Modelación matemática de la cinética de crecimiento de bacterias ácido lácticas para su uso aditivo microbiano en la alimentación animal.
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Revista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
Monografía | Monograph
Modelación matemática de la cinética de crecimiento
de bacterias ácido lácticas para su uso aditivo
microbiano en la alimentación animal.
Mathematical modeling of the growth kinetics of lactic
acid bacteria for its microbial additive use in animal
feed.
Ing. Arleny Pérez Arencibia
1-Universidad Agraria de La Habana “Fructuoso Rodríguez Pérez”.
Autopista Nacional, carretera Tapaste, km 23 ½, San José de Las Lajas,
Mayabeque
Instituto de Ciencia Animal
*Autor para correspondencia: arlenys.perez@etecsa.cu
Resumen
En el presente trabajo se realizó una revisión de la literatura sobre la aplicación de la modelación
matemática, de la cual se concluye que existe un interés bastante grande por la comunidad académico-
científica por fortalecer los diferentes sectores. La modelación matemática se ha convertido en una
herramienta de gran utilidad para la solución de problemas latentes tanto Agropecuarios como agrícolas,
facilita el tratamiento de datos y la toma de decisiones complejas. Se estudiaron las etapas en el
desarrollo de la modelación, las propiedades de los modelos y su clasificación, así como sus
aplicaciones. Se presentan los modelos matemáticos con el objetivo de describir los procesos de
crecimiento microbiano, dentro de los modelos que más se utilizan para este análisis, son la ecuación
logística y la ecuación del modelo Gompertz, además con un estudio de sensibilidad de las principales
variables respuestas del modelo, llegar a obtener los parámetros que más afectan las predicciones en un
intervalo de variación en el tiempo. A través del modelo matemático se determinan las relaciones entreRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
las variables lo que permite conocer el comportamiento de sistemas complejos, también permite
comparar varios tratamientos con los resultados de la modelación, igualmente con los datos reales de la
fermentación, con lo cual se demuestra la eficacia de un modelo matemático.
Palabras claves: modelo matemático, crecimiento, microbiano, académico-científic
Summary
In the present work, a review of the literature on the application of mathematical modeling was carried
out, from which it is concluded that there is quite a great interest by the academic-scientific community to
strengthen the different sectors. Mathematical modeling has become a very useful tool for solving latent
agricultural and agricultural problems, facilitating data processing and complex decision-making. The
stages in the development of the modeling, the properties of the models and their classification, as well as
their applications were studied. The mathematical models are presented with the aim of describing the
microbial growth processes, within the models that are most used for this analysis, they are the logistic
equation and the Gompertz model equation, in addition to a sensitivity study of the main response
variables. of the model, get to obtain the parameters that most affect the predictions in an interval of
variation over time. Through the mathematical model, the relationships between the variables are
determined, which allows to know the behavior of complex systems, it also allows comparing several
treatments with the results of the modeling, also with the real data of the fermentation, with which the
effectiveness is demonstrated. of a mathematical model.
Keywords: mathematical model, growth, microbial, academic-scientific.
Recibido: 10 de enero de 2022
Aprobado:2 de febrero de 2022
Introducción Introduction
El uso de los modelos se ha incrementado en las The use of models has increased in recent
últimas décadas gracias al perfeccionamiento de decades thanks to the improvement of
los sistemas de cómputo y a la necesidad de computer systems and the need to complement
complementar el entendimiento sobre la the understanding of nature. Through the
naturaleza. A través del planteamiento de modelos approach of models in terms of the formal
en términos de las expresiones formales de las expressions of the relationships between the
relaciones entre las variables involucradas en variables involved in a process, it has been
un proceso, ha sido posible describir y explicar un possible to describe and explain a number of
sin número de fenómenos. phenomena.Revista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
Un modelo constituye una representación o A model constitutes a representation or
abstracción de la realidad. En un modelo abstraction of reality. In a mathematical model,
matemático se establece un conjunto de relaciones a set of defined relationships is established,
definidas, compuestas por un grupo de variables made up of a group of variables that reflect the
que reflejan la esencia de los fenómenos en el essence of the phenomena in the object of
objeto de estudio. La facilidad que brindan las study. The ease offered by new technologies
nuevas tecnologías ayuda en poco tiempo a helps in a short time to make comparisons that
efectuar comparaciones que permitan la correcta allow the correct choice of a suitable model,
elección de un modelo adecuado, que describa los which describes the data in engineering
datos en problemas de ingeniería, así como problems, as well as provides sufficient
proporciona elementos de juicio suficientes para la elements of judgment for decision-making
toma de decisiones en condiciones de under conditions of uncertainty.
incertidumbre.
Nagel (2002) showed that improving process
Nagel (2002) mostró que el mejoramiento de los control designs allows for better fermentation
diseños de control en el proceso permite una and provides opportunities to scale those
mejor fermentación y proporciona oportunidades processes. Mathematical modeling is a tool that
para escalar dichos procesos. La modelación helps the approach of scientific research, which
matemática es una herramienta que ayuda al has been widely used to solve problems and
enfoque de la investigación científica, la que ha allows to mathematically express the
sido utilizada ampliamente para resolver relationships between the phenomena that
problemas y permite expresar matemáticamente affect it.
las relaciones entre los fenómenos que lo afectan. The modeling concept consists of the search for
El concepto de modelación consiste en la mathematical expressions that represent the
búsqueda de expresiones matemáticas que system under study. According to (Ferrando, et
representen el sistema en estudio. Según al. 2017), a model is a set of equations that
(Ferrando, et al. 2017), un modelo es un conjunto describes how the various phenomena that
de ecuaciones que describe cómo los diversos occur during the process are combined to
fenómenos que ocurren durante el proceso se control its performance. Furthermore, the
combinan para controlar su rendimiento. Además, models are the basis for evaluating
los modelos son la base para evaluar la fermentation and are of vital importance in
fermentación y tienen vital importancia en el equipment design and control criteria.
diseño del equipamiento y los criterios de control.
