FENOMENOS DE TRANSPORTE - UN CURSO INTRODUCTORIO RAMIRO BETANCOURT GRAJALES
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FENOMENOS DE TRANSPORTE UN CURSO INTRODUCTORIO RAMIRO BETANCOURT GRAJALES ING. QUMCO UTS ESP. PETROLEO IPGG BUCAREST PROFESOR ASOCIADO UN F A C U L T A D DE INGENIERIA Y A R Q U I T E C T U R A UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANIZALES
© FENOMENOS DE TRANSPORTE Autor: Ramiro Betancourt Grajales Universidad Nacional de Colombia Seccional Manizales 1a. Edición Noviembre de 1991 300 Ejemplares Derechos reservados ISBN Obra Completa 958 - 95323 - 4 - 9 Antanas Mockus Sivickas Rector Carlos Enrique Ruiz Vicerrector Seccional Luz Stella Cortés G. Jefe Centro de Publicaciones Impreso en los talleres del Centro de Publicaciones de la Universidad Nacional Seccional Manizales Fax No. (968) 863220 Apartado Aéreo No. 127 Manizales Colombia.
A DON JOAQUIN Y DOÑA CLOTILDE- MIS PADRES.
TARTA DE CONTENIDO-
LI STA DK SIMBOLOS i
PREFACIO 1
PROLOGO. 4
CAPITULO 1. LEYES BASICAS 7
1.1 INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR . . . . 7
1.2 LEY DE FOURIER 9
1.3 INTRODUCCION AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE
MOVIMIENTO Y DINAMICA DE FLUIDOS 12
1.4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ENTRE
PLACAS. FLUJO DE COUETTE 15
1.5 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON 16
1.6 FLUIDOS NO NEWTONIANOS 18
1.7 INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE MASA 18
1.8 DEFINICIONES BASICAS 19
1.9 PRIMERA LEY DE FICK 23
1.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE . . 24
CAPITULO 2. PROPIEDADES I» TRANSPORTE 26
2.1 PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA
TEORIA CINETICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA. . . 26
2.2 TRANSFERENCIA DE MASA EN GASES A BAJA PRESION. . 26
2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAH4AN - ENSKOG PARA
GASES DILUIDOS 31lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR
PROPIEDADES DE TRANSPORTE 32
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES I» CONSERVACION. . 43
TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL 46
3.1 APLICACIONES DE LOS BALANCES DIFERENCIALES
A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION . . . 47
TRANSPORTE DE ENERGIA CON GENERACION INTERNA
GEOMETRIA CILINDRICA 50
3.2 MANANTIALES CALORIFICOS 53
ECUACION DE NAVIER STORES 62
ECUACION DIFERENCIAL DE ENERGIA CALORIFICA 69
CONTINUIDAD PARA UNA MEZCIA BINARIA 70
CAPITUL04. APLICACIONES DE 1AS ECUACIONES I» VARIACION. . . 73
4.1 CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO ESTABLE UNIDIMENSIONAL .. 73
LA PARED PLANA 73
PARED CON CAPAS MULTIPLES 74
SISTEMAS RADIALES 75
EL TUBO COMPUESTO 77
COEFICIENTES GLOBALES 77
LA ESFERA 78
ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO 79
SISTEMAS CONDUCCION - CONVECCION 79
SUPERFICIES ALABEADAS O CON ALETAS 84
EFICIENCIA DE LAS ALETAS 86
ALETAS DE PERFIL TRIANGULAR 87TABLA DE CONTENIDO III
SISTEMAS COK PUENTES DE CALOR 89
4.2 TRANSFERENCIA DE MASA POR DIFUSION
WIDIRECCIONAL ESTACIONARIA 92
TRANSPORTE DE MASA CON GENERACION INTERNA. . . . 98
4.3 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
UNIDIRECCIONAL ESTACIONARIO. FLUJO DE COUETTE. . 102
(»ORDENADAS CURVILINEAS 103
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN ANILLO 103
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CON
GENERACION INTERNA 105
ECUACION DE HAGEN - POISEUILLE 111
TRANSPORTE EN UN ANILLO CON GENERACION INTERNA . 113
TRANSPORTE DE CALOR 114
VELOCIDAD NETA DE PERDIDA DE CALOR 115
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 115
CAIDA DE PRESION EN UN ANILLO 117
APENDICE A.4.1. 118
APENDICE A.4.2 120
APENDICE A.4.3. DEFINICION DE UN VALOR MEDIO 127
APENDICE A.4.4. DETERMINACION DE LA TEMPERATURA
MEDIA GLOBAL O PROMEDIO DE BLOQUE . . 129
CAPITULO 5. ÜOEFICIKÜTKS DE TEáMSFEEMCIA Y
glSBtfáS MULTXIáSE 131
(DEFICIENTES DE TRANSFERENCIA 132
TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO : FACTOR
DE FRICCION 132lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
FLUJO EN CONDUCTOS 134
APLICACIONES A SECCIONES TRANSVERSALES ARBITRARIAS. . . 135
COEFICIENTES I® TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA. . 137
TEORIA PELICULAR 138
CONDICIONES GENERALES EN UNA INTERFASE 139
OTRAS CONDICIONES LIMITE EN LA INTERFASE . . . . 141
APENDICE A.5.1. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD
HIDRAULICA 143
METODO DE BUCKINGHAM 147
METODO DE RAYLEIGH 150
ECUACIONES DIFERENCIALES 152
CAPITULO 6. TRANSPORTE TURBULENTO 154
. FLUCTUACIONES DE LA TEMPERATURA Y CONCENTRACION. 156
LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL 158
MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA EL TRANSPORTE
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN TUBO 162
PERFIL UNIVERSAL PARA FLUJO TURBULENTO
EN TUBOS LISOS 165
SUPERFICIES RUGOSAS 165
CORRELACIONES PARA EL FACTOR DE FRICCION . . . . 167
PAREDES RUGOSAS. (ECUACION DE CHURCHILL) . . . . 169
MODELO PELICULAR 170
MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA TRANSFERENCIA
DE CALOR Y MASA 174
ANALOGIA DE VON KARMAN 176TABLA DE CONTENIDO III
APENDICE A.6.1. PROMEDIO CON EL TIEMPO 180
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE 183
ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN 185
FUERZA VISCOSA EN LA SUPERFICIE 188
ANALISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR. . . . 189
FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA 189
CAPA LIMITE TURBULENTA : VELOCIDADES 193
COEFICIENTE DE ARRASTRE 197
COEFICIENTE DE FORMA 198
ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
Di UNA PARTICULA A TRAVES DE UN FLUIDO 198
FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA A UN CONDUCTO. . . 201
* PBRFIL DE VELOCIDAD EN LA CAPA LIMITE 204
ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN 205
LONGITUD DE ENTRADA EN TUBOS 209
CONVECCION NATURAL. 209
TRANSFERENCIA DE MASA BN CONVECCION NATURAL
TURBULENTA SOBRE UNA PLACA VERTICAL 216
TRANSFERENCIA DE CALOR - FLUJO CONVECTIVO SOBRE
UNA PLACA PLANA 220
TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LIMITE
LAMINAR. ANALISIS EXACTO 225
TRANSFERENCIA DE MASA EN LA CAPA LIMITE
TURBULENTA SOBRE UNA PLACA PLANA 228VI FENOMENOS DE TRANSPORTE
1 1,1 1 1 1 1 1
•* •• i
ANALISIS APROXIMADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR
EN METALES LIQUIDOS PARA FLUJO LAMINAR SOBRE
PLACAS PLANAS 230
CAPITULO 8. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
Hi CONDICIONES DIVERSAS 233
PERFIL DE VELOCIDAD PARABOLICO CON TEMPERATURA
UNIFORME DE PARED 233
PERFIL DE VELOCIDAD PLANO 234
FLUJO UNIFORME DE CALOR 234
TRANSFERENCIA DE MASA CON FLUJO LAMINAR EN
TUBOS CIRCULARES. SOLUCION DE LEVEQUE 235
APLICACION DE ANALOGIAS 241
ECUACION DE PIERCE 241
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PELICULA LIQUIDA
DESCENDENTE 242
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PLACA PLANA
INCLINADA Y UNA PELICULA DESCENDENTE 242
TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE UNA FASE GASEOSA
Y UNA PELICULA LIQUIDA DESCENDENTE 247
CORTOS TIEMPOS DE EXPOSICION 249
TRANSFERENCIA SIMULTANEA DE CALOR Y MASA . . . 253
TEORIA DEL TERMOMETRO DE BULBO HUMEDO 257
9. TRANSPORTE KN ESTADO TRANSITORIO 258
TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO EN
UNA PLACA PLANA 258TABLA DE CONTENIDO III
TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO. . 264
TRANSPORTE INESTABLE CON RESISTENCIA EXTERNA . . 265
DIFUSION TRANSITORIA EN UNA PLACA 266
DIFUSION A TRAVES DE UNA SOLA SUPERFICIE DE UNA PLACA. .272
DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. . 272
INTERDI FUS ION DE DOS GASES 274
ESFERA CON TEMPERATURA INICIAL CONSTANTE . . . . 277
SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA
RESISTENCIA EXTERNA. . . . 279
CONDICIONES LIMITE EN FUNCION DEL TIEMPO . . . . 281
CILINDROS Y PLACAS FINITAS 283
TRANSPORTE AL INTERIOR DE UN MEDIO SEMIINFINITO. 287
SOLUCION GRAFICA PARA EL TRASNPORTE INESTABLE
UNIDIRECCIONAL : GRAFICO DE SCHMIDT 291
CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO
METODOS APROXIMADOS 296
SOLIDO SEMIINFINITO CON PROPIEDADES FISICAS CONSTANTES 298
SOLIDO SEMIINFINITO CON TEMPERATURA DE
SUPERFICIE VARIABLE CON EL TIEMPO 299
SOLIDO SEMIINFINITO CON PERDIDAS CONVECTIVAS
DE CALOR EN LA SUPERFICIE 301
APENDICE A.9.1. LA FUNCION ERROR Y OTRAS FUNCIONES
RELACIONADAS 303
BIBLIOGRAFIA 308usui m iTfwi»
A : ATM; especie química,
a", a : Aceleración.
B : Constant«; «specie química,
b : Constant«; eapeaor.
DG
: Derivada sustancial de Q.
Dfc
Or : Calor especifico a volumen constante.
et : Concentración de la especie i.
Cp : Capacidad calorifica a presión constante.
Oto : Difusividad nàsica.
dir : Operador divergencia.
d : Diàmetro ; diferencial.
K : Potencial eléctrico.
e:Energia interna; espesor; base de los logaritaos neperianos.
exp(x) : exponencial de x ( = e> ).
F : fuerza.
E(x) : 10«
G : Potencial químico.
g : Aceleración de la gravedad; grano.
h : Constante de Planck; coeficiente de transferencia de calor.
I :Corriente eléctrica,
i :Vector unitario en la dirección x.
J :Densidad de flujo difusivo molar.
i :Vector
másico. unitario en la dirección y; Densidad de flujo difusivolfl FENOMENOS DE TRANSPORTE k : Vector unitario en la dirección z; constante; conductividad térmica. k», kf : Coeficiente convectivo de transferencia de masa; I:constante de Boltzman. K :Coeficiente de proporcionalidad; grados Kelvin. m' :Caudal m&sico. Mi :Peso molecular de la especie i. M : Masa m :Masa; caudal molar. N :Número de Avogadro. Ni :Densidad de flujo molar de la especie i. m :Densidad de flujo másico de la especie i. P :Perímetro; presión dinámica. Q : Flujo de calor ( energía sobre tiempo ); caudal volumétrico, q rDensidad de flujo de calor ( flujo de calor sobre área). Re :Número de Reynolds. R :Radio. Ri : Velocidad molar de generación de materia por reacción química homogénea. r : Separación intermolecular; radio (variable) ri rVelocidad de generación másica de la especie i por unidad de volúmen. Si :Area perpendicular a la dirección i. T :Temperatura, t :Tiempo. U :Momento dipolar; energía interna; parámetro. V rVelocidad constante; volúmen. vi rVelocidad en la dirección i. W rPeso; relación en peso.
LISTA DE SIMBOLOS iii
wt ¡Fracción en peso de la especie i.
x :Eje coordenado; fracción molar,
y : Eje coordenado; fracción molar,
z : Eje coordenado.
Los vectores se representan en el texto con letras en negrilla.
LETRAS GRIEGAS T OIROS SIMBOLOS.
a : Angulo; Difusividad térmica; Coeficiente de proporcionalidad.
0 :Angulo; Coeficiente de expansión volumétrico.
r :Viscosidad cinemática; coeficiente de actividad; caudal másico
por unidad de longitud.
ó :Derivada parcial; espesor; momento dipolar adimensional.
A. : Diferencia finita.
€ :Parámetro de Lennard Jonnes de energía; rugosidad relativa.
Y : Cp/Cv
1 :Energía potencial de interacción molecular; término de generación
o manantial ; energía potencial; función adimensional
9 :Angulo; variable adimensional.
J- :Trayectoria libre media molecular; rugoidad relativa; calor
latente de vaporización.
U :Viscosidad.
0 : Angulo.
Q : Integral de colisión.
n : Productoria; número pi.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE f : Resistividad eléctrica; densidad. [i : Concentración másica volumétrica de la especie i. 2 : Si amatoria. T : Esfuerzo cortante. o :Conductividad eléctrica; distancia de interacción molecular (Lenard Jonnes); Tensión Superficial. fl : Distancia adimensional; parámetro
PREFACIO
PORQUE ENSEBAR FENOMENOS DE TRANSPORTE.
