EL PROBLEMA DE LA TRANSPARENCIA DIDÁCTICA DEL PARÁMETRO EN LOS TEXTOS DE ESTADÍSTICA
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EL PROBLEMA DE LA TRANSPARENCIA
DIDÁCTICA DEL PARÁMETRO EN LOS TEXTOS
DE ESTADÍSTICA
SOLANGE ARANZUBÍA VERA, BLANCA ROSA RUIZ HERNÁNDEZ,
LAUTARO VÁSQUEZ ORTIZ, JOSÉ ARMANDO ALBERT HUERTA Y
ÁLVARO CORTÍNEZ PONTONI
RESUMEN
El parámetro, cuya estimación y validación es central en rámetro a lo largo de los contenidos de un curso introducto-
la inferencia estadística, aparenta simplicidad en el discur- rio de probabilidad y estadística universitario. Los resultados
so escolar, pero oculta una complejidad no atendida. Esta muestran algunas inconsistencias e incluso la omisión de una
investigación busca dar evidencia de este problema desde la conceptualización clara del parámetro en el discurso de los
perspectiva didáctica de los libros de texto con relación a la libros de texto, así como que su simplicidad es solo hecho
articulación de los diferentes significados que se le da al pa- aparente.
l estudio de los conteni- Actualmente la estadísti- inferencias implícitas que las personas
dos estadísticos se ha ido ca está presente desde el nivel de ense- realizan de las informaciones en base a
incrementando en los úl- ñanza primaria y secundaria. En Chile, extrapolaciones que en muchos casos pue-
timos años. Prácticamente por ejemplo, en los últimos años el den resultar muy simplistas, pero que de
todas las carreras univer- Ministerio de Educación ha incrementado todas formas llevan intrínsecamente un ra-
sitarias tienen al menos una asignatura de los contenidos de estadística en la ense- zonamiento estadístico asociado.
estadística o relacionada con ella. Incluso ñanza básica y media. Con esto se preten- En los cursos regulares
en carreras que aparentemente puedan re- de responder en gran medida a la deman- de estadística para carreras universitarias,
sultar muy distantes, como Derecho, tal y da del medio, en que cada vez se están la inferencia estadística es la culminación
como lo señalan al afirmar Corona y utilizando más conceptos estadísticos que de una secuencia de conocimientos que
Martínez (2011:4): "la estadística posibili- requieren la comprensión de las personas. parte desde la estadística descriptiva. La
ta la reducción y lectura de la realidad al Fuera de las aulas, la es- simple descripción de datos es insuficiente
generar instrumentos que aceleren el en- tadística se ha ido introduciendo en la para poder hacer estimaciones o predic-
tendimiento de la eficacia de la ley ante cultura general de la sociedad. Es común ciones. Se requieren métodos probabilísti-
la sociedad" (pág. 4). ver las interpretaciones de datos, las cos para poder incorporar y entender la
PALABRAS CLAVE / Educación Superior / Enseñanza de la Estadística / Libros de Texto / Parámetro /
Recibido: 05/10/2020. Modificado: 09/11/2021. Aceptado: 11/11/2021.
Solange Aranzubía Vera. Magíster y Doctor en Ciencia mención Matemática, Universidad de
Santiago de Chile. Profesora, Universidad Central de Chile.
Blanca Rosa Ruiz Hernández. Maestría en Educación Matemática, Instituto Politécnico
Nacional, México. Doctora en Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, España. Profesora, Instituto Tecnológico de
Monterrey, México.
Lautaro Vásquez Ortiz. Maestría en Matemática, Instituto Nacional de Matemática Pura e
Aplicada, Brasil. Profesor, Universidad de Tarapacá, Chile.
José Armando Albert Huerta. Maestría y Doctorado en Matemática Educativa, Centro de
Investigación y de Estudios Avanzados, Instituto Politécnico Nacional, México. Profesor, Instituto Tecnológico de Monterrey, México.
Álvaro Cortínez Pontoni (Autor de correspondencia). Doctor en Estadística, Universidad
Complutense de Madrid, España. Profesor, Universidad de Tarapacá, Chile. Dirección: Departamento de Matemática, Universidad de
Tarapacá. Av. 18 de Septiembre Nº 2222, Casilla 7-D, Arica, Chile. E-mail: acortinezp@academicos.uta.cl
416 0378-1844/14/07/468-08 $ 3.00/0 NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11incertidumbre inherente a todo experimen- estadístico x̄ al plantear las pruebas de hi- diversas dimensiones como las epistemo-
to u acción. Juntas, la estadística descrip- pótesis. Sin embargo, desde la matemática lógica, cognitiva, cultural y de enseñanza.