On the other hand, (Mitchell et al. 2010)
Por otra parte, (Mitchell et al. 2010) describen el describe the term mathematical model as a
término de modelo matemático como una simplification of reality. They also propose that
simplificación de la realidad. Plantean además, modeling is the one who decides which
que la modelación es quien decide qué fenómenos phenomena are included, based on experience
son los que se incluyen, sobre la base de la with the work system. Models are more than a
experiencia con el sistema de trabajo. Los simple way to summarize experimental data
modelos son más que una forma simple de resumir that describe process behavior, as they can be
los datos experimentales que describen el used to predict performance and identify
comportamiento del proceso, pues se pueden optimal design and operating parameters.
utilizar para predecir el rendimiento e identificar
los parámetros óptimos de diseño y operación.
A mathematical model is an idealized
Un modelo matemático es una representaciónRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
idealizada expresada en términos de símbolos, representation expressed in terms of symbols,
expresiones matemáticas y sistemas de ecuaciones mathematical expressions and systems of
relacionadas que describen la esencia del related equations that describe the essence of
problema, posibilitando así tomar decisiones the problem, thus making it possible to make
cuantificables relacionadas unas con otras, quantifiable decisions related to each other,
reconocidas como variables de decisión. recognized as decision variables.
La modelación y estudio de fenómenos asociados The modeling and study of phenomena
a sistemas dinámicos, en particular de associated with dynamic systems, particularly
crecimiento, ha sido objeto de análisis desde hace growth systems, has been the object of analysis
muchísimo tiempo en diversos campos de for a long time in various fields of application,
aplicación, habiendo experimentado un gran auge having experienced a great boom in recent
en las últimas décadas. El motivo principal para decades.
ello radica en la necesidad de comprender los The main reason for this lies in the need to
mecanismos de evolución de los sistemas con el understand the mechanisms of evolution of the
fin de dar una explicación a su comportamiento, systems in order to give an explanation to their
permitiendo predecir el mismo sin perder de vista behavior, allowing it to be predicted without
la posible inclusión de influencias ajenas a las losing sight of the possible inclusion of
variables en estudio que permitan alterar dicho influences unrelated to the variables under
comportamiento y, con ello, tener la posibilidad study that allow alter said behavior and, with it,
de controlar externamente la evolución del have the possibility of externally controlling
fenómeno en consideración. the evolution of the phenomenon under
consideration.
Los modelos matemáticos son hipótesis
existentes entre las relaciones matemáticas de Mathematical models are hypotheses between
las variables medibles y no medibles en sistema, the mathematical relationships of measurable
procesos o experimentación. Actualmente, el uso and non-measurable variables in systems,
de modelos matemáticos se ha incorporado para processes or experimentation. Currently, the
facilitar la toma de decisiones y es aplicado en use of mathematical models has been
diversos sectores con resultados muy incorporated to facilitate decision-making and
satisfactorios. Algunos ejemplos de sus usos en la is applied in various sectors with very
agricultura son: modelos para la producción de satisfactory results. Some examples of its uses
bienes, modelos para determinar el rendimiento de in agriculture are: models for the production of
los sistemas logísticos, modelos de ruteo de goods, models to determine the performance of
vehículos, entre otros. logistics systems, vehicle routing models,
among others.
Desarrollo
El desarrollo de modelos para describir los Developing
fenómenos biológicos y de transporte durante el The development of models to describe the
proceso fermentativo mejoró la comprensión de biological and transport phenomena during the
muchos aspectos en diferentes ámbitos. fermentation process improved the
understanding of many aspects in different
settings.
1. Modelado estadístico y matemático enRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
procesos Agropecuarios y agrícolas. 1. Statistical and mathematical modeling in
agricultural and agricultural processes.
En el sector agrícola existen problemas complejos
que requieren el uso de herramientas y tecnologías In the agricultural sector there are complex
para su solución y así hacer que los sistemas problems that require the use of tools and
agrícolas funcionen adecuadamente dando technologies for their solution and thus make
cumplimiento a las necesidades de cada país. the agricultural systems work properly, meeting
Durante los últimos años, existe una evidente the needs of each country. In recent years, there
tendencia en diferentes países por fortalecer el is an evident trend in different countries to
sector agrícola, esto se debe a que, es una de las strengthen the agricultural sector, this is
divisiones más importantes para el desarrollo because it is one of the most important
sostenible. En países en vía de desarrollo que divisions for sustainable development.
emplean la agricultura como su eje principal, el
incremento de la productividad en sus cadenas de
abastecimiento es un factor elemental para generar In developing countries that use agriculture as
progreso. Este incremento se logra con innovación their main axis, increasing productivity in their
tecnológica y el acceso a nuevos mercados. Es supply chains is an elementary factor in
necesario generar estrategias innovadoras y generating progress. This increase is achieved
sostenibles para que los sistemas de with technological innovation and access to
abastecimiento agrícolas operen correctamente, es new markets. It is necessary to generate
aquí la importancia de la modelación matemática innovative and sustainable strategies for
para representar los sistemas logísticos y facilitar agricultural supply systems to operate
la toma de decisiones en este sector. correctly, this is the importance of
mathematical modeling to represent logistics
systems and facilitate decision-making in this
El uso de los modelos de simulación se viene sector.
