MATEMÁTICA DUODÉCIMO GRADO BACHILLER EN HUMANIDADES

MATEMÁTICA

 DUODÉCIMO GRADO

BACHILLER EN HUMANIDADES

 1

Ministerio de educación
 Dirección regional de educación
 de san miguelito
 Instituto Rubiano

 Matemática
 Tercer trimestre
 Duodécimo grado
 Bachiller en humanidades

 Preparado por:
 PROFESORES
 Raquel Atencio (raquel.atencio@meduca.edu.pa)

 (Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.
 Vilma Prado (vilma.prado@meduca.edu.pa)

 (Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.
 Gloribeth Vega (gloribeth.vega10@meduca.edu.pa)

 (Horas de atención) martes: 3:30 p.m./3:50 p.m.; jueves: 1:30 p.m./1:50 p.m.
 Hernán Castillo (hernan.castillo@meduca.edu.pa)
 (Horas de atención) lunes: 1:30 p.m./1:50 p.m.; martes: 2:30 p.m./2:50 p.m.

FECHA DE ENTREGA DEL ESTUDIANTE AL PROFESOR: 12 DE NOVIEMBRE DE 2021

 2

Índice
Contenido

Desigualdades

 a. Desigualdades lineales 6

 b. Desigualdades cuadráticas 16

 c. Desigualdades racionales 21

 d. Bibliografía 27

 3

PRESENTACIÓN

 Esta guía de auto instrucción se encuentra dirigidas a los estudiantes que cursan el
duodécimo grado de los Bachilleres de Ciencias y Tecnología e Informática del Instituto
Rubiano, para serdesarrollada por el alumno desde su casa de forma no presencial.
Las mismas tienen como objetivo lograr el aprendizaje de conocimientos básicos de
Matemáticas con los cuales debe contar el alumnado para poder seguir satisfactoriamente
sus estudios a nivel universitario.
Es importante que pongas todo tu empeño y esfuerzo en lograr cada uno de los objetivos
propuestos, exhortándote cumplir con responsabilidad las lecturas de las partes teóricas, de
los ejemplos resueltos, la observación de los videos de apoyo y la realización de las
actividades, de manera que lleguemos con éxitos al final de esta nueva experiencia de
aprendizaje.

INDICACIONES GENERALES

Las guías didácticas son publicadas especialmente para los estudiantes que no se pueden
conectar a las clases a través de Microsoft Teams. En cada una se muestran las definiciones,
ejemplos y asignaciones respectivas. También se encuentran páginas web, vídeos y
bibliografíapara que el alumno pueda complementar el contenido.
Las asignaciones que el alumno debe desarrollar y entregar deben ser enviadas al correo
institucional del profesor (a) en un único archivo en formato PDF.

OBJETIVO GENERAL
 ❖ Manifestar una actitud constructiva y reflexiva ante problemas planteados en la
 resolución de situaciones de su entorno.

 ❖ Resuelve correctamente situaciones reales que involucren diferentes tipos de
 desigualdades, aplicando suspropiedades y procesos de solución.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 ❖ Comprende el concepto de intervalos y reconoce los mismos.

 ❖ Define una desigualdad y los diferentes tipos de desigualdades.

 ❖ Resuelve desigualdades (o inecuaciones) lineales con una variable.

 4

❖ Resuelve desigualdades no lineales aplicando el método de la tabla de signos y la
 regla de los signos de un producto.

INDICADORES DE LOGROS

 ❖ Utiliza con precisión la simbología de relaciones de orden y la notación de los
 intervalos.
 ❖ Aplica correctamente las propiedades de las desigualdades y los procesos de
 solución.
 ❖ Resuelve, con claridad, problemas reales que involucren la
 aplicación de lasinecuaciones.

 5

GUÍA DIDÁCTICA

 DESIGUALDADES
ACTIVIDAD DE INICIO:

Utilizando la tecnología, observa los siguientes videos instructivos del tema.