Esta disciplina se refiere a las leyes naturales. Por esto algunos la
miran como ciencia más que Ingeniería. Más bien pertenecería a las
ciencias ingenieriles.
Desde el punto de vista del ingeniero orientado hacia el diseño
económico y operación de plantas y equipos, la pregunta es ¿cuál es
el valor práctico de los fenómenos de transporte? . Se puede
responder en dos formas. Primero, es claro que la transferencia de
calor, masa e impulso ocurren en muchos tipos de equipos de
Ingeniería (intercambiadores de calor, compresores, reactores
químicos y nucleares, humidificadores, enfriadores de aire,
secadores, fraccionadores y absorbedores).
fi
Es importante que el Ingeniero comprenda las leyes físicas que
gobiernan estos procesos de transporte si desea entender qué ocurre
en el equipo y tomar las desiciones adecuadas para su mejor y más
económica operación.
Desde otro punto de vista, cuando el Ingeniero diseña equipos de
procesos debe predecir las cantidades de calor, masa o impulso a
transferir. Esta velocidad de transferencia depende de un parámetro
denominado coeficiente de transferencia, que a la vez depende de las
dimensiones del equipo, caudal de flujo, propiedades del fluido, etc.
Tradicionalmente estos coeficientes se obtienen luego de mediciones
lentas y costosas a nivel de laboratorio o planta piloto y
correlacionadas a través de ecuaciones empíricas adimensionales.
Estas ecuaciones empíricas proveen resultados sobre un determinado
rango; no están basadas en teorías y no pueden usarse confiablemente
fuera del rango en el cual se realizó la experimentación.
El método usado en los fenómenos de transferencia es una forma menos
costosa y generalmente más confiable de obtener estos coeficientes
que consiste en predecirlos a partir de ecuaciones basadas en las
leyes de la naturaleza, confirmando esta predicción a través de
investigación ayudada de computador.
Desde el punto de vista del diseñador es indiferente como hayan sido
obtenidos los coeficientes. Por esta razón el curso de fenómenos de
transporte podría hacer énfasis solo en la determinación de los
coeficientes de transferencia y dejar el procedimiento de diseño a
los cursos de operaciones unitarias. Como es un caso práctico el
obtener los parámetros (coeficientes de transferencia) que se usarán
en el diseño, el curso de "Fenómenos de Transferencia" puede
considerarse tanto un curso en Ingeniería como en ciencia.
Adicionalmente existen casos en los cuales el diseñador deberá usar
métodos y ecuaciones de Fenómenos de Transporte directamente en el
diseño de un equipo. Un ejemplo puede ser un reactor tubular en ellfl FENOMENOS DE TRANSPORTE cual ocurre una reacción química homogénea. El fluido entra con cierta concentración de reactivos y deja el tubo con una concentración menor de éstos pero mayor concentración de productos. Si la reacción es exotérmica, el calor generado deberá removerse por la pared del tubo y tendremos gradientes radiales de temperatura. Como además la velocidad de reacción aumenta con la temperatura, que será mayor en el eje de simetría, los productos de la reacción tenderán a acumularse en esta linea central mientras los reactivos lo harán hacia la pared del reactor. 0 sea que tanto temperatura como concentración variarán axial y radialmente. Para diseñar un reactor de estos necesitamos conocer, para cualquier longitud la concentración promedia en productos. Como esta se obtiene de valores puntuales promediados sobre la sección transversal, debemos conocer la concentración en cualquier punto del reactor ( axial y radial ). Pero para calcular la concentración en cada punto necesitamos conocer la velocidad de reacción en cada punto y para calcular la velocidad de reacción en cada punto es necesario cbnocer tanto la temperatura como la concentración en cada punto. Además, para calcular la temperatura debemos conocer el caudal y la velocidad del fluido en cada punto. Tenemos así un sistema complicado de ecuaciones diferenciales parciales que se resolverán por métodos sofisticados de cálculo y equipos de alta velocidad ( computador ). Es claro que esté problema no se puede manejar empíricamente, y que son esenciales los procedimientos matemáticos y la teoría de fenómenos de transferencia, a no ser que se gaste tiempo y dinero construyendo plantas piloto de tamaños crecientes, determinando las conversiones en cada una. Aún así, el escalado final es precario e incierto. Obviamente, no todos los problemas actuales pueden resolverse por los métodos de los fenómenos de transporte. Sin embargo, con el desarrollo del computador, más y más podrán resolverse. Si se les desea dar a los estudiantes de Ingeniería Química, una educación que no sea obsolescente, debemos prepararlos con la comprensión de los métodos de los fenómenos de transporte, para que hagan uso de los métodos de cálculo que aparecen día a día. Tanto por su uso potencial como por su utilidad actual, un curso en Fenómenos de Transporte deberá en últimas ser el más útil y práctico en una carrera de pregrado. Si las características físicas de un problema conducen a relaciones matemáticas ( ecuaciones diferenciales, leyes de flujo y condiciones límite ) similares para transferencia de calor y transferencia de masa, se dice que hay una analogía entre los problemas de calor y masa. Intercambiando cantidades análogas ( tales como difusividades ) podemos usar la solución conocida de un problema en transferencia de calor para obtener la solución de un problema en transferencia de masa o al contrario. Lo mismo puede hacerse si hablamos de transporte de impulso y calor o transporte de impulso y masa.
PREFACIO
El uso de analogías hace el proceso de aprendizaje más sencillo y
debido a estas similitudes podemos estudiar tres temas (transferencia
de calor y de masa y dinámica de fluidos) como si fuesen uno.
En la práctica posibilita tomar medidas experimentales en un sistema
(digamos calor) para obtener información sobre otro (masa o impulso).
Ramiro Betancourt Grajales.