tiva y la probabilidad, permiten realizar determinística hay más estudios. Uno de De esta forma, no atiende exclusivamente
inferencias sobre los parámetros y las ellos, de Ursini y Trigueros (2004), donde al aprendizaje de los conceptos y procesos
poblaciones. se muestra que los parámetros son núme- matemáticos, sino que incorpora a la in-
La estadística inferencial ros generales que llaman ‘de segundo or- vestigación dimensiones sociales, históri-
está centrada en gran parte en el paráme- den’, es decir, que generalizan expresiones cas, culturales e institucionales, que per-
tro. En el contexto de las variables alea- que solo consideran números. Aparecen miten efectivamente la construcción del
torias, los parámetros permiten identificar cuando representan familias de expresio- conocimiento matemático (Soto y
y generalizar los modelos de probabilidad. nes de primer orden, es decir, familias de Cantoral, 2014). Esta investigación aborda
En la inferencia estadística se avanza un ecuaciones, familias de funciones o fami- solo un aspecto de la dimensión de ense-
paso más, al realizarse preguntas sobre los lias de expresiones abiertas. El parámetro ñanza: los libros de texto con relación a
parámetros. En primer lugar, se analizan asume el rol de ‘desconocido’, lo que lle- los significados que le dan al concepto de
los valores que los parámetros podrían to- va a reconocer que dicho parámetro repre- parámetro a lo largo del discurso de sus
mar en la población, en base a los datos senta algo que puede ser determinado. contenidos. Se espera que los resultados
recogidos de las muestras. Se definen sus Debe ser posible interpretarlo consideran- aporten conocimiento sobre el estado del
estimadores y se buscan las mejores esti- do que representa valores específicos que problema didáctico relativo al parámetro.
maciones posibles en función de los datos se pueden determinar considerando las El objetivo del trabajo es
disponibles. A continuación, y basándose restricciones dadas en los problemas analizar el tratamiento que le dan al con-
en las distribuciones en el muestreo, se específicos. cepto de parámetro en diferentes manuales
realizan las estimaciones por intervalos. En Espinel et al. (2007) universitarios de estadística.
De esta forma, se da un rango de valores se mencionan dificultades por parte de los
que podría tomar el parámetro desconoci- estudiantes para discernir entre parámetro, Metodología
do, con una cierta certeza. Otra de las estimador y estimación. Ellos muestran
funciones de la inferencia estadística radi- “el problema de discernir entre el paráme- Se realizó un análisis de
ca en realizar preguntas acerca de los pa- tro que se estima (constante desconocida) textos, con relación al concepto de pará-
rámetros e incluso comparaciones entre y el estimador que se usa para ello (varia- metro, de los libros de texto más frecuen-
posibles parámetros. Por lo tanto, el estu- ble aleatoria función de la muestra), e in- tes de estadística elemental de tres univer-
dio de la inferencia estadística tiene como cluso de la estimación obtenida con los sidades de Chile, México y España:
eje central a los parámetros. De ahí la im- datos muestrales (valor específico)” Universidad de Tarapacá (UTA),
portancia de que sea abordado por la co- (Espinel et al., 2007: 18), lo cual posible- Tecnológico de Monterrey (ITESM) y
munidad científica de educación estadísti- mente se deba a la confusión entre pobla- Universidad Carlos III de Madrid
ca. Este trabajo busca dar los primeros ción y muestra. (UC3M). Se escogieron estas universida-
pasos en esa dirección. Ely y Adams (2012) tra- des de manera intencionada, porque los
La problemática que tra- tan al parámetro simplemente como un autores han tenido vinculación con ellas a
ta esta investigación es el hecho que el coeficiente específico que tomará un nú- lo largo de sus carreras. Esta intención al
parámetro estadístico no sea tratado desde mero particular. Ellos toman además, escoger las instituciones no debería influir
su perspectiva propia que tiene en la esta- como referencia, el estudio de Bardini et en el resultado del estudio, pues se está
dística en general y en la didáctica de la al. (2005) sobre el pensamiento algebraico trabajando con textos y manuales de esta-
estadística. En particular, se busca dar de los estudiantes acerca de la variable. dística que son transversales a las institu-
evidencia del problema desde un ángulo Lo ligan con la comprensión del concepto ciones. Además, se incluyen dos libros de
de la enseñanza: los libros de texto. Se de parámetro, un elemento indeterminado textos considerados ‘clásicos’ que, si bien
utilizará la expresión ‘transparencia del pero fijo de ‘los valores tomados’ por una no son muy utilizados como libros de tex-
parámetro’ en el sentido de Chevallard variable. La paradójica naturaleza episté- to en los cursos hoy en día, sí lo fueron
(1992): hay objetos matemáticos que pare- mica de este objeto algebraico se basa en durante varias generaciones pasadas y aún
cen existir per se, lo cual se debe a la na- su aparente contradicción: es un número siguen siendo relevantes como libros de
turaleza de las prácticas asociadas, las en particular, fijo, pero que se mantiene consulta. En esta revisión se analiza, en
cuales los convierten en transparentes. Se indeterminado y que no es un número ac- cada texto, su estructura general, defini-
muestra la secuencia de significados que tual. Esto se visualiza en un estudio cog- ción de parámetro y significado de este
toma el parámetro en el discurso del desa- nitivo realizado por Cortínez et al. (2015), concepto en tres grandes momentos dis-
rrollo temático de libros de texto de esta- donde se observa que la imprecisión del cursivos que aluden al concepto de pará-
dística para estudiantes universitarios. De concepto genera un vacío en el conoci- metro: estadística descriptiva, distribucio-
esta forma se pretende poner en evidencia miento por parte de los estudiantes. De nes de probabilidad e inferencia estadísti-
la transparencia didáctica que tiene el sig- esta forma, en estadística se asume el pa- ca. Se concluye con una descripción de la
nificado del parámetro en los libros de rámetro ‘matemático’, especialmente en secuencia de significados presentados a lo
texto. las distribuciones de probabilidad. No se largo del desarrollo del contenido temático
realizan especiales cuestionamientos acer- del libro.
