Nuevas miradas a viejas prácticas - Enseñar las tablas de multiplicar

Nuevas miradas a viejas prácticas
Enseñar las tablas de multiplicar

Alicia Xavier de Mello (2003) Revista Quehacer Educativo Nº 59, Junio 2003. FUM.
Montevideo.

La memorización de las tablas de multiplicar ha sido considerada desde siempre uno
de los aprendizajes básicos imprescindibles como logro de la Escuela Primaria. Se
nos presenta a los maestros como una exigencia de padres, abuelos y la sociedad
en general; hasta se ha comentado alguna vez en la prensa escrita como uno de los
problemas de la enseñanza primaria: “los niños no saben las tablas”. Esto implica un
juicio de otro alcance: deberían saberlas muy bien para no fracasar posteriormente
en Matemáticas.

Si observamos el Programa Escolar, en primer año aparece como contenido “Tablas
de sumar”, bajo el título “Adición” y en segundo y tercero, ordenadamente, las tablas
de multiplicar del 2 al 9 y la multiplicación por 10, dejándose para cuarto grado la
multiplicación por 100 y 1000, todo ello bajo el título “Multiplicación”.
La forma en que se presentan las tablas en el Programa evidencia algunas
concepciones:
• Las tablas aparecen como un contenido, vale decir son consideradas como un
    objeto matemático, valioso por sí mismo.
• Se presentan ligadas únicamente a la adición y a la multiplicación, como requisito
    para la enseñanza graduada de los algoritmos convencionales para cumplimiento
    de uno de los objetivos señalados: “Adquirir y aplicar la técnica de las
    operaciones”.

La nueva mirada que queremos presentar aporta los resultados de investigaciones y
producciones en Didáctica de la Matemática, posteriores al momento de la
reformulación del Programa Escolar. Esta mirada, no tiende a desvalorizar la
presencia de las tablas en la escuela, ni siquiera a relativizarla, sino a darle otro
lugar. En este nuevo lugar, los objetivos ya no son “saber de memoria las tablas” y
“aplicarlas a una técnica” sino:

•   desarrollar competencias de cálculo y
•   aprender Matemáticas utilizando como recurso las tablas.

Los dos objetivos planteados nos están mostrando una doble visión de la
Matemática. La Matemática es una herramienta y por lo tanto pueden desarrollarse
competencias para su utilización, pero la Matemática es por sobre todo un objeto de
conocimiento, es decir un objeto teórico, una construcción de la cultura, que aporta a
la comprensión e interpretación del mundo y al desarrollo humano.
En la Escuela Primaria, muchas veces se tiene en cuenta solo el aspecto
instrumental, y llega a catalogarse a la Matemática únicamente como técnica o
instrumento. En relación a la multiplicación y a la división, aparece muy comúnmente
una confusión entre operación y cálculo, y más aún cálculo algorítmico, llegándose
muchas veces a considerar que saber hacer cuentas de multiplicar equivale a saber
la multiplicación.

También en el entorno social, se escucha muchas veces la confusión entre
habilidades de cálculo y conocimiento matemático. Cuando alguna persona se
manifiesta como hábil calculista, suele decirse que es buena en Matemáticas.
Pensemos en un matemático investigador que no recuerde la forma escolar de la
multiplicación o de la división. ¿diríamos que no es bueno en Matemáticas?
Pensemos ahora en un vendedor ambulante que calcula mentalmente precios y
vueltos en pesos y centésimos a gran velocidad: ¿pensaríamos que puede
interpretar un modelo matemático en un artículo referido a una investigación
científica?
Queda claro que son dos tipos diferentes de conocimiento; y muchas veces se
privilegian las habilidades de cálculo a expensas del conocimiento matemático.
Intentaremos entonces reflexionar sobre la función de la escuela en torno a estas
dos formas de conocimiento, en relación a nuestro objetivo inicial: las tablas de
multiplicar.

Las tablas y el cálculo.

Más allá de que desde las familias se valore la repetición mecánica de las tablas, los
maestros sabemos desde siempre que importa la comprensión que los alumnos
pueden lograr acerca de las mismas y su utilización inteligente a la hora de trabajar
con el cálculo. Nos interesa que el alumno memorice los cálculos que aparecen en
las tablas y no que deba repetir toda la tabla ordenadamente para encontrar el que
busca.
También tenemos claro que el papel de la memoria es insustituible, pero ¿cómo
lograr una memoria comprensiva?