Manizalea, 1987.PROLOGO. Las Industrias Químicas existían mucho antes de que la profesión de Ingeniero Químico fuera reconocida. La tecnología de cada industria se miraba como una rama especial del conocimiento, y las personas que realizaban el trabajo que hoy hace el Ingeniero Químico eran entrenadas como Químicos, Ingenieros Mecánicos y Técnicos. Los primeros cursos de Ingeniería Química se orientaron al estudio de la tecnología industrial. Estos cursos se modificaron rápidamente con la introducción del concepto de Operación Unitaria. Estos surgieron de la observación de la similitud en los cambios físicos que ocurrían en industrias químicas, bastante diferentes. Así, se reconoció que la evaporación de un líquido desde una solución seguía los mismos principios independientemente de si el proceso era fabricar azúcar o un fertilizante. De esta manera la evaporación se convirtió en una de las primeras operaciones unitarias en reconocerse. Muchas otras etapas alcanzaron el grado de operación unitaria, tales fueron: flujo de fluidos, transferencia de calor, humidificación, secado, destilación, absorción gaseosa, extracción, molienda y tamizado, cristalización, filtración, mezclado, etc. Cuando se comprendieron mejor las operaciones unitarias, se evidenció que no eran entes diferentes. La filtración era claramente un caso de flujo de fluidos, la evaporación una forma de transferencia de calor, la extracción y la absorción gaseosa involucraban transferencia de masa. El secado y la destilación se reconocieron como operaciones en las cuales, tanto la transferencia de masa como la de calor presentaban importancia. Se puede entonces considerar las operaciones unitarias como casos especiales o combinaciones de transferencia de calor, transferencia de masa y flujo de fluidos. Los ingenieros se refieren a estos tres últimos eventos como Fenómenos de Transporte y son la base de las operaciones unitarias. Fenósanoe de transporte, es pues el nombre colectivo que se da al estudio sistemático e integrado de tres áreas clásicas de la ciencia de la Ingeniería : 1) Transporte de Energía o Calor, 2) Transporte de Masa o Difusión, y 3) Transporte de Cantidad de Movimiento o Impulso (Momentum en Ingles), o Dinámica de Fluidos. Debido a que con frecuencia el transporte de masa y de calor ocurren en un fluido, algunos planes de estudio incluyen estos procesos en su tratamiento de la mecánica de fluidos. Pero el tema es de un mayor alcance dado que también hay conducción y difusión en sólidos. También se diferencia de la mecánica de fluidos en que el estudio de fenómenos de transporte utiliza las similitudes entre las ecuaciones usadas para describir el proceso de transferencia de calor, masa e impulso. Estas analogías, como suelen llamarse, pueden ser relativas a similitudes en los mecanismos físicos gracias a los cuales el transporte se verifica. Cano consecuencia, la comprensión de un proceso de transferencia puede facilitar la comprensión de otros procesos. Es más, si las ecuaciones diferenciales y las condiciones límites son las mismas, es necesario obtener la solución para uno
PROLOGO 5 solo de los procesos pues al cambiar la nomenclatura de esa solución, se puede obtener la solución para cualquiera de los otros procesos de transporte. Debe enfatizarse sin embargo, que aunque existen similitudes en los procesos de transferencia, también hay diferencias importantes, especialmente entre el transporte de impulso ( un vector ) y el de calor o masa ( escalares ). De todas formas, un estudio sistemático de las similitudes entre los procesos de transferencia, facilita identificar y entender las diferencias entre ellos. El estudio de los fenómenos de transporte se ha realizado tradicionalmente comenzando por el transporte de cantidad de movimiento, luego el transporte de energía y finalmente el transporte de masa. Para cada proceso de transporte, tópicos como el transporte molecular, los balances en límites planos o curvos y el transporte multidimensional se discuten en forma tal que las similitudes y analogías entre los procesos de transporte pueden inferirse. Se derivan entonces las ecuaciones diferenciales generalizadas del cambio, generalmente expresadas en notación vector-tensorial. Luego el estudiante aprende como simplificar estas ecuaciones para casos físicos específicos. Una organización alternativa es tomar los tópicos similares para los tres fenómenos en forma simultánea. Esta alternativa presenta las siguientes ventajas: 1) Las analogías Be pueden explotar completamente reduciendo la repetición, 2) Las limitaciones de, y las excepciones a, las analogías, pueden relievarse; 3) los tópicos más elementales, tales como transporte unidimensional, pueden abordarse inicialmente; 4) El significado físico de términos tales como difusión, convección, generación y acumulación en las ecuaciones de los balances generales pueden ilustrarse inicialmente por medio de ejemplos físicos simples, sin la complicación de ecuaciones generalizadas; 5) Las ecuaciones multidimensionales generalizadas pueden derivarse como una extensión lógica del transporte unidimensional y como la incorporación en forma general de los términos previamente ilustrados; 6) La simplificación de las ecuaciones multidimensionales puede verificarse así para casos específicos con una completa apreciación de su significado. Como consecuencia de este orden, el difícil tema de transporte laminar de cantidad de movimiento puede tratarse después del más familiar e intuitivo ( para el estudiante ) de la conducción de calor. De esta forma el transporte molecular unidimensional de la cantidad de movimiento en el flujo de Couette se demuestra como análogo a la conducción de calor unidimensional. Luego a través de la ley de Newton del movimiento, se demuestra la relación entre flujo de cantidad de movimiento y esfuerzo viscoso y se discute el significado físico del mismo. Asi pues, para demostrar las analogías entre los procesos de transporte, se propone estudiar cada proceso en paralelo, en lugar del transporte de impulso primero, luego el transporte de energía, y finalmente el transporte de masa. Colateral a mejorar la comprensión, existen otras razones pedagógicas para no usar el estudio en serie
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE tradicional: de loo tres procesos, el concepto y las ecuaciones involucradas en el estudio del transporte de cantidad de movimiento son las más difíciles de entender y usar por parte del principiante. Debido a que es imposible cubrir completamente el transporte de calor y masa sin un previo conocimiento del transporte de impulso, en el método en serie se fuerza a tomar el tema más difícil ( transporte de impulso ) primero. De otra parte, si los temas se estudian en paralelo, el transporte de cantidad de movimiento se hace más comprensible haciendo referencia al tema más familiar de transferencia de calor. Además, el tratamiento en paralelo permite estudiar los conceptos más sencillos primero y avanzar más tarde a las ideas más difíciles y abstractas.