extendiendo en la agricultura y constituye una
herramienta para la investigación, así como para
productores y asesores técnicos, que ahora The use of simulation models has been
pueden definir, en el universo virtual de una spreading in agriculture and constitutes a tool
computadora, cuál es la mejor práctica de manejo for research, as well as for producers and
para un cultivo en determinada campaña y sitio technical advisers, who can now define, in the
productivo (Rodríguez et al., 2018). virtual universe of a computer, what is the best
management practice for a crop in a certain
campaign and productive site (Rodríguez et al.,
El trabajo profesional en la esfera agropecuaria no 2018).
está exento del desarrollo matemático alcanzado
mundialmente, su aplicación a problemas
biotecnológicos, la aplicación de técnicas de Professional work in the agricultural sphere is
simulación, entre otros, así lo confirman. Para not exempt from the mathematical
lograr la formación de especialistas agropecuarios development achieved worldwide, its
capaces de desplegar su actividad en la producción application to biotechnological problems, the
moderna, se hace necesario organizar la application of simulation techniques, among
preparación ininterrumpida de los mismos en el others, they confirm this. To achieve the
campo de las matemáticas, específicamente en la training of agricultural specialists capable of
modelación matemática, presente en cada uno de deploying their activity in modern production,
los problemas que pueden presentarse en las it is necessary to organize their uninterrupted
preparation in the field of mathematics,Revista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
investigaciones que realizan. specifically in mathematical modeling, present
in each of the problems that may arise in the
investigations they carry out.
La modelación es entendida como el proceso
mediante el cual un investigador construye un
modelo que representa un objeto o sistema real, es Modeling is understood as the process by
una herramienta para resolver determinados which a researcher builds a model that
problemas. Por lo que tiene gran importancia el represents a real object or system, it is a tool to
uso de los modelos en la rama agropecuaria, para solve certain problems. Therefore, the use of
poder establecer relaciones entre variables, por models in the agricultural branch is of great
ejemplo, relación entre la dosis de fertilización de importance, in order to establish relationships
un cultivo y su rendimiento, así como optimizar between variables, for example, relationship
recursos en una tarea agrícola, relacionar los between the fertilization dose of a crop and its
procesos químicos, físicos, mecánicos, biológicos yield, as well as optimize resources in an
y sociales que ocurren en los agrosistemas, agricultural task, relate the chemical, physical,
reconociendo las especies y variedades de plantas mechanical, biological and social processes that
y animales presentes, con preceptos de occur in agrosystems, recognizing the species
conservación y protección, utilizando modelos and varieties of plants and animals present,
matemáticos con el auxilio de la computación with conservation and protection precepts,
como herramienta y con el apoyo de la using mathematical models with the help of
bibliografía necesaria y disponible. computing as a tool and with the support of the
necessary and available bibliography.
1.1 Modelación Matemática. Fundamentos
teóricos 1.1 Mathematical Modeling. Theoretical
fundament
(Ferrando et al., 2017) refer that it is the
(Ferrando et al., 2017) refieren que es la mathematical representation of a reality or
representación matemática de una realidad o phenomenon where there is room for different
fenómeno donde tienen cabida diferentes elements that give it shape, such as the
elementos que le dan forma, como pueden ser los mathematical concepts involved, the symbolic
conceptos matemáticos implicados, las representations of reality, as well as the
representaciones simbólicas de la realidad, así associated mathematical procedures. to your
como los procedimientos matemáticos asociados a use.
su uso.
(Sánchez et al., 2020), the authors also
(Sánchez et al., 2020), los autores precisaron specified the simplified way in which these
además la manera simplificada en que estos models express a complex reality. They also
modelos expresan una realidad compleja. added that they are able to balance the need to
Agregaron también que son capaces de equilibrar contemplate all the details of reality with the
la necesidad de contemplar todos los detalles de la feasibility of adequate solution techniques.
realidad con la factibilidad de técnicas de solución
adecuadas.
On the other hand, (Karadavut, 2009); (Vela
and Vargas, 2009); (Ramírez et al. 2011);
Por otra parte, (Karadavut, 2009); (Vela y Vargas, (Timothy et al. 2012) and (Calzada et al. 2014)
2009); (Ramírez et al. 2011); (Timothy et al. stated that recent advances in the modeling of
2012) y (Calzada et al. 2014) plantearon que los plant growth and development provide theRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
recientes avances en la modelación del basis for obtaining knowledge on the efficient
crecimiento y desarrollo de las plantas propician management of pastures and forages as a way
las bases para la obtención de conocimientos sobre to improve animal productivity.
el manejo eficiente de los pastos y forrajes como
vía para mejorar la productividad animal.
The analysis and detection of the relationships
El análisis y detección de las relaciones entre los between the data; the establishment of
datos; el establecimiento de suposiciones y assumptions and approximations in the
aproximaciones en la representación de los representation of problems and the
problemas y el desarrollo o uso de algoritmos development or use of specific solution
específicos de solución, son elementos que algorithms are elements that characterize these
caracterizan estas potentes herramientas. powerful tools.
La importancia de los modelos utilizados radica en The importance of the models used is that they
que permiten obtener los valores de parámetros
allow obtaining the parameter values that
que explican un proceso particular y ofrecen una explain a particular process and offer an idea of
idea de cómo se combinan los diversos fenómenos how the various fermentation phenomena
de la fermentación para controlar el rendimiento combine to control overall performance. The
global. Los modelos son, además, la base para models are also the basis for evaluating the
evaluar el proceso y tienen gran importancia en el process and are of great importance in the
diseño del equipamiento y los criterios de control design of the equipment and the control criteria
(Sosa et al. 2012). (Sosa et al. 2012).