Intentemos ubicar el aprendizaje de las tablas dentro del capítulo del cálculo mental.
Cuando hablamos de cálculo mental estamos haciendo referencia a dos aspectos:
• la apropiación de un repertorio de cálculos
• la disponibilidad para utilizar estrategias de cálculo
Ambos aspectos están implicados en el aprendizaje de los cálculos que aparecen en
las tablas de multiplicar.

Hemos visto que en el Programa de Matemática de primer año aparece como
contenido “Tablas de sumar”. Sin embargo no es usual que se exija a los alumnos su
memorización, y no se considera un escollo para realizar cálculos escritos con
adición y sustracción, la falta de tablas memorizadas. ¿A qué se debe esta
diferencia con el tratamiento que se da a las tablas de multiplicar?
Los alumnos van interiorizando cálculos de adición a partir de la frecuentación de
situaciones aditivas y son capaces de recordar las sumas de dígitos que les serán
necesarias a la hora del cálculo escrito. Las adiciones con dígitos ( 2 +1 es 3; 4 + 4
es 8) van formando naturalmente parte de su repertorio de cálculos. Para otros
cálculos con números mayores utilizan sus conocimientos del sistema de
numeración (30 + 6 es 36) u otras estrategias a partir de los repertorios
incorporados ( 8 + 9 es 8 +8 +1).
Trabajos de diversos autores i muestran que ciertos cálculos se aprenden de
memoria con gran facilidad en edades muy tempranas, por ejemplo adición de
sumandos iguales (2 +2; 3 +3) , adición de 1 (3 +1; 9 +1). Estos trabajos indican que
la facilidad con que se incorporan esos cálculos al repertorio es independiente del

tamaño de los números, es decir que se aprende más fácilmente 4 + 4 es 8 ó 5 + 1
es 6 que 2 + 3 es 5.
Los estudios también muestran que ciertas propiedades de la adición como la
asociativa (ya citada en el ejemplo 8 + 9 es 8 + 8 + 1) y la conmutativa (ante 2 + 7
pensar en 7 + 2) son incorporadas tempranamente por los niños como estrategias
para resolver cálculos aunque no hayan sido enseñadas explícitamente.

Una experiencia orientada por Cecilia Parraii en los primeros grados de la escuela
primaria, mostró que ciertos cálculos son considerados por los niños como “fáciles”
mientras que otros son catalogados como “difíciles”. La experiencia apuntaba, no a
la clasificación por sí misma, sino a poner en discusión los criterios y buscar
vinculaciones entre los cálculos y los procedimientos. En una primera instancia
aparecían como “fáciles” los + 0, los +1, los + 2, las sumas de iguales, los que
implican sobreconteo, entre otros. Luego los niños avanzaron hacia la utilización de
estrategias que se apoyaban en los repertorios y reglas que habían ido
construyendo. Así empezaron a encontrar fácil 8 + 11 “porque es 10 + 8 dieciocho y
uno más que saqué primero, entonces es 19” (véase que se están utilizando la
propiedad conmutativa y la asociativa).
¿Por qué esta introducción extensa referida a la adición cuando nuestro tema es “las
tablas de multiplicar”?
Porque este mismo alumno capaz de construir sentido para el cálculo, discutir
criterios y justificar procedimientos, cuando de adiciones se trata, es el que debe
enfrentarse muchas veces a una memorización de tablas de multiplicar desprovista
de sentido.

Trabajando con nuestros niños.

Alumnos de tercer año y de cuarto año que reconocen como un fracaso personal,
“no saberse las tablas” frente a la pregunta sobre multiplicaciones fáciles y difíciles
son capaces de elaborar un repertorio de fáciles. Ese repertorio, elaborado en
pequeños grupos de niños, se va ampliando mediante ricas discusiones. Así ante “3
x 2 es fácil” surge “entonces también es fácil 4 x 2 y 5 x 2 que todos los sabemos” y
“claro, porque es buscar el doble”.

En esta primera etapa, para la justificación de la calidad de fácil prima el “porque
todos lo sabemos” aunque en algunos casos aparecen justificaciones referidas a
regularidades de los números y al uso de la propiedad conmutativa de la
multiplicación.