CAPITULO 1. LKYES BASICAS. 1.1 INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. De loe tres procesos de transporte a estudiar, el transporte de calor es probablemente el más familiar dado que ee parte de nuestra experiencia diaria, por ejemplo cuando se noe enfria la sopa o el café. Procesos que emplean transporte de oalor aparecen frecuentemente en la industria química: Calentamiento del petróleo crudo (u otra mezcla liquida) hasta su punto de ebullición para separarlo en fracciones en una columna de destilación o la remoción del calor generado en una reacción química. En cualquier caso necesitamos hallar la velocidad a la cual ocurre la transferencia de calor para calcular el tamaño del equipo requerido o pera mejorar el ya existente. De otra parte debemos recordar que el calor es solo una de las formas de la energía y que es esta y no el calor la que se conserva de acuerdo a la primera ley de la termodinámica. La energía como propiedad se utiliza en termodinámica para ayudar a especificar el estado de un sistema. De otra parte la energía se transfiere a través de los límites de un sistema termodinàmico en forma de trabajo o de calor. Transferencia de calor es la expresión usada pera indicar el transporte de energía originado en una diferencia de temperatura. La "Velocidad de Transferencia de Calor" es la expresión de la energía térmica transportada por unidad de tiempo, y "Flujo de Calor" es la velocidad de transferencia de calor por unidad de área. El cálculo de las velocidades locales de transferencia de calor requieren conocer las distribuciones locales de temperatura, las cuales proveen el potencial para la transferencia de calor. Existen tres mecanismos diferentes por los cuales ocurre esta transferencia de calor: i) Conducción, en el que el calor pasa a través de la substancia misma del cuerpo, ii) Convección, en el cual el calor es transferido por el movimiento relativo de partes del cuerpo calentado, y iii) Radiación, mecanismo por el que el calor se transfiere directamente entre partes distantes del cuerpo por radiación electromagnética. En gases y líquidos la convección y la radiación tienen importancia destacada, pero en los sólidos la convección puede considerarse ausente y la radiación generalmente es despreciable. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION. L? teoría matemática de la conducción del calor puede basarse en una hipótesis sugerida por el siguiente experimento:
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Tomemos una placa de algún sólido limitada por dos superficies planas
paralelas de una extensión tal que, desde el punto de vista de los
puntos entre los dos planos, puedan suponerse infinitos. En la
práctica esta condición puede acercarse usando una placa plana de
dimensiones finitas donde sus caras menores han sido aisladas
térmicamente de forma tal que solo existan gradientes de temperatura
en la dirección perpendicular a las caras mayores. En este caso la
diferencia de temperatura ocurre entre planos perpendiculares al eje
z causando transporte en la dirección z. El hecho de que la placa es
muy delgada en la dirección z y muy ancha en las direcciones x e y
indica que hay pérdidas despreciables en los extremos perpendiculares
a los ejes «X e y. De esta forma q* y qy son cero. En general la
velocidad de conducción de calor en cualquier punto en un material se
caracteriza por un vector de flujo de calor q. el cual puede
resolverse en componentes a lo largo de los tres ejes coordenados.
Podemos ignorar la naturaleza vectorial de q y considerar solo su
componente escalar z para un simple caso de conducción unidimensional
de calor.
Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes sin que esta
diferencia de temperaturas sea tan grande como para causar un cambio
sensible en las propiedades del sólido. Por ejemplo, mientras la
superficie superior se mantiene a la temperatura de una mezcla hielo
agua, la inferior se mantiene a la temperatura de una corriente de
agua caliente que fluye constantemente por allí. Después de mantener
estas condiciones durante suficiente tiempo, las temperaturas de los
diferentes puntos del sólido alcanzaran valores estables, la
temperatura siendo igual para planos paralelos a la superficie de la
placa (despreciando los efectos terminales).(ver figura 1.1)
Supongamos que la temperatura de la superficieinferior es Ti y la de
la superficie superior es T2 (Ti > T2), y consideremos que el sólido
está inicialmente a temperatura uniforme Tz- La placa tiene un
espesor b. Los resultados de los experimentos sugieren que, cuando se
ha alcanzado el estado estable, la cantidad de calor que fluye a
través de la placa en un tiempo t a través de un área S es igual a:
b ( 1.1)
La constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica.
Estrictamente hablando la conductividad térmica no es una constante
sino que, de hecho, es una función de la temperatura para todas las
fases y en líquidos y gases depende también de la presión,
especialmente cerca al estado critico. La conductividad térmica en la
madera y cristales varía también en forma ostensible con la
dirección. Esta es una de las Propiedades de Transporte de los
materiales.CAPITULO 1. LEYES BASICAS 9 figura l.to «•» FIGURA 1.1 La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura para rangos de temperatura pequeños puede expresarse en forma aceptable como k = ko(l + ¿ff), donde ko es el valor de la conductividad térmica en alguna condición de referencia y a es el coeficiente de la temperatura que es positivo o negativo dependiendo del material en cuestión. La figura 1.2 muestra el efecto en el gradiente de temperatura (para estado estable) en una placa plana como resultado de que sea positivo o negativo. Se resalta el que el gradiente de temperatura seré lineal solo cuando la conductividad térmica es constante. 1.2 LEY DE FOURIER. En la sección anterior se considera el caso especial de conducción de calor unidimensional en estado estable en una geometría rectangular. La ecuación ( 1.1 ) es válida sólo para este caso especial y no puede usarse en otraB situaciones tales como geometrías cilindricas o estado transitorio. Tampoco puede usarse para predecir la variación de la temperatura con la posición dentro del medio. Por esta razón es necesario desarrollar una ecuación más general que sea aplicable en cualquier punto, en cualquier geometría y para condiciones estables o inestables (cuando el estado físico de un sistema no cambia con el tiempo, se dice que el sistema se encuentra en estado estable). Con este propósito retomamos del gráfico 1.1b una línea de temperatura contra posición en cualquier momento arbitrario (ver figura 1.3).
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
FIGURA 1.2
FIGURA 1.3
Podemos relacionar la velocidad de flujo de calor Q* en cualquier
posición arbitraria z al flujo de calor en la misma posición usando
la definición Q* = q«S*. Comencemos por reconocer que la velocidad de
flujo de calor puede escribirse a partir de la ecuación (1.1) como :
(Qz/S) = (k/b)(Ti-Ta) = q» (1.2)
Si aplicamos (1.2) a un pequeño incremento /\z, b será reemplazadoCAPITULO 1. LEYES BASICAS 11
por A z y (T1-T2) por - A I - El signo menos es necesario de acuerdo
a la definición del operador diferencia :
AI = ) - T»
Entonces el flujo promedio de calor a través de una distancia A z es:
AT T(z+Az,t) -T(z,t)
Az Az
De la figura 1.3 se observa que A X / A z representa la pendiente
promedio sobre la región A z de la curva T vs z. También observamos
que si hacemos A z cada vez más pequeño obtenemos una mejor
aproximación de la pendiente en z. En el limite cuando /\z tiende a
cero,obtenemos la derivada parcial de T respecto a z según el teorema
fundamental del cálculo. Asi, para estado transitorio, podemos
escribir en cualquier localización:
q» = - k(6T/6z) ( 1.3 )
La cual es llamada ley de Fourier para conducción de calor en una
dimensión, en honor al matemático francés Jean Baptiste Fourier a
quien se le atribuye. En el caso de tratarse de estado estable en una
dimensión, T seria solo función de z y la derivada sería total.
En el caso general, donde hay flujo de calor en las tres direcciones
coordenadas, T es función de más de una variable independiente y :
qx = -k(6T/óx) ; qy = -k(6T/6y) ; q. = -k(ÓT/6z)
serán las componentes del vector flujo de calor...
«X = iq* + jqy + kqy
que puede escribirse en forma de operador con notación abreviada:
q = -kdlv(T) ( 1.4 )
Donde div es el operador divergencia, definido en coordenadas
cartesianas como :
div = i (6 /6x) + j (Ó /Óy) + k (Ó /óz)
La ecuación (1.4 ) es una ecuación para la ley de Fourier en
notación vectorial Gibbs o forma vectorial. Es válida para cualquier
sistema iaotrópico, o sea que la conductividad es la misma
independientemente de la dirección. El signo menos indica que el
calor solo se transfiere en la dirección en la que decrece la
temperatura.