En las fermentaciones, es una constante que los In fermentations, it is a constant that
modelos matemáticos tengan uno o parámetros
mathematical models have one or parameters
que los describan y que su valor numérico sea that describe them and that their numerical
desconocido antes de aplicarlo y no sea medible. value is unknown before applying it and is not
Respecto a la última parte, las suposiciones que se measurable. Regarding the last part, the
realizan son necesarias debido a la complejidad de assumptions that are made are necessary due to
los procesos microbiológicos, estas suposiciones the complexity of the microbiological
aunque introducen inexactitud a los modelos processes, these assumptions, although they
respecto a ciertas variables, no inciden introduce inaccuracy to the models with respect
considerablemente, por ejemplo, en la to certain variables, do not significantly affect,
descripción de las etapas de crecimiento for example, the description of the growth
microbiano u otras variables importantes en los stages. microbial or other important variables
procesos microbiológicos. in microbiological processes.
1.1.1 Pasos principales para la 1.1.1 Main steps for mathematical modeling:
modelación matemática:
Paso/ Step 1
Saber lo que se quiere conseguir y los esfuerzos necesarios para lograrlo (¿Por qué desarrollar el
modelo y qué nivel de complejidad es apropiado para describir el proceso?)Revista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
Know what you want to achieve and the efforts required to achieve it (Why develop the model and
what level of complexity is appropriate to describe the process?)
Paso/ Step 2
Dibujar el sistema en un nivel apropiado de detalle y establecer las suposiciones del mismo (¿Cuáles
son los procesos o fenómenos que pudieran estar incluidos en el modelo?)
Draw the system at an appropriate level of detail and establish its assumptions (What are the processes
or phenomena that could be included in the model?)
Paso/ Step 3
Escribir las ecuaciones (Escribir las ecuaciones de balances necesarias para el modelo, así como
sus condiciones iniciales y de contorno).
Write the equations (Write the balance equations necessary for the model as well as its initial and
boundary conditions).
Paso/ Step 4
Estimar los parámetros y valores apropiados para las variables de operación y los valores iniciales
(¿Cómo se puede estimar los valores de los parámetros, son aceptables los valores de la literatura, se
podrán determinar experimentalmente?)
Estimate the appropriate parameters and values for the operating variables and the initial values (How
can the values of the parameters be estimated, are the literature values acceptable, can they be
determined experimentally?)Revista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
Paso/ Step 5
Resolver el modelo (¿Qué tipos de ecuaciones diferenciales están presentes en el modelo, qué software
se puede utilizar para resolverlas, qué instalaciones informáticas son necesarias?
Solve the model (What types of differential equations are present in the model, what software can be
used to solve them, what computer facilities are necessary?
Paso/ Step 6
Validar el modelo (¿Reproduce el modelo los datos experimentales, puede ser usado como una
herramienta para el diseño, necesitaría algunos cambios?)
Validate the model (Does the model reproduce the experimental data, can it be used as a design tool,
would it need some changes?)
Paso/ Step 7
Utilizar el modelo (¿Qué información brinda el modelo, necesita ser perfeccionado?)
Use the model (What information does the model provide, does it need to be refined?)
Figura 1: muestra un esquema donde se recogen los pasos principales definidos por Mitchell et al.
(2006) para la modelación matemática de un proceso.
Figure 1: shows a diagram where the main steps defined by Mitchell et al. (2006) for the mathematical
modeling of a process.
1.1.2 Propiedades de un modelo 1.1.2 Properties of a mathematical model
matemático
• Simplicidad: Uno de los objetivos Simplicity: One of the main objectives of a
principales de un modelo matemático es simplificar mathematical model is to simplify reality.
la realidad.
Objectivity: That it does not have biases or
• Objetividad: Que no tenga sesgos ni theoretical or prejudices or ideas of its
teóricos ni de los prejuicios o ideas de sus designers.Revista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
diseñadores. Sensitivity: That it is capable of reflecting
• Sensibilidad: Que sea capaz de reflejar los the effects of small variations.
efectos de pequeñas variaciones. Stability: That the mathematical model does
• Estabilidad: Que el modelo matemático no not alter significantly when there are small
se altere significativamente cuando hay cambios changes in the variables.
pequeños en las variables. Universality: That it is applicable to various
• Universalidad: Que sea aplicable a varios contexts and not just to a particular case.
contextos y no sólo a un caso particular.
A mathematical model of growth is composed
Un modelo matemático de crecimiento está of 3 parts: the first corresponds to the
compuesto por 3 partes: la primera corresponde a chemical, physical and biological principles
los principios químicos, físicos y biológicos involved in the process in question, the
involucrados en el proceso en cuestión, la segunda second is the inferences that can be made
son las inferencias que se puedan hacer a partir de from the previously existing data and the third
los datos existentes previamente y la tercera corresponds to the assumptions to be made,
corresponde a las suposiciones que se deban hacer, with valid bases and criteria.
con bases y criterios válidos.
Mathematical models for the study of
Los modelos matemáticos para el estudio de los fermentation processes have, among their
procesos de fermentación tienen, entre sus main applications or utilities, the power to
principales aplicaciones o utilidades el poder correlate experimental data and thus have a
correlacionar datos experimentales y así tener una more accurate vision about the process in
visión más acertada acerca del proceso en cuestión, question, make a quantitative prediction of the
hacer una predicción cuantitativa del proceso, process, reduce costs in experimental design
reducir costos en diseño experimental y de proceso, and process, consider or not variables that
considerar o no variables que puedan o no afectar el may or may not affect experimental
desarrollo experimental y utilizar el modelamiento development and use mathematical modeling
matemático para escalar procesos realizados a nivel to scale processes carried out at the bench or
de banco o laboratorio, entre otras. laboratory level, among others.