Estado actual de la investigación ca de su naturaleza epistemológica. Más Para realizar el estudio
educativa con relación al parámetro bien es tratado como un valor desconoci- se escogieron asignaturas equivalentes o
do y generalizador. similares en cuanto a contenidos en las
El parámetro como tal tres instituciones, en las áreas de
no ha sido objeto de estudio en la didácti- Marco de Referencia Ingeniería y de Administración de
ca de la estadística más que muy tangen- Empresas. Específicamente, se trata de las
cialmente. Tal es el caso de Vallecillos La naturaleza de un pro- primeras asignaturas de estadística que los
(1999) cuando menciona que los estudian- blema didáctico suele ser compleja y en estudiantes tienen en las carreras seleccio-
tes suelen confundir el parámetro μ con el él intervienen de manera sistémica nadas. Todas ellas se basan en que los
NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11 417estudiantes han cursado previamente algu- capítulo de introducción y estadística des- significado. La inferencia estadística está
na asignatura de matemática, teniendo ya criptiva, luego uno de probabilidad segui- enfocada en obtener conclusiones acerca
cierta base en álgebra y cálculo. En todas do de variables aleatorias, uni y bidimen- de uno o más parámetros de una pobla-
estas asignaturas se revisó el programa y sionales, distribuciones de probabilidad y ción. Una parte importante de este proce-
se extrajeron los libros de texto propues- los capítulos de inferencia. Finalmente, so es la obtención de estimadores de los
tos en ellos. Se obtuvo la siguiente hay capítulos de regresión, diseño de ex- parámetros. A continuación, se habla de
información: perimentos, estadística no paramétrica y parámetro o de parámetro poblacional de
Texto 1: Montgomery y Runger (2012) control estadístico de la calidad. forma indistinta. Se afirma que una apli-
Estadística Aplicada y Probabilidad para El parámetro en la esta- cación de la estadística es obtener estima-
Ingenieros. Asignaturas en que se utiliza: dística descriptiva: En el capítulo de esta- dores puntuales de parámetros tales como
Probabilidad y Estadística para Ingeniería dística descriptiva, dos de las secciones la media y la varianza de la población y
(ITESM, UTA). están dedicadas a medidas descriptivas. se propone utilizar las letras griegas para
Hasta entonces no se hace alusión al pará- representar dichos parámetros. Un ejemplo
Texto 2: Anderson, Sweeney y Williams metro. Sin embargo, en la primera de inmediato es el de la variable aleatoria
(2012) Estadística para Administración y ellas se definen la media muestral y me- con distribución normal de media ‘no co-
Economía. Asignaturas en que se utiliza: dia poblacional. Más aún, a la media po- nocida’ μ, afirmándose que "la media
Estadística y Probabilidad para Ingeniería blacional, que se considera como el pro- muestral es un estimador puntual de la
Comercial (UTA), Estadística para inge- medio de todas las observaciones de la media no conocida de la población".
nierías (ITESM). población, se le denota con la letra griega Resumen: En estadística
Texto 3: Newbold, Carlson y Thorne μ. Si existe un número finito de observa- descriptiva no se menciona el parámetro,
(2013) Estadística para Administración y ciones, digamos N, la media poblacional pero se alude a él al referirse a las medi-
Economía. Asignaturas en que se utiliza: es das descriptivas calculadas a partir de la
Estadística para Administración de población y asignándole letras griegas
Empresas (UC3M), Estadística para como notación. Lo mismo ocurre para va-
Ingeniería Comercial (UTA). riables aleatorias y aunque aquí sí se
Texto 4: Walpole, Myers y Myers (2012) menciona el parámetro, no es definido. En
Probabilidad y Estadística para Ingeniería Para poblaciones infini- inferencia se utiliza la notación anterior-
y Ciencias. Asignaturas en que se utiliza: tas se anuncia que en los próximos capí- mente introducida, sin dar una definición
Estadística para Ingenierías (UC3M, tulos se proporcionará una definición más formal de parámetro.