Es interesante hacer notar que la ecuación de Fourier para conducción
unidireccional de calor es exactamente análoga a la ley de Ohm paralfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
un conductor eléctrico, la cual puede expresarse como :
ÓE
I = - oS ( 1.5 )
ón
En esta ecuación la corriente eléctrica I corresponde al flujo de
calor Q; el potencial eléctrico E corresponde al potencial térmico T,
y la conductividad eléctrica a (o =l/f, donde f es la resistividad
eléctrica) corresponde a la conductividad térmica k. Como las
ecuaciones (1.3) y (1.5) tienen la misma forma, el campo de
temperatura dentro del cuerpo calentado, y el campo de potencial
eléctrico en un cuerpo de la misma forma, corresponden uno al otro
siempre que la distribución de temperatura en la superficie
corresponda a la distribución superficial del potencial eléctrico.
Esta analogía nos capacita para estudiar problemas de conducción de
calor en detalle a través de modelos eléctricos similares.
1.3 INTBODUCCION AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINAMICA
DE FLUIDOS
Ahora que se han visto algunos ejemplos elementales de transporte de
calor nos encontramos en mejores condiciones para comprender el tema
de transporte de impulso.
Dado que el impulso o la ^cantidad de movimiento de un cuerpo, se
define como el producto de su masa y velocidad, se puede pensar que
la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad
de masa. 0 sea que, los cambios en la velocidad de un fluido pueden
originar transporte de cantidad de movimiento, así como los cambios
de temperatura originan transporte de calor.
[ja descripción matemática de este transporte forma una parte
importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. Como el concepto
de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza,
debemos revisar algunas definiciones básicas.
1.3.1 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON.
La segunda ley del movimiento de Newton establece que la fuerza F
actuando sobre un cuerpo de masa m es proporcional a la velocidad de
cambio de su cantidad de movimiento asi:
d(mv)
F = K = K (ma) ( 1.6 )
dt
Donde a = dv/dt es la aceleración del cuerpo y K es una constante
de proporcionalidad que se determina según las unidades que se usen.
Las unidades de masa son arbitrarias, por ejemplo la masa puede
delinirse en relación a una pieza estándar de una aleación de platinoCAPITULO 1. LEYES BASICAS 13
e iridio a la que se le asigna la masa de 1 Kg. Luego la masa de un
segundo cuerpo puede ser determinada por comparación.
Existen diferentes sistemas de unidades asi: los alaternas
gravitad anal es de unidades son aquellos en los cuales las unidades
de fuerza y de masa se definen en forma tal que el peso de un cuerpo
al nivel del mar es numéricamente igual a la masa del cuerpo. En el
alterna gravitacional inglés,la unidad de masa es la libra masa (lbm)
y la unidad de fuerza, llamada la libra fuerza (lbf), se define en
forma tal que el peso en libras fuerza de un objeto al nivel del mar
sea numéricamente igual a su masa en libras masa. Como la aceleración
de la gravedad al nivel del mar se toma como g=32.2 pie/s2, podemos
hallar la magnitud de la constante K permitiendo que el peso en
libras fuerza y la masa en libras masa tengan el mismo valor
numérico. Así F = W ( el peso ) y a = g = 32.2 pie/s® y la ecuación
(1.6) se transforma:
W = K (mg) o W lbf = K (m lb)(32.2pie/s2)
para W = m, esto implica
1 lbf 1
32.2 Ib pie/s} go
donde go es un factor de conversión igual a 32.2(Ib.pie/s2)/lbf.
Debemos ser claros en que aunque go tiene la magnitud de g al nivel
del mar, sus unidades no son las mismas y no es la aceleración debida
a la gravedad ni ninguna aceleración. Es simplemente un factor de
conversión requerido por la selección de unidades. Mientras que go es
una constante,la aceleración de la gravedad varía con la distancia
desde la tierra.
TABLA 1.1
Sistema Fuerza Masa x Aceleración.
CGS Dina(din) g.cm/s2
SI Newton(N) Kg.m/s2
Inglés Poundal Ib.pie/s2
Un alaterna absoluto de unidades es un sistema en el cual go vale 1.0
y es adimensional. Como ejemplo tenemos el sistema CGS (centímetro
gramo segundo), el sistema internacional de unidades (SI) y el
sistema inglés (libra poundal pie segundo). En estos sistemas las
unidades para la ecuación (1.6) son como se muestran en la tabla 1.1
En un sistema absoluto de unidades la unidad de fuerza se define
específicamente en términos de las unidades de masa y aceleración,
asi:
1 dina = 1 g.cm/s2; 1 N=10® dinas = 1 Kg.m/s2; 1Poundal = 1 Ib.pie/s2
También se conoce un sistema absoluto de unidades en el cual lalfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
unidad de fuerza se toma como 1 lbf y la unidad de masa se define
como 1 lbf/(pie/s2) denominada slug.
EJEMPLO 1 . 1
Se establece una colonia en la luna donde la aceleración
gravitacional es la sexta parte de la de la tierra. Desean adoptar un
sistema gravitacional lunar de unidades. Cuál será? Cuál seria un
sistema absoluto allí? Use unidades estandar terrestres para la masa
en kilogramos.
i) Sistema Gravitacional.
Primero definamos una nueva unidad, el "kilogramo fuerza lunar" kgfL.
La ecuación (1.6) se transforma en
F kgft, = (Kl m kg)(a m/s 2 )
para que el peso y la masa sean numéricamente iguales al nivel de la
superficie lunar requerimos que F = W = m. Como a, la aceleración
gravitacional de la luna es 9 . 8 0 / 6 = 1 . 6 3 m/s2
KL = ( 1 k g f L ) / ( k g ) ( 1 . 6 3 m / s * ) = 1 / GOL
goL = 1 . 6 3 ( k g . m / s 2 ) / kgfL
Aquí goL es la constante gravitacional lunar.
ii) El sistema absoluto serla el mismo de la tierra, debido a que sus
unidades son independientes del campo gravitacional.
TABLA 1.2
VARIACION DE g CON LA LATITUD AL NIVEL DEL MAR.
Latitud pie/s2 m/s2
0O 32.0878 9.78039
10» 32.0929 9.781915
20° 32.1076 9.78641
30* 32.1302 9.79329
40* 32.1578 9.80171
50° 32.1873 9.81071
60° 32.2151 9.81918
70° 32.2377 9.82608
80° 32.2525 9.83059
90® 32.2577 9.83217
Es conveniente tener presente que la aceleración de la gravedad
terrestre al nivel del mar varía con la latitud debido a que la
tierra no es completamente esférica sino elipsoidal, y también
gracias a la rotación sobre si misma.CAPITULO 1. LEYES BASICAS 29
Observamos pues que el valor generalmente usado en los textos para la
aceleración de la gravedad corresponde a una latitud bastante
diferente de la nuestra.