En este caso se utiliza la modelación matemática,
ya que dentro de las características de los In this case, mathematical modeling is used,
microorganismos a emplear como probióticos es de since within the characteristics of the
suma importancia determinar su capacidad de microorganisms to be used as probiotics, it is
crecimiento y monitorear los parámetros cinéticos extremely important to determine their growth
que permitan producir el preparado con alta capacity and monitor the kinetic parameters
concentración a escalas productivas. that allow the preparation to be produced with
high concentration at productive scales.
Durante décadas, los antibióticos se utilizaron en laRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
producción animal como aditivos promotores del For decades, antibiotics were used in animal
crecimiento para incrementar los rendimientos production as growth-promoting additives to
productivos. Sin embargo, su uso creó serios increase productive yields. However, its use
problemas (Molina, 2019) y agudizó la aparición de created serious problems (Molina, 2019) and
efectos residuales en los alimentos para el consumo exacerbated the appearance of residual effects
humano. Por tales razones, fue necesaria la in food for human consumption. For these
introducción de nuevas prácticas en las reasons, it was necessary to introduce new
alimentación, por lo que el consumo de alimentos food practices, so the consumption of foods
fermentados con bacterias ácido lácticas se ha fermented with lactic acid bacteria has been
asociado con una serie de beneficios para la salud associated with a series of health benefits that
que pueden atribuirse a la presencia del can be attributed to the presence of the
microorganismo utilizado como probiótico entre los microorganism used as a probiotic among
que se destacan, la modulación de la respuesta those that stand out, the modulation of the
inmune y la protección contra microorganismos immune response and protection against
patógenos, también pueden ejercer un efecto pathogenic microorganisms, can also exert an
antioxidante y contribuir al aporte de nutrientes antioxidant effect and contribute to the
tales como vitaminas o mejorar su contribution of nutrients such as vitamins or
biodisponibilidad (Marco et al., 2017), estos se han improve their bioavailability (Marco et al.,
convertido en principales candidatos por sus 2017), these have become in main candidates
propiedades y potencialidades incluyendo su uso for its properties and potentialities including
seguro. its safe use.
En este sentido, en el Instituto de Ciencia Animal
(ICA), (García et al., 2016) aislaron, identificaron y In this sense, at the Institute of Animal
caracterizaron bacterias lácticas, de origen aviar, Science (ICA), (García et al., 2016) isolated,
como candidatas a probiótico. Estos autores identified and characterized lactic bacteria, of
encontraron que Lactobacillus pentosus LB- 31 fue avian origin, as probiotic candidates. These
la cepa más promisoria y se evaluaron en ensayos authors found that Lactobacillus pentosus LB-
biológicos. Aunque, consideraron que otras cepas 31 was the most promising strain and they
identificadas en el estudio, como Pediococcus were evaluated in biological assays.
pentosaceus LB-25, pudieran incluirse en Although, they considered that other strains
probióticos multiespecies, que potencien los efectos identified in the study, such as Pediococcus
benéficos de cultivos de cepas individuales, así pentosaceus LB-25, could be included in
como en formulaciones (García et al. 2017). multispecies probiotics, which enhance the
En la literatura científica existen modelos para beneficial effects of individual strain cultures,
describir el crecimiento microbiano entre los cuales as well as in formulations (García et al. 2017).
se destacan el exponencial, el de Monod, la
ecuación logística y el de Gompertz. Sin embargo,
su selección depende de la cepa en estudio y sus In the scientific literature there are models to
condiciones de cultivo. Por lo que, la selección de describe microbial growth, among which the
un modelo matemático adecuado es una exponential, the Monod, the logistic equation
herramienta útil para obtener de forma rápida los and the Gompertz stand out. However, its
selection depends on the strain under studyRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
parámetros de crecimiento de los microorganismos and its cultivation conditions. Therefore, the
de interés como las cepas Lactobacillus y selection of a suitable mathematical model is
Pediococcus. a useful tool to quickly obtain the growth
parameters of the microorganisms of interest
Por ello se realiza una modelación matemática
such as Lactobacillus and Pediococcus
partiendo de las variables respuesta, para describir
strains.
y predecir el crecimiento de las bacterias, que son
los objetivos principales del ajuste de modelos
matemáticos para el estudio. La finalidad del Therefore, a mathematical modeling is carried
out starting from the response variables, to
describe and predict the growth of bacteria,
ajuste de modelos matemáticos al crecimiento se
which are the main objectives of the
dirige fundamentalmente a resumir, en tres o cuatro
adjustment of mathematical models for the
parámetros, las características productivas y lograr
study. The purpose of the
su interpretación biológica, en el caso de los
modelos no lineales. Igualmente son indicados
para evaluar el perfil de respuesta del The adjustment of mathematical models to
tratamiento en el transcurso del tiempo, además growth is fundamentally aimed at
de estudiar cambios en estos a partir de varias summarizing, in three or four parameters, the
temperaturas. productive characteristics and achieving their
Los estándares actuales de seguridad y calidad biological interpretation, in the case of non-
alimentaria sólo pueden ser satisfechos a través de linear models. They are also indicated to
un conocimiento detallado del comportamiento de evaluate the response profile of treatment
los microorganismos patógenos durante el ciclo de over time, in addition to studying changes in
vida del producto. La microbiología predictiva ha these from various temperatures.
