dad no se evidenció error de linealidad.
Todos los grupos validaron la situa- Resultados taller 3. En la tercera ac-
ción con GeoGebra, argumentando desde tividad participaron estudiantes de G1, G3
diferentes caminos: construyendo triángu- y G4. La secuencia didáctica comenzó con
los rectángulos con ángulos de 20º, 40º y una aproximación a la definición del loga-
80º, e hipotenusa 1, para luego, comparar ritmo y sus propiedades, articulando áreas
las medidas de los catetos y comprobar que de triángulos con progresiones geométricas
no se duplicaron (G4); la misma conclusión y aritméticas, como muestra el recuadro 3.
fue obtenida por otros dos grupos que fue- La confrontación con el error se dio en las
ron más lejos, abarcando más casos porque preguntas que se plantearon. Se analizaron
utilizaron las herramientas dinámicas de relaciones, gráficas y propiedades, utilizan-
GeoGebra, construyendo los triángulos en do las herramientas gráficas, algebraicas,
una circunferencia unitaria y facilitando la CAS y hoja de cálculos de GeoGebra.
comparación de las medidas de los catetos
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 12http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
deduciendo sus propiedades. Sin embargo,
al graficarla, todos los grupos equivocaron
su dominio y terminaron graficando la re-
Sin la tecnología actual es un problema hacer ope- lación inversa. Esta dificultad podría ser
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
raciones con números grandes. Sin embargo, el ma- interpretada como una confusión de objetos
temático John Napier, ya en el siglo XVII ideó un matemáticos al no identificar correctamente
método para hacerlo, facilitando la vida a muchos las variables dependientes e independientes
calculistas de la época. ¡Napier convirtió productos
en sumas y divisiones en resta! Esta técnica se usa en la relación. Finalmente, para la identi-
hasta nuestros tiempos, por ejemplo, en la repre- ficación y verificación de las propiedades
sentación de curvas que aumentan a gran velocidad de los logaritmos, usaron la vista CAS de
como el caso de enfermedades como el Coronavi- GeoGebra. Asimismo, confrontaron errores
rus. Considera una sucesión de triángulos equiláte- haciendo cálculos y comparando resultados
ros, como muestra la figura, donde el primer trián-
gulo tiene área 1 y el triángulo siguiente tiene el e indicando con lenguaje formal. En esta ac-
triple de área del triángulo anterior. ¡Con las áreas tividad, no se evidenció error de linealidad.
de los triángulos se puede descubrir el truco que Etapa IV-Postest. De los 24 partici-
Napier ideó, relacionando progresiones geométri- pantes en el postest, 20 trabajaron en el ta-
cas con aritméticas! ller 1, 13 en el taller 2 y 13 en el taller 3. De
Recuadro 3. Situación problema taller 3. los cuales 12 estudiantes participaron en los
Fuente propia de la investigación.
tres talleres y 4 en ninguno.
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
Los resultados generales mostraron
El alumnado abordó esta secuencia de errores de linealización en cuadrados de bino-
aprendizaje en forma correcta, salvo G1 que mio (1 estudiante), en logaritmos (5 estudian-
no respondió en forma satisfactoria la acti- tes) y en trigonometría (1 estudiante); y no se
vidad de validación de aprendizaje. evidenció error de linealización en raíces.
En cuanto al desarrollo de las activi- El seguimiento de los desempeños de
dades para reforzar la definición de logarit- los que participaron en todos los talleres, en
mo y sus propiedades, utilizaron la hoja de relación con sus errores de linealización, se
cálculo de GeoGebra para ingresar la suce- indican en la Tabla 3. Destacamos que 4 de
revistauniciencia@una.cr
sión de áreas de los triángulos, identificando ellos continuaron mostrando persistencia de
una progresión geométrica y una progresión errores de linealidad en logaritmos y no evi-
aritmética en los exponentes. Asociaron denciaron error en raíces, en cuadráticas ni
correctamente que las propiedades de las en trigonometría, se considera que en las pri-
áreas de los triángulos eran consecuencia de meras etapas mostraron una alta presencia de
las propiedades de las potencias. También, errores de linealización en estos objetos.
encontraron la relación entre la progresión Es relevante mencionar que ningún
geométrica y la aritmética, extendiéndola estudiante de G4, grupo que linealizó raíz en
correctamente a los exponentes negativos y el taller 1, lo hizo en el postest, sin embargo,
Tabla 3. Seguimiento de 12 estudiantes participantes de los 3 talleres
Errores de linealización Test 1 Test 2 Postest
Aplicaron linealización en raíces y cuadrática 11 9 0
Aplicaron linealización en trigonometría 10 6 0
Aplicaron linealización en logaritmos 6 5 4
Nota: Fuente propia de la investigación.