 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=q5Yfn5DMlDc
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=1CmeGrYDgLU&t=33s
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=sjJp1zfWZq4

ACTIVIDAD DE DESARROLLO:

 DESIGUALDADES

No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones o desigualdades, pero se cree que se
originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.), debido al surgimiento de un
problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un
grupo de números.
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que

Propiedades de las desigualdades:

 Regla 1
 Cuando un número real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el
 sentido de la desigualdad no se altera:

 Si a < b entonces a + c < b + c y a−c

 
 8 < 16 → > ∴ -4>-8
 
Tipos de intervalos solución
Los intervalos solución pueden ser abiertos y se representan con los símbolos . Este tipo
de intervalos utiliza los paréntesis para su representación ( )
Los intervalos cerrados se representan con los símbolos ≤, ≥. Este tipo de intervalos utiliza
los corchetes para su representación [ ].
El conjunto de soluciones para una desigualdad, lo podemos expresar en notación de
intervalos o en forma gráfica.

 Tipo de intervalo Notación de intervalos Gráfica

 Intervalo abierto
 (a, b)
 (utilizan paréntesis) a b
 Intervalo cerrado
 [a, b]
 (utilizan corchetes) a b
 Intervalos semi _
 [a, b)
 abiertos por la derecha a b
 Intervalo semi abierto
 (a, b]
 por la izquierda a b
 (a, ∞)

 [a, ∞)
 a
 Intervalos infinitos (-∞, b)

 (-∞, b]
 b
 R o (-∞, ∞)

 8

Ejemplo: Escriba la desigualdad en forma de notación de intervalo y en forma gráfica
 Desigualdad Notación de intervalo Gráfica
 (-3, 4]
 −3 < ≤ 4 Semi abierto por la
 izquierda -3 4
 > 6 (6, ∞)
 Intervalo infinito 6
 ≤ −4 (-∞, -4]
 Intervalo infinito -4
 −7 ≤ ≤ 2 [-7, 2]
 Intervalo cerrado -7 2

 DESIGUALDADES LINEALES.
Una desigualdad lineal con una variable x es una proposición que puede ser escrita de la forma

 + > , (o bien ≥) donde c y b son constantes con ≠ 
¿Qué significa resolver una desigualdad lineal?
Resolver una desigualdad es hallar todos los valores x que hacen verdadera esta relación. La

manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma > 
o cualquiera de las otras tres formas cuya solución es evidente: < ; > ; ≤

 ó ≥ . Para llevarla a alguna de estas formas debemos tener en cuenta ciertas reglas que
se enuncian a continuación.

 9

Ejemplo 1.

Resuelva la siguiente desigualdad: 2(3 − ) ≤ 5 − 4 

Solución:

 Resolver el producto indicado 2 (3 – x) 6 − 2x ≤ 5 − 4x

 Luego se dejan los términos en x en un
lado y las constantes en el otro lado. El 6
está sumando pasa restando y el 4x está −2x + 4x ≤ 5 − 6
 restando pasa sumando sin alterar el
 sentido de la desigualdad

 Se reducen los términos semejantes 2x ≤ −1

 Ahora, el 2 está multiplicando, pasa −1
 x ≤
 dividiendo sin alterar el sentido de la 2
 desigualdad 1
 x≤ −
 2
 
 Conjunto solución: (−∞, − ]
 
Expresaremos la solución en notación de
 intervalos y gráficamente
 −∞ −1
 2

 10

 + 
Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad: − <
 
Solución: 1 3+ 
 (12) − (12) < (12)
 4 3 2
Buscamos el . . ( , , ) = , se

multiplica cada término por el m.c.m
 3 − 4 < 6(3 + )

 Se resuelve el producto indicado 6(3 + t) 3 − 4 < 18 + 6 

Luego se dejan los términos en t en un lado y −4 − 6 < 18 − 3
 las constantes en el otro lado. El 3 está
sumando pasa restando y el 6t está sumando
 pasa restando sin alterar el sentido de la
 desigualdad