UTA). general de μ. Para la mediana poblacional
Texto 5: Devore (2012) Probabilidad y se utiliza la notación . De manera simi- Texto 2 (Anderson, Sweeney y Williams,
Estadística para Ingeniería y Ciencias. lar a lo que ocurre con la media, se hace 2012)
Asignaturas en que se utiliza: una distinción entre la varianza muestral
Probabilidad y Estadística para Ingeniería (s2) y la poblacional (σ2). Estructura del texto: Este
(ITESM), Estadística y Probabilidad para Cabe señalar que se está texto consta de tres capítulos de estadísti-
Ingeniería Comercial (UTA). introduciendo desde ya, aunque de forma ca descriptiva, uno de probabilidad y dos
Además, se escogieron muy simple, la idea de estimación: "La de variables aleatorias. A continuación tie-
dos libros de textos considerados clásicos, media muestral puede emplearse para ha- ne un capítulo de muestreo y distribucio-
en el sentido que han sido utilizados por cer inferencias sobre la media poblacional. nes muestrales, y cinco capítulos de infe-
varias generaciones de estadísticos y pro- De manera similar, la varianza muestral rencia estadística (el último de pruebas de
fesores de estadística, por lo que son con- puede utilizarse para hacer inferencias so- bondad de ajuste e independencia). Luego
siderados textos valiosos que perduran a bre la varianza poblacional" (Montgomery siguen capítulos de análisis de la varianza,
través del tiempo: y Runger, 2012: 17). regresión, números índices, series de tiem-
El parámetro en probabi- pos y métodos no paramétricos.
Texto Clásico 1: Meyer (1992) lidades y variables aleatorias: En el capí- El parámetro en la esta-
Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. tulo de variables aleatorias surge nueva- dística descriptiva: En el capítulo 3 se
Texto Clásico 2: Mood y Graybill (1963 mente el concepto de media (esperanza) y presentan las medidas numéricas de la es-
Introduction to the theory of statistics. varianza, utilizándose la notación μx y σx2, tadística descriptiva. Ya en la introducción
Debe quedar claro que el respectivamente. Se justifica realizando se menciona el parámetro, haciéndose la
estudio no es comparativo de las asignatu- una analogía entre probabilidad y propor- distinción de si las medidas numéricas se
ras entre las universidades. Se trata de ana- ción de un número grande de repeticiones calculan con los datos de la muestra (‘es-
lizar el concepto de parámetro en los libros del experimento. tadísticos muestrales’) o de la población
de textos que esas asignaturas utilizan. Los modelos de probabi- (‘parámetros poblacionales’). Además, se
lidad son introducidos utilizando ya direc- menciona que, en inferencia estadística, al
Resultados tamente el término ‘parámetro’. No se da estadístico muestral se le conocerá como
una definición específica, aunque se da a estimador puntual del correspondiente pa-
A continuación se mues- entender, a través de la secuencia de los rámetro poblacional. El mismo capítulo
tra, para cada uno de los siete textos se- temas tratados, que tienen relación con la termina con un glosario en que define:
leccionados, la estructura dl mismo, así idea de media y varianza poblacional, "Parámetro poblacional: Valor numérico
como el tratamiento que le da al concepto aunque en los ejercicios propuestos se ob- que resume una población (por ejemplo,
de parámetro. serva que parámetros y medidas caracte- la media poblacional μ, la varianza pobla-
rísticas no son lo mismo. cional, σ2 y la desviación estándar pobla-
Texto 1 (Montgomery y Runger, 2012) El parámetro en la infe- cional, σ)" (Anderson et al., 2012: 125).
rencia estadística: En el capítulo de esti- El parámetro en probabi-
Estructura del texto: La mación de parámetros, se utiliza el con- lidades y variables aleatorias: El concepto
estructura del libro consiste en un primer cepto directamente, sin profundizar en su de parámetro surge nuevamente al tratar
418 NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11el modelo normal, para definir la media y parámetro. Por ejemplo, ¿Es 1,5 por cien- de probabilidad. Después un tema de dis-
la varianza. to un parámetro o un estadístico? tribución en el muestreo para seguir con
El parámetro en la infe- Por otra parte, es intere- inferencia estadística en dos capítulos.
rencia estadística: En el capítulo de mues- sante destacar que desde la estadística Continúa con regresión lineal simple y
treo y distribuciones muestrales se vuel- descriptiva se está introduciendo la nota- múltiple, análisis de la varianza de uno,
ven a definir los parámetros como "las ción que habitualmente se utiliza para pa- dos factores y diseños 2k. Luego hay un
características numéricas de una pobla- rámetro, distinguiéndola de la de capítulo de estadística no paramétrica y
ción" (Anderson et al., 2012: 258), estipu- estadístico: otro de control estadístico de la calidad.
lándose como principal propósito de la in- El texto finaliza con un breve capítulo de
ferencia estadística la realización de esti- Media poblacional: estadística bayesiana.
maciones y pruebas de hipótesis acerca de El parámetro en la esta-
los parámetros poblacionales usando la Media muestral: dística descriptiva: La primera alusión al
información que proporciona la muestra. parámetro surge en la introducción, al pre-
Llama la atención que en este texto siem- siendo N y n los tamaños poblacionales y sentar la inferencia estadística, cuyo pro-
pre se habla de ‘parámetros poblacionales’ muestrales, respectivamente. pósito "es obtener conclusiones acerca de
en vez de ‘parámetros’ simplemente. El parámetro en probabi- las características o parámetros" (Walpole
Resumen: El parámetro lidades y variables aleatorias: No se vuel- et al. 2012: 12).