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 13http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.4
E-ISSN: 2215-3470
CC: BY-NC-ND
uno de sus integrantes aplicó linealidad a del alumnado e incentivaron el trabajo co-
logaritmos en esta etapa, y no mostró este laborativo de análisis y reflexión, al definir
error en las etapas anteriores. Este resultado espacios de trabajo sincrónico, y permitir
es similar a los obtenidos por Caronía et al. que se enfrentaran con sus propios errores y
UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-17. January-December, 2022 •
(2014). Se observa, también, que estudian- exploraran las estrategias correctas. El desa-
tes que no participaron en los talleres, linea- rrollo de estas tareas fue realizado con éxito
lizaron expresiones con raíces y logaritmos, por la mayoría del alumnado que participó
y uno que participó solo en los talleres 1 y 3, en los talleres, sin embargo, en estudiantes
aplicó linealidad en trigonometría. que no participaron se evidenció el error en
Finalmente, se evidencia en esta etapa cuadrados de binomio, logaritmos y trigo-
un alto porcentaje de preguntas sin respon- nometría. No se puede afirmar claramente
der en raíces y cuadráticas (4 omisiones), en que las tareas resolvieron el error, ya que
logaritmos (5 omisiones) y en trigonometría se necesitaría un estudio de otra naturaleza
(12 omisiones), pese a estar cursando se- para llegar a ello, pero se puede afirmar que,
gundo año de formación. Esto podría estar atender explícitamente los errores revelados
indicando la presencia de dificultades no es una estrategia directa de mejora en la for-
identificadas en este estudio y que requeri- mación de profesores de matemática.
rán ser abordadas. En relación con los desempeños fina-
les de los participantes, luego de un año de
www.revistas.una.ac.cr/uniciencia •
Conclusiones formación académica, aún existen estudian-
tes que no logran resolver en forma correcta
En la primera etapa de la investiga- problemas que involucran raíces, potencias,
ción se evidenciaron dificultades y errores logaritmos y trigonometría, algunos siguen
conceptuales y procedimentales de natura- cometiendo errores de linealización, luego
leza aritmética, algebraica y geométrica, en de identificada la persistencia de estos. Res-
un alto porcentaje de estudiantes de la for- pecto a los estudiantes que realizaron la to-
mación de profesores de matemática. Estas talidad de los talleres, ninguno mostró erro-
problemáticas emergen desde los niveles res de linealización en cuadráticas, raíces
revistauniciencia@una.cr
previos y obligatorios de secundaria, cuyos y trigonometría, y solo 4 de ellos linealizó
estudiantes ingresan a la educación superior expresiones con logaritmos, lo que invita a
con conocimiento insuficiente (Pino-Fan et analizar con mayor profundidad este tipo de
al., 2018), reflejado en el diagnóstico inicial error, ya que las dificultades implícitas son,
de esta investigación. La segunda etapa, en ocasiones, muy complejas de atender di-
luego de un semestre de carrera, reveló la dácticamente (Mena-Lorca et al., 2015).
persistencia de ciertos errores; destaca, en el En consecuencia, para que las difi-
análisis, un error procedimental y transver- cultades y errores que el estudiantado en
sal por variados tópicos matemáticos, que formación inicial docente incurre, no in-
es el uso de la linealidad en objetos mate- terfieran en la consolidación de los con-
máticos que no cumplen esta propiedad. ceptos matemáticos ni en la progresión de
Las propuestas de tareas que incor- su formación, es necesario que la práctica
poran procesos de modelización, según el docente incorpore actividades de identifica-
enfoque de Socas et al. (2016), con la me- ción de dificultades y errores, abordándo-
diación de GeoGebra, potenciaron el interés los especialmente en los primeros años de
Maitere Aguerrea • María Eugenia Solís • Jaime Huincahue 14También puede leer