 Se reducen los términos semejantes −10 < 15

 Ahora, el -10 está multiplicando, pasa 15 3
 > ; >−
 dividiendo, cambiando (por ser negativo) el −10 2
 sentido de la desigualdad

 Expresaremos la solución en notación de 3
 Conjunto solución: (− ,∞)
 intervalos y gráficamente: 2

 −3 ∞
 2

 11

− − 
Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad: < >
 −3 −3
 ambos lados cambiando (por ser negativo) el
 −3 > > −5
 sentido de la desigualdad

 Se escribe poniendo el número menor a la −5 < < −3
 izquierda

 Expresaremos la solución en notación de Conjunto solución: (−5, −3)
 intervalos y gráficamente:

 − − 

 12

ACTIVIDAD DE CIERRE:

 INSTITUTO RUBIANO

 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 ASIGNACIÓN SUMATIVA # 1

 DESIGUALDADES LINEALES

Nombre: Grupo:

Profesor: Fecha: Puntos: / 50

I. En los siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de intervalos y luego
 trace la gráfica del intervalo. 10 puntos

 DESIGUALDAD INTERVALO GRÁFICO

 x ≥ −12

 x < −19

 −7 < x ≤ 10

 −20 ≤ x < −13

 5 < x ≤ 15

 13

II. Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones de primer grado, con
 una incógnita. De su respuesta como intervalo y como gráfico. Recuerda escribir todos
 los procedimientos. 30 puntos

 15x − 6(x + 3) ≤ 3x 1 1 1 2
 x− ≤ x+
 4 3 6 3

 3(x – 1) + 5 ≤ 5(x + 2) (x + 2) (x − 1) + 26 < (x + 4)(x + 5)

 −8 ≤ −1 + 3x ≤ 11 x+6
 −6 ≤ ≤0
 2

 14

Puntuación Aspectos por evaluar Puntuación Observaciones
 esperada obtenida

 5 Puntualidad. Entrega a fecha
 indicada por el docente,
 según organización del
 colegio.

 2 Limpieza y orden. No se
 aprecian borrones, tachones.

 3 Expresa adecuadamente la
 solución de cada problema.

 40 Desarrolla correctamente .
 todos los procedimientos de
 acuerdo con las fórmulas y
 propiedades.

 CALIFICACIÓN.

 15

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
ACTIVIDAD DE INICIO:

Observar los siguientes videos

 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=keJwrVpvarI
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=7OoLfOeKCIA&t=500s
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=p3Sv3Wa5qYQ
 ➢ https://www.youtube.com/watch?v=CiCp1-3n3sU

ACTIVIDAD DE DESARROLLO:

Se muestra cómo resolver desigualdades que contienen una expresión cuadrática. En los
próximos ejemplos se mostrará el uso de la tabla de signos y las propiedades del signo de un
producto.

Propiedades del signo de un producto: el producto de dos números reales es positivo
(negativo) si y sólo si los números tienen signos iguales (opuestos).
REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICAS.
 i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada en
 forma tal que todas las variables y constantes diferentes de cero se encuentren del
 mismo lado del símbolo de desigualdad y el número cero quede del otro lado.
 ii) Luego, si es posible, factorizamos el lado distinto de cero de la desigualdad.
 iii) Obtenemos las raíces igualando a cero cada factor. Estos números dividen la recta
 numérica en intervalos.
 iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego determine el
 signo del producto aplicando las propiedades de los signos de un producto.
 Para resolver una ecuación cuadrática se utilizan los conceptos de números críticos
y número de prueba.