demostrado ser clave en este aspecto. Esta rama Current food safety and quality standards can
intenta describir el comportamiento de un only be satisfied through a detailed
microorganismo bajo unas condiciones ambientales knowledge of the behavior of pathogenic
dadas a través de modelos matemáticos (Garre microorganisms during the life cycle of the
Pérez et al., 2016). product. Predictive microbiology has proven
to be key in this regard. This branch tries to
describe the behavior of a microorganism
Un modelo microbiológico predictivo, es una
under given environmental conditions through
expresión matemática que describe el crecimiento,
mathematical models (Garre Pérez et al.,
la supervivencia, la inactivación o proceso
2016).
bioquímico de un microorganismo de origen
alimentario. El desarrollo de los modelos
matemáticos no solo se basa en encontrar la A predictive microbiological model is a
ecuación que describa el comportamiento de un mathematical expression that describes the
conjunto de datos sino en determinar modelos growth, survival, inactivation or biochemical
precisos y versátiles al mismo tiempo (Salgado, process of a microorganism of food origin.
2013). The development of mathematical models is
not only based on finding the equation thatRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
describes the behavior of a data set, but on
determining precise and versatile models at
1.2 Clasificación de modelos the same time (Salgado, 2013).
De acuerdo con la cantidad de datos y el
conocimiento dentro de un campo particular, se
desarrollan modelos con diferentes niveles de 1.2 Classification of models
complejidad. La clasificación de los modelos ha According to the amount of data and
sido intentada anteriormente, pero no se pueden knowledge within a particular field, models
hacer delimitaciones definidas, ya que los modelos with different levels of complexity are
generalmente poseen características de más de un developed. The classification of the models
grupo. has been tried before, but no definite
delimitations can be made, since the models
generally have characteristics of more than
Los modelos de simulación se clasifican en dos
one group.
grandes grupos: empíricos y mecanicistas. Los
primeros son descriptivos, se derivan de datos
observados sin Simulation models are classified into two
large groups: empirical and mechanistic. The
former are descriptive, they are derived from
involucrar procesos fisiológicos y tienen escasa
observed data without involve physiological
capacidad explicativa. Por el contrario, los modelos
processes and have little explanatory capacity.
mecanicistas poseen capacidad explicativa de la
On the contrary, mechanistic models have the
fisiología del cultivo. No obstante, dentro de estas
ability to explain the physiology of the crop.
clasificaciones existen otras categorías, que de
However, within these classifications there
acuerdo a sus características han sido
are other categories, which according to their
nombradas de diferente forma. Los modelos
characteristics have been named differently.
que estudian las relaciones biológicas para describir
Models that study biological relationships to
el comportamiento de un sistema se les denominan
describe the behavior of a system are called
modelos mecanísticos, a diferencia de los modelos
mechanistic models, as opposed to empirical
empíricos que describen las relaciones matemáticas
models that describe mathematical
entre los datos.
relationships between data.
Modelos empíricos o descriptivos: los modelos
Empirical or descriptive models:
matemáticos que son desarrollados a partir de datos
mathematical models that are developed from
obtenidos experimentalmente, reciben el nombre de
experimentally obtained data are called
modelos empíricos; estos son de gran interés,
empirical models; These are of great interest,
debido a que describen los datos de crecimiento
because they describe growth data under
bajo condiciones específicas. Entre los modelos
specific conditions. Among the most
más representativos de este grupo se encuentra el
representative models of this group is the
modelo de Gompertz, el modelo de raíz cuadrada y
Gompertz model, the square root model and
sus modificaciones. Dichos modelos son utilizados
their modifications. These models are used to
para describir la velocidad de crecimiento y otrosRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
parámetros en función de condiciones describe the growth rate and other parameters
experimentales como la temperatura, el pH, entre based on experimental conditions such as
otras. temperature, pH, among others.
La ecuación de Gompertz modificada se representa The modified Gompertz equation is
mediante un modelo no lineal. La simplicidad y represented by a non-linear model. The
facilidad de uso de esta ecuación ha permitido que simplicity and ease of use of this equation has
sea ampliamente utilizada, por ejemplo para allowed it to be widely used, for example to
describir las curvas de crecimiento de cultivos describe the growth curves of indicator
indicadores, así como para modelar el crecimiento cultures, as well as to model the growth of
de microorganismos causantes de deterioro en spoilage microorganisms in cooked vacuum-
carnes cocidas empacadas al vacío y para describir packed meats and to describe the life useful of
la vida útil de productos cárnicos. meat products.
Modelos mecanísticos: en cuanto a los modelos Mechanistic models: in terms of mechanistic
mecanicistas se diferencian de los empíricos, models, they differ from empirical ones,
debido a que estos parten de una base teórica because they start from a biological
biológica, la cual obliga al modelo a adaptarse a la theoretical basis, which forces the model to
realidad biológica mediante una hipótesis adapt to biological reality through a specific
determinada, en consecuencia, estos modelos hypothesis, consequently, these models
explican con más exactitud los datos explain more accuracy of the experimental
experimentales aunque no se ajusten con tanta data even if they do not fit as closely as the
exactitud como los modelos empíricos a los datos empirical models to the data used for the
utilizados para la generación del modelo. Dentro de generation of the model. Among these
estos modelos se destacan los que predicen la tasa models, those that predict the growth rate as a
de crecimiento en función de la temperatura o function of temperature or those that describe
aquellos que describen la velocidad de catálisis the speed of enzymatic catalysis at low
enzimática a bajas temperaturas, entre otros temperatures, among others (Salvador, 2013).
(Salvador, 2013).