En una segunda etapa, se analiza con los alumnos el repertorio y se los anima a
buscar criterios de clasificación y de justificación.
Se va llegando a las conclusiones siguientes.
Son fáciles:
- Todos los x 0 “porque siempre dan 0” (nótese que se ha incorporado la
   propiedad de factor absorbente de la multiplicación)
- Todos los x 1 , porque siempre dan el mismo número (neutro de la multiplicación)
- Todos los por 2 “porque es como sumar dos veces el número”.
- Todos los por 5 “porque la tabla va de 5 en 5”.
- Todos los x 10 “porque se agrega un 0”.

-   Todos los que son multiplicación de iguales (cuadrado de los números).
-   “Si sabemos 2 x 8 entonces sabemos 8 x 2, si sabemos 8 x 5 sabemos 5 x 8”
    (propiedad conmutativa de la multiplicación).

En una tercera etapa, presentando en carteles, papelógrafo o en el pizarrón, las
tablas tradicionalmente memorizadas (desde la del 2 hasta la del 9) en su formato
escolar (desde
a x 0 hasta a x 10) se procede a revisar “todo lo que ya saben de las tablas”.
¡Qué alegría cuando ven que la tabla del 2 y la del 5 podemos eliminarlas porque ya
saben todos los x 2 y los x 5!
También podemos sacar de todas las tablas el x 0, el x 1, el x 5 y el x 10 y los
cuadrados (3 x 3; 4 x 4, etc.)
Veamos qué nos queda y vayamos elaborando el repertorio de “los difíciles”.

En la tabla del 3:   3x4
                     3x6
                     3x7
                     3x8
                     3x9

En la tabla del 4:  4x3
Y en seguida deciden que puede sacarse porque ya tienen 3 x 4 y es lo mismo

Entonces            4x6
                    4x7
                    4x8
                    4x9
Y en adelante, por propiedad conmutativa vamos eliminando otros cálculos

En la tabla del 6:   6x7
                     6x8
                     6x9

En la del 7:         7x8
                     7x9

En la del 8          8x9

Los diez primeros resultados de la tabla del 9 ya los tenemos o bien en “los fáciles”
(9 x 1, 9 x 2, 9 x 5, 9 x 9, 9 x 10) o bien en “los difíciles” ya señalados (por
propiedad conmutativa).

¿Qué caminos podremos emprender ahora para una apropiación comprensiva de los
difíciles?

Algunos niños proponen sus estrategias, otras las presentamos nosotros. Aparecen
entre los niños estrategias vinculadas a los “x 5” y a los “x 10” para resolver los x 4, x
6 y x 9. Así podemos escuchar “si 7 x 10 es 70 entonces 7 x 9 es 70 – 7; si 8 x 5 es
40 entonces 8 x 6 es 40 + 8”.

Los niños van adquiriendo confianza. De sentirse incapaces de “aprenderse las
tablas” pasan a una postura activa en la construcción de nuevos conocimientos a
partir de los ya conquistados.

Trabajando en esta línea, tenemos por delante un trabajo para la incorporación de
repertorios de cálculo de multiplicaciones de dígitos, por cierto mucho más
interesante y productivo que la exigencia de memorizar a toda costa las tablas.
Estamos promoviendo en los niños el desarrollo de competencias de cálculo.

Enseñar Matemática a partir de las tablas.

En su formato escolar, las tablas de multiplicar aparecen solamente organizadas
para los dígitos. Vemos que en el Programa Escolar aparecen únicamente las tablas
del 2 al 9. En las prácticas habituales, se enseñan las tablas de esos números de la
forma a x 1 hasta a x 10. Esto tiene que ver sin duda con el objetivo de enseñanza,
que es la memorización de cálculos necesarios para realizar posteriormente los
cálculos escritos en su forma convencional.

Si consideramos que las tablas de multiplicar presentan la sucesión infinita de los
múltiplos de los números y que el primer múltiplo de cualquier número es el 0,
pensamos que convendría que la escuela presentara las tablas de variadas maneras
y no en un único formato; presentar todas las tablas comenzando por el cero (a x 0
); continuar hasta más allá del 10 en diferentes ocasiones; trabajar además con la
tabla del 12, la del 15, la del 20 ó la del 50.