1.4 TRABSPGKFE DB CASTIDAD DB K O T M I E m O ENTRE FLACAS PARALKIAS.
FLUJO CB OOUETTX.
Consideremos un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas
(figura 1.4 a ). La distancia entre las placas es b, que es pequeña
comparada con las otras dimensiones de las placas. En el tiempo t=0
la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante v*i=V
aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior
se deja estacionaria (vx=0). Al moverse la placa inferior arrastra
consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente, la que se mueve a
la misma velocidad de la superficie. Esta es la condición de
frontera denominada de no deslizamiento fundamentada experimental y
teóricamente. Como la placa superior está estacionaria, la velocidad
del fluido allí es cero. Pero la capa de fluido vecina a la placa
inferior se mueve con respecto a la capa de fluido inmediatamente
superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le
imprime movimiento. De esta manera el movimiento de la placa inferior
hace aparecer un campo de velocidades en el liquido, con la velocidad
decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en
la placa superior.
El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en v x ,
la velocidad del fluido en la dirección x, desde cero hasta algún
valor positivo. Cono la cantidad de movimiento es proporcional a la
velocidad, habrá un correspondiente aumento en la cantidad de
movimiento x. En otras palabras, cantidad de movierato x se transporta
en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una
capa de fluido a la siguiente.
Placó «uportor MtadoMrta
Z
b
Z
X
T
Pioto Morlof M nwt con
V
««oeWad V debido o lo fimo Fi
FIGURA 1.4 a FIGURA I 4b
FIGURA 1.4lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
En la figura 1.4 b se grafican los perfiles de velocidad para varios
tiempos. Para t=0 hay un cambio brusco en z=0 desde vx=V hasta v*=0.
En t=tila velocidad aumentó cerca del plano inferior, pero el impulso
todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. En
t=t2, la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa
inferior. Finalmente en t=® se obtiene estado estable en el cual la
velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. El concepto de tiempo
infinito es claramente una abstracción matemática. Para fluidos muy
viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar
el 99 % de la condición de estado estable.
1.5 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON.
Continuemos considerando el flujo entre dos placas. Luego de un
cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final
estacionario (figura 1.4b). Una vez alcanzado dicho estado
estacionario de movimiento es preciso aplicar una fuerza ¥ x constante
para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza
claramente depende de la velocidad V, de la naturaleza del fluido, de
la distancia b entre las placas y del área de contacto S de las
mismas con el liquido. Para este caso especial viene dada por:
Fx V ( 0 - V )
= u = - u ( 1.7 )
S .b (b - 0 )
Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la
disminución de la velocidad con la distancia z. La constante de
proporcionalidad m se denomina viscosidad del fluido.
- Q^/iz)
FIGURA 1.5 FIGURA 1.6CAPITULO 1. LEYES BASICAS 17
Para desarrollar una expresión más general consideremos una de las
curvas de la figura 1.4 b antes de alcanzar el estado estacionario y
la grafleamos como v x contra z a t constante (figura 1.5).
Considerando una región de espesor A z en la cual la velocidad cambia
ea una cantidad Ay*» la cual, usando la definición del operador
diferencia se escribe como:
V * • VX(«-*V¿XB,-t) - Vx(»,t)
Una ecuación consistènte con la ( 1.7 ) seré:
Fx Ay*
M
S Az *
Donde la pendiente de la curva v x contra z es A y * / A z - Al tomar el
limité cuando A z tiende a 0 nos aproximamos a la verdadera pendiente
en », la que está dada por la derivada parcial 6v /5z. La ecuación
bésicax resultante para el transporte de impulso unidireccional
inestable es:
t.x = - m ( © W Ó z ) (1.8)
Llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. t«x es el
esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie
de un fluido situada a una distancia z, por el fluido existente en la
región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación (1.8)
se denominan newtonianos.
Muchos fluidos de importancia industrial y biológica no obedecen esta
ley y se llaman no newtonianos. Algunos ds ellos son la pasta dental
plásticos fundidos y soluciones poliméricas. Todos los gases y la
mayoría de los líquidos simples, entre ellos el aire y el agua son
fluidos newtonianos.
Según las consideraciones del numeral anterior T« puede
interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad
de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad
de área, o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad
de tiempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación
(1.7) se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de
movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es
decir, la dirección de velocidad decreciente, tal cono ocurre con la
densidad de flujo de calor que ee proporcional al gradiente negativo
de temperatura. Examinando la ecuación también vemos que u tiene las
dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo.
Anteriormente se expresó en g/cm.s. o poise (P), o en unidades de
0.01P, conocidas como centipoises (cP). En el sistema internacional
ds unidades (SI) la viscosidad está dada en pascalsegundo (Pa.s)
donde 1 Pa.s = 10 P = 10® cP = 1 Kg/m.slfl FENOMENOS DE TRANSPORTE 1.6 FLUIDOS NO NEWTONIANOS. Un fluido newtoniano se describió como uno en el cual el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformación, o sea la viscosidad es constante e independiente de la velocidad de deformación. Una gráfica de T«X contra -óv^/óz nos dará una linea recta para un fluido newtoniano pero se desviará de la línea recta para un fluido no newtoniano (figura 1.6). Para estos casos se usa frecuentemente la ecuación de la ley de la potencia n, donde n=l para fluidos newtonianos, n>l para un fluido dilatante o que aumenta la viscosidad con el esfuerzo, y n
CAPITULO 1. LEYES BASICAS 19
1.8 DEFINICIONES BASICAS.
La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la transmisión de
calor debido a la inovación de tener que operar con mezclas. En una
mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales
son distintas y existen varios métodos adecuados para promediar las
velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad
local de la mezcla. La elección de esta velocidad local es necesaria
para poder definir las velocidades de difusión. Por lo tanto debemos
estudiar con detalle las definiciones de concentraciones, velocidades
y densidades de flujo ( no se exponen conceptos físicos nuevos pero
se trata de familiarizarnos con estas definiciones).
Adoptamos una regla de notación: cuando se consideran sistemas de dos
componentes se especifican las especies A y B. En sistemas de varios
componentes se especifican las especies 1, 2, 3, etc., o bien en las
discusiones generales se utiliza un subíndice supuesto tal como i, j,
k para referir las diferentes especies. Las formulas cuya validez se
limita a sistemas binarios se identifican fácilmente porque
intervienen los subíndices A y B.
CONCENTRACIONES
La concentración de las especies en un sitema de varios componentes
puede expresarse de diversas formas pero nosotros consideramos sólo
las cuatro sguientes:
Concentración de masa (densidad) pi que es la masa de la especie i
por i unidad de volumen de solución.
Concentración molar ci=pi/Mi (densidad molar) que es el número de
moles de la especie i por unidad de volumen de solución.
Fracción másica w i = P i / t es la concentración de masa de la especie i
dividida por la densidad total de la solución.