surge desde los capítulos de estadística ve a hablar de parámetro en el capítulo de En el contexto de las
descriptiva como una medida obtenida a probabilidad ni de variables aleatorias y medidas características el parámetro apa-
partir de la población y dando una defini- surge recién nuevamente al introducir el rece recién después de las medidas de dis-
ción formal como medida de resumen de modelo de Poisson. Obsérvese que antes persión, haciendo alusión a la inferencia
la población. En modelos de probabilidad, de este modelo, en el libro se habían pre- estadística nuevamente, donde se busca
el parámetro sigue siendo una medida de sentado el Bernoulli, binomial e hiper- obtener conclusiones acerca de las carac-
resumen. Finalmente, en la inferencia es- geométrico donde si bien había paráme- terísticas de la población. "Entre tales ca-
tadística, el parámetro es definido de for- tros, estos no fueron mencionados como racterísticas son constantes los denomina-
ma general como característica numérica tales. En el modelo normal se relaciona el dos parámetros de la población" (Walpole
de la población. parámetro con las medidas descriptivas, et al. 2012: 16). Se mencionan ‘dos pará-
de modo que μ y σ2 "producen diferentes metros importantes’: media de la pobla-
Texto 3 (Newbold, Carlson y Thorne, efectos en la función de densidad de una ción y varianza de la población.
2013) variable aleatoria normal". El parámetro en probabi-
El parámetro en la infe- lidades y variables aleatorias: En el capítu-
Estructura del texto: Este rencia estadística: Al tratarse el capítulo lo de esperanza matemática, luego de ver
libro de texto tiene una estructura similar muestreo y distribuciones en el muestreo las variables aleatorias, se menciona el pa-
a los anteriores: estadística descriptiva, la ‘proporción muestral’, se menciona rámetro como característica de la naturale-
probabilidad y variables aleatorias, infe- nuevamente el modelo binomial, pero tra- za general del sistema (modelo). Los pará-
rencia y, luego, capítulos que puedan te- tándose como parámetro solo "la propor- metros ‘importantes’ que se mencionan
ner aplicaciones más específicas al área, ción de miembros de la población que tie- son la media de una distribución, que ‘re-
tales como regresión, análisis de la va- nen una característica de interés", deján- fleja una tendencia central’, la varianza o
rianza y series de tiempo, entre otros. dose a n como un valor fijo, pero no la desviación estándar, que ‘reflejan la va-
El parámetro en la esta- identificándolo como parámetro. En el riabilidad en el sistema’, y la covarianza,
dística descriptiva: Ya en la sección de mismo capítulo se introduce, además, el que ‘refleja la tendencia de dos variables
muestreo se definen el parámetro y el es- modelo ‘Ji cuadrado’, donde su parámetro aleatorias a 'moverse juntas' en un siste-
tadístico: "Un parámetro es una caracte- corresponde a los grados de libertad. ma’. De esta forma, en el momento de tra-
rística específica de una población. Un Los capítulos de inferen- tar los modelos de probabilidad se hace
estadístico es una característica específica cia estadística aparecen como una conti- alusión a sus parámetros de forma directa.
de una muestra" (Newbold et al., 2013: nuación de los capítulos anteriores, pues El parámetro en la infe-
4). En el párrafo anterior hace una rela- se mantiene el concepto de parámetro rencia estadística: En el capítulo de distri-
ción del cálculo de la media de una mues- como ya había sido tratado, considerándo- buciones muestrales se introduce la idea
tra y de la población, llamándola en el lo un ‘valor desconocido’ que se ha de de estimación: "Nuestro principal propósi-
primer caso estadístico y en el segundo estimar. to al seleccionar muestras aleatorias con-
parámetro. Y finaliza dicho párrafo con: Resumen: El parámetro siste en obtener información acerca de los
"En este libro veremos cómo se toman es definido desde el comienzo del texto parámetros desconocidos de la población"
decisiones sobre un parámetro, basándose como una característica de la población, (Walpole et al. 2012: 227). En los si-
en un estadístico. Debemos darnos cuenta ejemplificándose con las medidas caracte- guientes capítulos se habla de la estima-
de que siempre habrá una cierta incerti- rísticas habituales. Desde entonces se in- ción de los parámetros de la perspectiva
dumbre, ya que no se conoce el valor duce la idea de estimación. clásica y bayesiana.
exacto del parámetro". Es decir, realiza Resumen: El parámetro
una proyección hacia la inferencia estadís- Texto 4 (Walpole, Myers y Myers, 2012) es introducido junto a los elementos gene-
tica. Además, el hecho de hablar de incer- rales del libro. En estadística descriptiva
tidumbre del parámetro, da pie a que es Estructura del texto: La se relaciona con el cálculo de las medidas
necesario estudiarlo más a fondo. estructura de este libro de texto comienza descriptivas poblacionales. Lo mismo se
Cabe señalar que hay con un capítulo de introducción y estadís- hace en los modelos de probabilidad. En
una sección de ejercicios relacionados con tica descriptiva. Le sigue un capítulo de inferencia, la estimación de parámetros es
el parámetro donde hay preguntas que po- introducción a la probabilidad y cinco ca- realizada desde los puntos de vista clásico
drían ayudar a clarificar el concepto de pítulos de variables aleatorias y modelos y bayesiano.
NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11 419Texto 5 (Devore, 2012) aplicaciones a la teoría de confiabilidad. A de probabilidad, específicamente con el
inferencia estadística se le dedica final- modelo binomial, donde se hace además
Estructura del texto: El mente tres capítulos: uno de distribuciones una distinción entre un parámetro discreto
texto comienza con un capítulo de genera- en el muestreo, otro de estimación y el (n) y un parámetro continuo (p). Al ser la
lidades y estadística descriptiva, seguido último de pruebas de hipótesis. Es, por lo primera vez que se alude al parámetro, se
de uno de probabilidad. A continuación, tanto, tal como su título lo indica, un li- hace de la siguiente forma: “La función
se tienen tres capítulos sobre variables bro dedicado en gran parte a las probabi- Binomial contiene dos variables, p y n de
aleatorias. La inferencia se ve en varios lidades y variables aleatorias. carácter distinto; para una distribución bi-
capítulos, empezando por estimación pun- El parámetro en probabi- nomial determinada, p y n deben tener va-
tual, y luego en intervalos de confianza y lidades y variables aleatorias: El concepto lores numéricos dados. Las variables de
pruebas de hipótesis para una y dos mues- de parámetro surge en el capítulo 4 al este tipo reciben el nombre de parámetros
tras. Le siguen capítulos de análisis de la presentar el modelo binomial. Sin embar- ” (Mood y Graybill, 1962: 77).
varianza, análisis de regresión, pruebas de go, no se define y se mantiene ausente Sin embargo, no es defi-
bondad de ajuste y no paramétricas, ter- luego hasta el capítulo 7 (Otras nido hasta entonces y luego, durante el
minando con un capítulo de control de Características de las variables aleatorias), resto del texto, se habla del parámetro, se
calidad. donde se esboza una idea de su papel: estudia e incluso se realiza toda la infe-
El parámetro en probabi- “Con cada distribución de probabilidades rencia respecto a él, sin haberlo definido.
lidades y variables aleatorias: El concepto podemos asociar ciertos parámetros que Llama la atención que al parámetro se re-
de parámetro surge recién en el capítulo dan información valiosa acerca de la dis- fiera como variable, como una directa in-
de distribuciones de probabilidad y se co- tribución (tal como la pendiente de una terpretación de la definición matemática
mienza con una definición: “Supóngase recta proporciona una información útil de parámetro.
que p(x) depende de la cantidad que pue- acerca de la relación lineal que represen- El parámetro en la infe-
de ser asignada a cualesquiera de varios ta)” (Meyer, 1992: 153). En este mismo rencia estadística: En el primer capítulo
valores posibles y cada valor determina capítulo se asocia la idea de parámetro de estimación (estimación puntual) se
una distribución de probabilidad diferente. con la de esperanzas, varianzas y de coe- menciona el parámetro θ, como “que de-
Tal cantidad se llama parámetro de distri- ficiente de correlación: “Aunque hay una termina la distribución f(x;θ) de la pobla-
bución” (Devore, 2012: 94). fuerte semejanza entre el promedio ponde- ción que va a ser muestreada” (Mood y
Se ejemplifica con un rado y la definición de E( X ) , es impor- Graybill, 1962: 185). Además se asume
caso que hace recordar el parámetro en el tante señalar que este último es un núme- que θ proviene de un espacio paramétrico
contexto matemático: ro (parámetro) asociado con una distribu- Θ.
ción de probabilidades teórica, mientras Resumen: No se define
que el primero es simplemente el resulta- el concepto de parámetro. Es tratado
do de combinar un conjunto de números como una variable al igual que los pará-
de una manera especial” (Meyer, 1992: metros matemáticos. Se introducen los
Obsérvese que dentro de 156). conceptos de parámetro discreto y conti-
los argumentos de la ‘función de masa de El parámetro en la infe- nuo para el modelo binomial.
probabilidad’ se incluye α, lo cual puede rencia estadística: Al comenzar los capítu-
dar a entender que dicho parámetro tam- los de inferencia, se presenta el parámetro Discusión
bién es aleatorio. directamente como: un número, descono-
El parámetro en la infe- cido, que caracteriza a la distribución de La mayoría de los libros
rencia estadística: En el capítulo de esti- probabilidades. Cabe señalar que se da la de texto de estadística y probabilidad para
mación puntual se hace alusión al paráme- posibilidad de que el parámetro sí sea co- ingeniería y administración de empresas
tro como ‘característica de la población’. nocido, pero a partir de estudios previos. tienen una estructura similar: estadística
Se busca así un número (estimador) para Después, se centra el texto en realizar in- descriptiva, introducción a las probabilida-
que "represente una buena suposición del ferencias habituales sobre los parámetros. des, variables aleatorias e inferencia esta-
valor verdadero del parámetro" (Devore, Resumen: No hay una dística. Luego hay capítulos por lo gene-
2012: 227). Durante el resto del libro, se definición del parámetro. Se empieza rela- ral más específicos, como modelos de re-
habla del parámetro como un valor cionándolo con el parámetro matemático gresión, análisis de la varianza, control de
desconocido. para continuar caracterizando a las distri- calidad, series de tiempo, confiabilidad.