Estas actividades podrían ayudar a la formación del concepto de múltiplo que
presenta obstáculos aun en etapas posteriores a la escolar. Una creencia errónea
muy común es considerar que los múltiplos de un número deben ser números “que
contienen” a ese número. Muchas veces aparece esa confusión al identificar el
concepto de múltiplo de un número con los múltiplos de las unidades de medida.
Como consecuencia se reconocen como múltiplos de un número únicamente a los
que son mayores que el mismo número y se piensa que el 0 no es múltiplo.

Otra actividad interesante consiste en que los propios niños construyan tablas para
números dados. Esta actividad puede realizarse con distintos objetivos en distintas
etapas de la escolaridad.
Alumnos de los primeros grados, enfrentados a problemas sencillos, trabajando en
pequeños grupos, logran construir las tablas del 2, 3, 4 y 5 antes de su presentación
formal como tales.

En un 2º año, frente al planteo de averigüar cuántas ruedas se necesitan para armar
12 bicicletas, 12 triciclos y 12 autos, los tres grupos de niños formados escribieron
tablas de frecuencias, lo que de cierta manera implica construir las tablas de
multiplicar.

Grupo 1                                              Grupo 2                     Grupo 3
1 bicicleta   2 ruedas                               1 triciclo     3 ruedas   1 auto        4 ruedas
2 “           4 “                                    2 “            6 “         2 “          8 “
3             6                                      3             9            3           12
4             8                                      4             12, etc              4          16,
             etc.
5            10, etc

En otro grupo de 2º año el planteo fue averiguar cuántas cajas de postre
necesitamos comprar para hacer crema para 58 personas (los niños de los dos
segundos, las maestras y las practicantes). Sabíamos que cada caja alcanza para 5
porciones.
El procedimiento más generalizado de los alumnos fue armar la tabla del 5:

1 caja                 5 personas
2 “                  10
3                    15
4                    20
5                    25
......................................................
11                   55
12                   60

Vemos que los alumnos ante un problema de división utilizan la multiplicación, aún
antes de haber sido enseñados los cálculos correspondientes.

Una vez que se han construido diversas tablas, pueden conservarse en cartulinas o
papelógrafo para realizar su análisis para el estudio de la división como operación
inversa de la multiplicación.

En otras ocasiones pueden analizarse las regularidades en cada una de ellas, así
como comparaciones de varias tablas. ¿Qué resultados comunes aparecen en las
tablas del 2, 4 y 8? ¿Y en las del 3, 6 y 9? ¿Y en la del 2, 3 y 6? ¿cuándo aparecen
como resultados el 5, 7, 11, 13, 17, etc.?
A partir de esos análisis favorecemos la construcción de conceptos como múltiplo y
divisor, criterios de divisibilidad, números primos y compuestos, etc.

En esta nueva mirada a las tablas de multiplicar en la escuela, la propuesta es:
   - construir las tablas con los niños a partir de situaciones que les den sentido
   - generar familiaridad con los cálculos y promover estrategias de cálculo
   - desarrollar los repertorios y reglas que los niños van construyendo
   - realizar análisis de los números organizados en las tablas para construir
       conceptos sobre los números naturales, las operaciones y sus propiedades.

Podemos entonces utilizar creativamente las tablas de multiplicar para contribuir a la
formación matemática de los niños.

Bibliografía consultada y citada.

•      Chemello, Graciela (1998) “Las cuentas ¿son un problema?” "Los CBC y la
       enseñanza de la Matemática", Gustavo Iaies (compilador) , Editorial AZ, Buenos
       Aires
•      Giménez, Joaquim y Girondo, Luisa (1993) Cálculo en la escuela. Reflexiones y
       propuestas, Editorial Graò, Barcelona.
•      Kamii, Constance.( 1992) Los niños reinventan la aritmética, Aprendizaje Visor,
       Madrid.
•      Lerner, Delia y Sadovsky, Patricia (1994) “El sistema de numeración: un problema
       didáctico”, en Parra, Cecilia y Saiz, Irma (compiladoras) Didáctica de la Matemática.
       Aportes y reflexiones. Editorial Paidos, Buenos Aires.
•      Parra, Cecilia (1994) “Cálculo mental en la Escuela Primaria”, en Parra, Cecilia y
       Saiz, Irma (compiladoras) Didáctica de la Matemática. Aportes y reflexiones.
       Editorial Paidos, Buenos Aires.
i
     Véanse Kamii, Parra, Giménez y Girondo, citados en la bibliografía
ii
     Véase obra citada en la bibliografía