Fracción molar xi=ci/c que es la concentración molar de la especie i
dividida por la concentración molar de la solución. Frecuentemente
usaremos yi en el caso de gases.
Mediante la palabra solución se designa una mezcla gaseosa, liquida o
sólida que forma una sola fase.
Para el caso de sistemas binarios la mutua relación de estas unidades
de concentración es
p=pA+pB= densidad de la solución (g/cm3)
g de A
PA=CA.MA
cm® de soluciónlfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
fA
WA= = fracción de masa de A.
P
C=CA+CB CA= PA/MA XA=CA/C= (A/MAC
M = p/c peso molecular medio de la mezcla
XA+ XB = 1 WA+ WB = 1 XAMA + XBMB = M
WA/MA + WB/MB = 1 / M = ( p A / p M A ) + ( p B / p M B ) = (CA+CB)/p = C/F
XA » (WA/MA)/(WA/MA+WB/MB) dWdwA =(MAMB(WA/MA+WBMB)2)_1
WA = (XAMA)/(XAMA+XBMB) d w A / d x A = MAMB (XAMA+XBMB)~ 2
DENSIDADES DE FLUJO.
Supongamos un fluido puro que es transportado por un conducto
.circular. Su caudal puede expresarse como Q = vA en unidades de
a al cubo por unidad de tiempo, donde v es la velocidad m&sica
> promedio y A es el área seccional del conducto.El caudal másico se
expresa como m'= fQ con dimensiones de masa por unidad de tiempo.
Podemos definir entonces la densidad de flujo másico referida a ejes
estacionarios como :
n = m/A = fv [masa/tiempo.área]
Si pensamos ahora que el fluido está constituido por dos especies A y
B, la densidad de flujo másico de la mezcla podría definirse
simplememte como
n = HA + nB .
La velocidad de un objeto único es intuitivamente clara. La velocidad
de un conjunto de partículas que se mueven pero mantiene la misma
posición relativa entre ellas es la misma de cualquier partícula
individual. Pero la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si
las partículas se mueven con velocidades diferentes , que es lo que
ocurre en una mezcla que presenta gradientes de concentración o sea
que difunde. Si llamamos v a la velocidad de la especie A con
respecto a ejes coordenados estacionarios (la palabra velocidad no
expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A
sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie
comprendidas en un pequeño elemento de volumen, dividido por el
número de dichas moléculas). Por lo tanto, la velocidad méaica media
para una especie de la mezcla de dos componentes podría definirse
como:
VA = NA / [ A = NA / CA
donde NA = NA / MA es la densidad de flujo molar de la especie A.CAPITULO 1. LEYES BASICAS 21 En resumen: n = nA +NA = fAVA + (BVB = fv y también: v = n/f = (nA + n B ) / ( F A + fe) = (fAV + fnv)/f = WAVA + WBVB Si consideraros el flujo de las moles más bien que el de la masa podemos definir similamiente vina velocidad molar media para la mezcla: V * = N/c = (NA + N B ) / ( C A + C B ) = (CAV A + CBV
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
O sea :
NA = J A + XAN
Esto implica que el flujo molar de A con respecto a los ejes fijos es
el flujo con respecto a la velocidad molar promedio m&s el flujo de A
causado por el flujo global relacionado a v* o sea N. Podemos
observar también que :
Ja = Na - xaN; JB = NB - XBN
Ja + Jb = N - (xa + xb)N = 0
es decir JA = - JB
lo que nos indica que la suma de las densidades molares de difusión
relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero.
En general:
£ ni = fv = n ; 2 ji = 0 ; ji - ni - wiEnu
E Ni = cv* = N ; Z Ji = 0 ; Ji = Ni - xi£Nk
EJEMPLO 1.3
Estudiemos un sifcema concreto siguiendo gráficamente su
comportamiento para asi comprender mejor las distintas clases de
velocidades:
Un liquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo
largo que inicialmente está lleno de vapor B. Analicemos los
distintos vectores velocidad para un punto en el cual XA=1/6; v*=12;
(VA-V*)=3; MA=6MB;calcular VA, VB, V , (VB-V*), (VA-V) y (VB-V)
Solución: al evaporarse A, empuja el vapor B hacia arriba. Sin
embargo, no existe una linea recta de separación de los dos vapores,
sino que el desplazamiento del vapor B va acompañado de una mezcla
mutua de los dos vapores. Por tanto debido a la difusión, en un punto
cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo
que corresponde al movimiento medio global, y en cambio B se mueve
más lentamente.
XA=1/6 XB=5/6 v * = (CAVA + CBVB)/C = XAVA + XBVB = 12
(VA - v*) = 3 va = 15
VB = (12 - 15/6)(6/5) = (72 - 15)/5 =57/5 = 11 2/5
(VB - v*) = 11 2/5 - 12 = - 3/5CAPITULO 1. LEYES BASICAS 23
MA=5Mb: WA= xaMa/(XAMa + xbME< - C5/6)MB/(5/6MB + 5/6Mb) - i/2
WB = 1/2; v - WAVA+ WBVB = 1/2(15+11 2/5) - 13 1/5
IVA-V! = 15 - 13 1/5 T 1 4/5 IVB-Vl : 11 2/5 - 13 1/5 = - 1 4/5
1.9 PRIMERA LEY DE FIOK
Para definir algunos de ios términos usados en ei estudio de la
difusión consideremos un ejemplo simple y de geometría similar al
usado en las otras formas de transporte Dos placas grandes se
colocan a una distancia b, pequeña en comparación con las :>tras
dimensiones de la placa El aire entre ambas está inicialmente seco y
permanece libre de corrientes. En el momento t = 0 la placa inferior
se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se
mantiene para asegurar que la película de fluido adyacente a la misma
conserve una concentración uniforme de vapor el líquido e igual al de
saturación a la temperatura y presión ambientes. La placa superior
está constituida de un material fuerte mente adsorbente (sílica-gel
si el vapor es de agua ) que garantice que la película de fluido
vecina a la placa superior permanece a concentración cero. A medida
que transcurre el tiempo la humedad penetra en la película gaseosa
hasta que alcanza la placa superior y eventualmente pasado un espacio
de tiempo suficientemente grande alcanza el estado estacionario donde
el perfil de concentraciones no cambiará más con el tiempo (ver
figura 1.7).
Superficie d*Mconte
t=00 estado estable
-a2
Superficie húmeda
FIGURA 1.7a FIGURA 1.7b
FIGURA 1.7.
A nosotros nos interesaría saber cuanta substancia se transporta
entre las dos superficies en un cierto tiempo* Para hacer tal cálculo
necesitamos una expresión que relacione la velocidad de difusión con
las concentraciones y la distancia entre las placas, y alguna otra
variable.
Sabemos que la densidad de flujo molar es la velocidad de flujo
dividida por el área perpendicular a la dirección del transporte.También puede leer