 16

Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad: + − > 
SOLUCIÓN: 2 + 2 − 15 > 0
Comenzamos factorizando la ( + 5) ( -3) > 0
expresión cuadrática puesto
 que uno de los lados es
 igual a cero.
Ahora buscamos los puntos + 5 = 0 − 3 = 0:
 críticos en la ecuación
 ( + ) ( − ) = .
 = −5 = 3
 Obtenemos que
 Estos valores dividen la (−∞, −5) (−5,3) (3, ∞ ).
recta real en tres intervalos:

 −5 3

Sabemos que x < - 5; -5< x < 3 ; x>3
 = − y = son los
 puntos críticos que
 satisfacen la ecuación
 + − > . Intervalos (−∞, −5) (-5,3) (3, ∞)
Deseamos determinar el signo
de la expresión
 Signo de +5 - + +
 + − Signo de -3 - - +
en los intervalos:
(−∞, − ), (-5,3) y (3, ∞). Para
 Signo de( +5)( -3) + - +
esto determinamos el signo de
cada uno de los factores
usando un valor de en cada
uno de los intervalos. Este
valor particular de se
conoce como valor prueba.

 17

Construimos una tabla,
 llamada una tabla de signos,
 para organizar la
 información obtenida:

 Por ejemplo, para determinar el signo del factor +5 en el intervalo (−∞, − ) escogemos
 un valor de x que este en este intervalo, digamos x = -8 y lo substituimosen +5.
 Obtenemos +5 = -8 +5= -3. Luego +5 es negativo en el intervalo (−∞, − ).Por otro
 lado, -3 = -8-3 = -11 por lo que -3 es negativo en el intervalo (−∞, − ).
 Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos.
 El signo de ( + 5) ( -3) se obtiene multiplicando el signo de +5 con el signo de 
 -3. Nos interesa saber dónde ( + 5) ( -3) > 0, es decir dónde ( + 5) ( -3) es positivo.
 Esto ocurre en (−∞, − ) U (3, ∞ ).

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad ≤ + 
Solución: Primero 2 ≤ 7 + 44
despejemos para que un lado 2 − 7 − 44 ≤ 0
de la desigualdad sea cero y ( − 11) ( + 4) ≤
factoricemos la expresión 0
resultante:
Resolvemos la ecuación
 (x - 11) (x + 4) = 0. (−∞, −4) z (-4,11) (11, ∞ ).
Obtenemos los puntos
críticos -4 11
 x+4=0 o x -11 = 0.
 Intervalos (−∞, −4) (-4,11) (11, ∞ )
Luego
 Signo de -11 - - +
 x=-4 o x = 11
 Signo de + 4 - + +
Ahora construimos una tabla
de signos. Signo de ( -11)( +4) + - +

Buscamos todos los valores de x tales que ( + ) ( − ) ≤ 0.

 18

( + ) ( − ) es menor que cero en el intervalo (-4, 11) e igual a ceroen x = -4 y en
x = 11.
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo [-4, 11].

Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad ≤ + 
SOLUCIÓN. Primero despejemos 45 ≤ 4 2 + 24 
para que un lado de la desigualdad 0 ≤ 4 2 + 24 − 45
sea cero y factoricemos la 4 2 + 24 − 45 ≥ 0
expresión resultante: (2 + 15) (2 − 3) ≥
 0

Resolvemos la ecuación
 15 15
 ( + ) ( − ) = 0. (−∞, − ) (− , 3 ) ( 3, ∞ ).
 2 2 2 2
Obtenemos los puntos críticos:
 + = − = 15 3
 −
 2 2
Luego
 
 =− = Intervalos 
 (−∞, − ) (− , ) ( , ∞ )
 
Ahora construimos una tabla de
 Signo de 2 + 15 - + +
signos. Signo de 2 - 3 - - +
 Signo de (2 + - +
 +15)( 2 -11)

Buscamos todos los valores de x tales que ( + ) ( − ) ≥ 0
( + ) ( − ) es mayor que cero en el intervalo (−∞, 15) o en intervalo (3, ∞)
igual a cero en 2 

x = 1 5 y en x = 3
 2

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (−∞, 15] U [ , ∞) .
 
 19

ACTIVIDAD DE CIERRE:

 Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.