Static and dynamic models: they represent
Modelos estáticos y dinámicos: representan relationships between variables that do not
relaciones entre las variables que no se modifican change over time and, therefore, their final
en el tiempo y, por tanto, se conoce su valor final y value is known and not their evolution over
no su evolución en el tiempo. Los modelos time. Dynamic models describe the way in
dinámicos describen el modo en el cual el sistema which the system changes over time and,
cambia en el tiempo y, por lo tanto, es posible therefore, it is possible to follow the temporal
seguir la evolución temporal de cada una de las evolution of each of the system variables.
variables del sistema.
Deterministic and stochastic models: theyRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
Modelos determinísticos y estocásticos: atribuyen attribute a single value to each variable in the
un solo valor a cada variable del sistema. Hacen system. They make predictions for quantities
predicciones para cantidades sin ninguna without any associated probability
distribución probabilística asociada, varianza o distribution, variance, or random element.
elemento aleatorio. En los sistemas biológicos y Variations are normal in biological and
agrícolas son normales las variaciones. Cuando la agricultural systems. When the variation and
variación y la incertidumbre alcanzan un nivel alto, uncertainty reach a high level, it is advisable
se hace recomendable desarrollar un modelo to develop a stochastic model that gives an
estocástico que dé un valor medio esperado con una expected mean value with an associated
varianza asociada. Sin embargo, los modelos variance. However, stochastic models tend to
estocásticos tienden a ser difíciles de manipular y be difficult to manipulate and quickly become
rápidamente se vuelven muy complejos. very complex.
Los modelos cinéticos son aquellos que se Kinetic models are those that are developed to
desarrollan para explicar el crecimiento de los explain the growth of microorganisms in
microorganismos en términos de las variables terms of environmental variables such as
ambientales tales como la temperatura, el pH o la temperature, pH or water activity. Likewise,
actividad de agua. Igualmente, pueden ser incluidas other variables such as gaseous atmosphere or
otras variables como la atmósfera gaseosa o el redox potential, relative humidity, nutrient
potencial redox, la humedad relativa, el contenido content and antimicrobial properties can be
de nutrientes y las propiedades antimicrobianas. included. These models are useful when
Estos modelos son útiles al momento de explicar el explaining the behavior of microorganisms
comportamiento de los microorganismos durante el during the process or storage time, however,
tiempo de proceso o almacenamiento, sin embargo, they are difficult to construct, because they
son de difícil construcción, debido a que requieren require a large amount of microbial count
de gran cantidad de datos de recuentos data.
microbianos.
On the other hand, it can be said that as time
Por otro lado, se puede decir que en la medida que increases, so does variability, eventually to
incrementa el tiempo también lo hace la the point where kinetic models are replaced
variabilidad, eventualmente hasta el punto en que by probability models. The moment of change
los modelos cinéticos se sustituyen por modelos de between the types of models is conditioned by
probabilidad. El momento de cambio entre los tipos the level of confidence that is sought, that is,
de modelos se encuentra condicionado por el nivel the probability of failure or consequence of
de confianza que se pretenda, es decir, la failure "risk" (T. McMeekin et
probabilidad de fallo o consecuencia de fracaso
“riesgo” (T. McMeekin et
al., 2008). Probabilistic models are commonly
used to estimate the limits of growth / no
al., 2008). Los modelos probabilísticos son growth or production / no production of toxin,
comúnmente empleados para estimar los límites de for example such models are useful in makingRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
crecimiento/no crecimiento o producción/no decisions about the formulation, packaging
producción de toxina, por ejemplo dichos modelos and storage of a product based on the
son útiles en la toma de decisiones sobre la probability of risk (Salvador, 2013).
formulación, el envasado y almacenamiento de un
producto basados en la probabilidad de riesgo
(Salvador, 2013). Another widely used microbiological model
to predict the growth of microorganisms is the
logistic model, which uses the same terms to
Otro modelo microbiológico ampliamente utilizado determine the growth kinetic parameters of
para predecir el crecimiento de los the lag phase, growth rate, and generation
microorganismos es el modelo logístico, el cual time. The logistic equation is represented by
emplea los mismos términos para determinar los the equation (Mitchell et al., 2004):
parámetros cinéticos de crecimiento de la fase de
latencia, la velocidad de crecimiento y el tiempo de
generación. La ecuación logística es representada
por la ecuación (Mitchell et al., 2004):
1.2 Regression models. Estimation
methods and goodness of fit
1.3 Modelos de regresión. Métodos de
estimación y bondad de ajuste In general, a mathematical model is very
useful when you want to discover the
relationship that exists between a dependent
En general un modelo matemático es muy útil variable and one or more independent
cuando se quiere descubrir la relación que existe variables, the objective of which is to
entre una variable dependiente y una o más correctly explain a phenomenon under study.
variables independientes, cuyo objetivo es explicar However, these differ by the type of variables
de manera correcta un fenómeno bajo estudio. Sin that are analyzed, which is why it is prudent
embargo, estos se diferencian por el tipo de to know that when the response variable and
variables que se analizan, es por ello que resulta the independent variable are quantitative, a
prudente conocer que cuando la variable respuesta regression analysis is used.
y la independiente son cuantitativas se emplea un
análisis de regresión.
The concept of regression refers to the
experimental law or mathematical formula
El concepto de regresión hace referencia a la ley that translates the relationship between
experimental o fórmula matemá- tica que traduce la correlated variables. Generally, when you
relación entre variables correlacionadas. want to put one variable in function of
Generalmente cuando se quiere poner una variable another (or others), you go to the well-known
en función de otra (o de otras), se acude al bien resource of linear regression (simple orRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
conocido recurso de la regresión lineal (simple o multiple). This function typically uses the
múltiple). Esta función utiliza normalmente el least squares method and works arithmetically
método de mínimos cuadrados y funciona smoothly.
fluidamente desde el punto de vista aritmético.