Resumen: El parámetro buciones de probabilidad. Es tratado como Es en esta estructura que hemos observa-
no es considerado en el capítulo de esta- un número desconocido. do cómo se ha desarrollado la idea del
dística descriptiva. El parámetro es pre- parámetro a lo largo del libro. En primer
sentado en el contexto de las distribucio- Texto Clásico 2 (Mood y Graybill, 1962) lugar, interesa ver cómo es tratado el pa-
nes de probabilidad como un elemento rámetro en estadística descriptiva.
generalizador. En inferencia es introducido Estructura del texto: El parámetro es tratado
como una característica de la población. Después de una introducción comienza in- como una medida descriptiva poblacional,
mediatamente con teoría de probabilida- asignándosele en algunos casos desde el
Texto Clásico 1 (Meyer, 1992) des, seguido de cuatro capítulos de varia- inicio la notación con letras griegas que
bles aleatorias. Con un capítulo de mues- se suele usar en los modelos de probabili-
Estructura del texto: Este treo, el resto del libro se dedica a inferen- dad e inferencia estadística. Además, es
es un libro clásico, con el que se forma- cia estadística, incluyendo regresión lineal posible observar que en algunos textos ya
ron en probabilidad muchos profesionales. y algunos modelos de análisis de la se está apuntando hacia la estimación e
Su estructura comienza con tres capítulos varianza. inferencia. Sin embargo, de los textos tra-
de probabilidad, pasando luego a nueve El parámetro en probabi- tados, algunos hacen una introducción ge-
temas relacionados con variables aleato- lidades y variables aleatorias: El paráme- neral al libro y a la estadística, haciendo
rias uni y multidimensionales, incluyendo tro surge por primera vez en los modelos alusión al parámetro desde entonces. Se
420 NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11observa, por ejemplo, la separación entre definición, pero sí se da una idea de su tienen básicamente esta estructura: esta-
estadístico y parámetro. Es posible, inclu- significado, introduciendo además la dis- dística descriptiva, probabilidad y varia-
so, encontrar la definición habitual de ‘ca- tinción entre parámetros dicretos y ble aleatoria, inferencia, otros temas (re-
racterística de la población’, a diferencia continuos. gresión, análisis de la varianza, etc.). El
del estadístico que sería una ‘característica ¿Es el parámetro fijo o problema surge a la hora de definir el
de la muestra’. En los libros de texto no aleatorio? Esta es una cuestión que no parámetro. No siempre se define, de he-
siempre se define el parámetro, más bien queda aclarada en la revisión que se reali- cho. Nos encontramos con situaciones en
se alude a él como si se tratara de la con- zó a los textos. El parámetro es exrpesado que el parámetro surge recién en los mo-
tinuación de un concepto ya tratado (p.ej. desde distintos puntos de vista, como una delos de probabilidad, sin definición al-
Walpole et al., 2012). variable o una cantidad desconocida guna, dándoseles el papel que en la ma-
En algunos textos el pa- (Mood y Graybill, 1963), un número des- temática tenían: generalizador. Pero no
rámetro no aparece en la estadística des- conocido (Devore, 2012), constantes toma el parámetro la importancia que
criptiva, surgiendo recién en los modelos (Meyer 1992), valor fijo y desconocido realmente tiene antes de la inferencia es-
de probabilidad. En algún caso, es posible (Walpole et al., 2012), un valor numérico tadística. Es en estos capítulos, los de in-
observar el parámetro como un elemento (Newbold et al., 2013), o una característi- ferencia, donde el parámetro es el objeto
implícito, matemático, transparente, pero ca numérica de la población (Anderson et de estudio y todos los análisis se centran
sin aludirlo (Devore, 2012). Pero lo más al., 2012). en él. Sin embargo, se ve que, en gene-
común es que, dado que ya se tiene que Antes de finalizar este ral, los textos no se detienen antes a con-
utilizar en las funciones de probabilidad, análisis, no queremos dejar de lado la cla- textualizar el parámetro. Evidentemente,
el concepto surja al final en los capítulos ra relación que algún texto hace entre pa- el concepto matemático de parámetro es
de variables aleatorias. Y lo hace princi- rámetro estadístico y parámetro matemáti- tomado en un segundo lugar, después de
palmente cuando se calculan las medidas co. De hecho, se pudo observar dos textos las variables. Sí queda claro que es una
características de las variables aleatorias, que hacen alusión directa al parámetro cantidad desconocida, que podría ser fija
siendo por lo tanto el parámetro asimilado como un elemento matemático. Surge la o aleatoria, según el texto. Asimismo, al
a una media y varianza. Lo más común duda, entonces, si al no definir los textos asociarse el parámetro a medidas caracte-
es, sin embargo, asociar la idea de pará- el parámetro, ¿estarán suponiendo que el rísticas de la población, se hace una rela-
metro inmediatamente a un ejemplo. En estudiante tomará el concepto de sus co- ción en estadística descriptiva con los es-
ciertos textos el concepto de parámetro nocimientos de matemática? ¿Es lo mismo tadísticos. Sin embargo, con esta forma
está solo presente en un segundo plano, un parámetro matemático que un paráme- de plantearlo, se está apuntando solamen-
incluso al mencionarse los modelos tro estadístico? te a los parámetros que efectivamente re-
Bernoulli y binomial, donde claramente se presentan medidas características, dejando
tienen parámetros. Conclusiones de lado aquellos que no lo son
En resumen, entre esta- directamente.