 INSTITUTO RUBIANO

 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.2

 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Nombre: Grupo:

Fecha: Profesor: Puntos: /50

I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de
intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento. 5
puntos c/u

 5 2 + 4 − 1 ≥ 0 2 − 2 − 5 ≥ 3

 (3 + 5) > 0 2 2 + − 1 < 0

 3 2 − 7 < 0 2 2 − 7 + 3 ≤ 0

 2 + 10 ≤ 0 3 2 + 10 ≥ 8

 20

DESIGUALDADES RACIONALES.

 Ahora estudiaremos las desigualdades racionales. Las desigualdades racionales pueden resolverse
mediante el procedimiento anterior, excepto que colocamos los ceros tanto del numerador P(x) como del
denominador Q(x) en la recta numérica y usamos las propiedades de los signos de un cociente.

 Una inecuación racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que
 tienen una sola incógnita, la cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador
 puede ser una inecuación lineal o cuadrática, y en el denominador también, Ejemplos:

 ;

Resolver una inecuación racional en una variable significa encontrar el conjunto de números
reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas
de las desigualdades.

REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES RACIONALES

i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada en forma tal que todas las
variables y constantes diferentes de cero se encuentren del mismo lado del símbolo de desigualdad y el número
cero quede del otro lado.
ii) Luego, si es posible, factorice los polinomios ( ) ( ) en factores lineales.
iii) Marque la recta numérica en los ceros reales de ( ) ( ). Estos números dividen la recta numérica en
intervalos.
iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego determine el signo del cociente
aplicando las propiedades de los signos de un cociente.

 Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad
 Solución: En esta inecuación
 debemos calcular los intervalos
 donde la función racional es
 menor que cero, es decir, los
 intervalos donde la función
 racional sea negativa:

 21

Para ello vamos a obtener en Puntos críticos:
primer lugar los puntos donde la
función cambia de signo.
Esos puntos los obtenemos
igualando el numerador a cero por
un lado e igualando el
denominador a cero por otro lado.
Despejamos x

Obtenemos los puntos x< -2 -2 < x < 2 x>2
críticos
 x -2=0 o x +2 = 0.
Luego
 x=2 o x = -2
Ahora construimos una tabla Intervalos (-∞, -2) ( -2. 2) (2, ∞)
de signos. Valor de prueba -3 +1 4
Es importante recalcar que el Signos de x-2 - - +
 Signos de x+2 - + +
valor que resulta de igualar el
 Signos de + - +
denominador a cero, nunca se x-2/x +2
toma, ya que el denominador de
una función racional nunca
puede ser cero. Por tanto, el -2,
también queda abierto.

Evaluamos todos los valores de pruebas en x < -2, -2 < x < 2 y x>2
Para terminar, la solución de nuestra inecuación son los valores de x que hacen que la función
sea menor que cero, es decir los tramos negativos:

Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (-2, 2).

 22

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN: Primero
organizamos los ceros del
numerador y el denominador, de
la expresión racional a la
izquierda del símbolo de
 x– 2 = 0 x+1=0
desigualdad, en la recta
numérica, desde la más pequeña
 x =2 x= - 1
hasta la más grande de la
siguiente manera.

Seleccione un valor de x en
cualquiera de los intervalos y (- -∞, -1) (- 1, 2) (2, ∞ ).
úselo para encontrar el signo de
la expresión racional. Ejemplo
para x =-3 en el intervalo (-∞, -1)
 Intervalos (-∞, -1) ( -1. 2) ( 2, ∞)

 Valor de -3 +1 4
Los ceros -1 y 2 son de una prueba
 Signos de x-2 - - +
multiplicidad impar y, por lo tanto, el Signos de x+1 - + +
signo de la expresión (x - 2) / (x + 1) Signos de + - +
 x-2/x +1
cambiará en ambos ceros a medida que
avancemos de un intervalo a otro.
Buscamos todos los valores de x:
 Seleccione un valor de x en cualquiera de los intervalos y úselo para encontrar el
signo de la expresión racional. Ejemplo para x = -3 en el intervalo (-∞, -1) la expresión
racional (x - 2) / (x + 1) = (- 3 - 2) / (- 3 + 1) = 5 / 2. Por lo tanto, la expresión racional

(x - 2) / (x + 1) es positiva en el intervalo (-∞, -1).