There are occasions in which the relationship
Hay ocasiones en las que la relación que puede that can occur between independent variables
darse entre variables independientes y la variable and the dependent variable does not have a
dependiente no tenga un desarrollo lineal, sino que linear development, but instead have, for
tengan, por ejemplo, un crecimiento exponencial. example, an exponential growth. In those
En esos casos, el modelo de regresión no lineal cases, the nonlinear regression model comes
entra en juego y permite que obtengamos una into play and allows us to obtain an
aproximación de los valores de la variable approximation of the values of the dependent
dependiente en un entorno no lineal. Tengamos variable in a nonlinear environment. Let us
presente que el proceso de una regresión no lineal bear in mind that the process of a nonlinear
es más complejo, ya que puede no coincidir el regression is more complex, since the number
número de parámetros con el de las variables of parameters may not coincide with that of
independientes. the independent variables.
Un modelo de regresión es un modelo matemático A regression model is a mathematical model
que busca determinar la relación entre una variable that seeks to determine the relationship
dependiente (Y), con respecto a una o varias between a dependent variable (Y), with
variables independientes (X). El modelo busca respect to one or more independent variables
determinar cuál será el impacto sobre la variable Y (X). The model seeks to determine what the
ante un cambio en las variables explicativas (X). impact will be on variable Y in the event of a
change in the explanatory variables (X).
Regression models include a set of statistical
Con el nombre de modelos de regresión se incluyen
techniques that try to explain how the
un conjunto de técnicas estadísticas que tratan de
dependent variable or result is modified, when
explicar cómo se modifica la variable dependiente
one or more other variables, called
o resultado, cuando cambian otra u otras variables,
independent or predictors, change. What
denominadas independientes o predictoras. Lo que
characterizes the different classes of
caracteriza en principio a las distintas clases de
regression models in principle is the nature of
modelos de regresión es la naturaleza de la variable
the dependent variable; Thus, with continuous
dependiente; así, con variables continuas la clase de
variables, the class of linear regression
modelos de regresión lineal es la más utilizada
models is the most used (Rodríguez et al.,
(Rodríguez et al., 2018).
2018).
Existen varias opciones para estimar un modelo de
There are several options for estimating a
regresión, entre los que destacan por su facilidad de
regression model, among which the linear
aplicación e interpretación, el modelo de regresión
regression model and the logistic regressionRevista Ciencia Universitaria. ISBN: 978-959-16-4723-8 Vol. 20 No. 1 (enero-abril).2022
lineal y el modelo de regresión logística. Teniendo model stand out for their ease of application
en cuenta el tipo de variable a estimar (variable and interpretation. Taking into account the
dependiente o respuesta) se aplica un modelo de type of variable to be estimated (dependent
regresión u otro. Simplificando, cuando la variable variable or response), a regression model or
dependiente es una variable continua, el modelo de another is applied. Simplifying, when the
regresión más frecuentemente utilizado es la dependent variable is a continuous variable,
regresión lineal, hay diferentes métodos para la the most frequently used regression model is
estimación de los parámetros de los modelos linear regression, there are different methods
lineales y no lineales. El de mínimos cuadrados es for estimating the parameters of linear and
el de uso más frecuente para el ajuste de los non-linear models. Least squares is the most
parámetros en la regresión lineal. Otro tipo de frequently used for adjusting the parameters
modelos de regresión utilizados, son la regresión no in linear regression. Another type of
lineal que estiman una serie de modelos regression model used is nonlinear regression
matemáticos que pueden ajustarse mejor que un that estimates a series of mathematical models
modelo lineal (Peláez, 2016). that can be better adjusted than a linear model
(Peláez, 2016).
The logistic regression models applied to the
Los modelos de regresión logística aplicados a las
health sciences allow us to analyze the results
ciencias de la salud nos permiten el análisis de los
in explanatory and predictive terms, being
resultados en términos explicativos y predictivos,
able to know the strength of the risk factors
pudiendo conocer la fuerza de los factores de riesgo
independently and to know the predictive
de una manera independiente y conocer el valor
value of each one of them or of the model as a
predictivo de cada uno de ellos o bien del modelo
whole.
en su conjunto.
The logistic equation is one of the most used,
La ecuación logística es una de las más utilizadas,
as it provides an adequate approximation of
pues brinda una adecuada aproximación de toda la
the entire growth curve, which includes the
curva de crecimiento, donde se incluyen la fase de
lag phase and the cessation of growth in the
retardo y el cese del crecimiento en las últimas
last phases of fermentation, in a single
fases de la fermentación, en una sola ecuación
equation (Mitchell and von Meien, 2000).
(Mitchell y von Meien, 2000). Esta ecuación
This equation allows describing the growth of
permite describir el crecimiento de cualquier
any microorganism, as well as of mixed
microorganismo, así como de las poblaciones
populations, and the biomass content of
mixtas y se puede determinar además el contenido
fermentation can also be determined, which is
de biomasa producto de la fermentación, el cual es
equivalent to one percent protein.
equivalente con un por ciento de proteínas.
Different mathematical models have been
Diferentes modelos matemáticos han sido
used to describe animal growth. Given that
utilizados para describir el crecimiento animal.
animal growth does not follow a linear trend,
Dado que el crecimiento animal no sigue una
it is necessary to explore non-linear empirical
tendencia lineal es necesario explorar modelosTambién puede leer