El conjunto de solución de la desigualdad viene dado por la unión de todos los
intervalos donde (x - 2) / (x + 1) es positivo o igual a 0. De ahí que la solución
establecida para la desigualdad anterior, en notación de intervalo, esté dada por:

(-∞, -1) [ 2, +∞)

 23

Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad
Solución: Primero
reescribimos la desigualdad
dada con el lado derecho igual
a cero.
Luego, despejemos para que
un lado de la desigualdad sea
cero y factoricemos la
expresión resultante:
Use x + 3 como un
denominador común para
reescribir el lado izquierdo de
la desigualdad como
expresiones racionales
individuales de la siguiente
manera: agregue las dos
expresiones racionales;
 (-∞, -5) (-5,-3) (-3, ∞ ).
organizamos los ceros del
numerador y el denominador
en la recta numérica desde la
más pequeña a la más
grande.
 Intervalos (-∞, -5) ( -5. -3) ( -3, ∞)
Ahora construimos una tabla
 Valor de -6 +1 4
de signos. prueba
 Signos de x+5 - - +
 Signos de x+3 - + +
 Signos de + - +
 -x-5/x +3

Buscamos todos los valores de x.
Seleccione un valor de x en el intervalo (-∞, - 5) y úselo para encontrar el signo de
la expresión racional. Ejemplo para x = - 6, la expresión racional (-x - 5)(x + 3) =
(6- 5) /(- 6 + 3) = -1 / 3. De ahí la expresión racional (-x - 5) (x + 3) es negativo en el

intervalo (- ∞, - 5).

 24

Los ceros - 5 y - 3 son de multiplicidad impar y, por lo tanto, el signo de (-x - 5) (x
+ 3) cambiará en ambos ceros. Por lo tanto, los signos de la expresión (-x - 5) (x +
3) a medida que avanzamos de izquierda a derecha.
El conjunto de soluciones de la desigualdad viene dado por la unión de todos los
intervalos donde (-x - 5) (x + 3) es negativo o igual a 0. Por lo tanto, el conjunto de
soluciones para la desigualdad anterior, en notación de intervalo, está dado por:
(-∞, - 5] (- 3, + ∞)

 25

ACTIVIDAD DE CIERRE:

 Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.

 INSTITUTO RUBIANO

 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.3

 DESIGUALDADES RACIONALES

Nombre: Grupo:

Fecha: Profesor: Puntos: /50

I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de
intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento.
10 puntos c/u.

 I. RESUELVE LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES. EXPRESA TUS RESULTADOS EN INTERVALOS Y GRAFICO.

 4 3 +5 4 2−3 +8
 1. >0 2. ≤0 3. ≥ −9 4. ≥4
 3 +2 2 +5 −6 2−1
 −1 +9 < − 1 5 +2 5 5 +2
 5. ≤3 6. 7. > 8. > −1
 −8 −3 2 +3 2 −2

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Aspectos por evaluar Puntuación Observaciones
 obtenida

 5 Puntualidad. Entrega a fecha
 indicada por el docente,
 según organización del
 colegio.

 3 Limpieza y orden. No se
 aprecian borrones, tachones.

 2 Expresa adecuadamente la
 solución de cada problema.

 40 Desarrolla correctamente .
 todos los procedimientos de
 acuerdo con las fórmulas y
 propiedades.

 CALIFICACIÓN.

 BIBLIOGRAFÍA.

1) MATEMÁTICA 11, ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. DIANA
DE LAJÓN; RICARDO LAJÓN.
2) MATEMÁTICA 11. SERIE SER COMPETENTES. SANTILLANA.
 APUNTES DE LOS PROFESORES: HERNÁN CASTILLO, GLORIBETH VEGA,
 RAQUEL ATENCIO y VILMA PRADO

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