dística descriptiva y modelos de probabili- El parámetro estadístico Los libros de textos tie-
dad se ha podido observar que el paráme- parece existir per se. Desde que los es- nen diferentes formas de definir el pará-
tro es un elemento que si bien está pre- tudiantes se enfrentan a la estadística, metro, cuando lo hacen. En general coin-
sente, no siempre es definido. Su presen- tratan el parámetro como si lo hubieran ciden en que los parámetros caracterizan a
cia se basa en considerarlo una medida conocido ya desde antes. Esto se refleja la población. También tienen como ele-
característica de la población en clara ana- en los manuales de estadística común- mento común el hecho de asociar los pa-
logía a las medidas características de la mente utilizados en las carreras rámetros a medidas características pobla-
muestra. universitarias. cionales. Esto puede resultar un poco am-
En inferencia estadística El parámetro estadístico biguo, pues un parámetro no siempre es
el parámetro difícilmente puede estar au- es un elemento esencial a lo largo de los una medida característica (por ejemplo los
sente. Se deja claro que lo que se busca cursos de estadística. En estadística des- parámetros del modelo binomial, geomé-
es encontrar estimadores de los paráme- criptiva se estudian diferentes medidas trico, beta, gamma, etc.). Si en un curso
tros, así como realizar pruebas de hipóte- que buscan explicar los fenómenos de la se usa más de un libro de texto, quedará
sis acerca de ellos. Se mantiene, en gene- población en estudio a través de muestras. más en evidencia esta ambigüedad, pues
ral, la idea de que el parámetro es una Se trata, por tanto, de un primer acerca- rara vez coincide la conceptualización en-
característica de la población, sin ahondar miento a estudiar características de la po- tre un libro y otro. En todos los textos,
más en el concepto. blación. Elementos como promedio, me- incluídos los considerados ‘clásicos’, pare-
En cuanto a los textos diana, moda, entre otros, no son más que ciera asumirse que el estudiante conoce de
que fueron tratados como ‘clásicos’, en herramientas para poder describir la mues- antemano el parámetro. Es necesario reali-
ninguno de los dos el parámetro es defini- tra y, a través de ella, a la población. Más zar una profunda meditación sobre este
do formalmente. El libro de Meyer (1992) adelante, los modelos de probabilidad es- concepto, que en sí es muy distinto en su
no incluye estadística descriptiva. Se men- tán construidos en base a los parámetros. conceptualización estadística que
ciona el parámetro con el modelo bino- Los diferentes modelos son planteados de matemática.
mial y, más adelante, se trata de dar una forma general, haciendo que los paráme-
idea de su papel, asociándolo a los pará- tros los identifiquen como particulares. Es AGRADECIMIENTOS
metros matemáticos (pendiente de una en la inferencia estadística donde se co-
recta, por ejemplo) y a las medidas carac- mienzan a plantear dudas sobre el pará- Lautaro Vásquez Ortiz
terísticas más habituales: esperanza, va- metro, se le estima y se le confronta con fue parcialmente financiado por el proyec-
rianza y coeficiente de correlación. Por su otros valores posibles. De esta forma, el to UTA Mayor 4748-20, Universidad de
parte, el libro de Mood y Graybill, que parámetro consigue ser un eje del estudio Tarapacá, Chile. Alvaro Cortínez Pontoni
tampoco contiene un capítulo de estadísti- de la estadística. fue parcialmente financiado por el
ca descriptiva, menciona el parámetro al Los libros de texto que Proyecto de Educación 4731-15,
tratar el modelo binomial. No se da una se han estudiado en el presente trabajo Universidad de Tarapacá, Chile.
NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11 421REFERENCIAS estudiantes universitarios. En Flores R (Ed.) Newbold P, Carlson W, Thorne B (2013)
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parámetros en los modelos de probabilidad en Nueva York, EUA. 536 pp. 739 pp.
THE TEACHING TRANSPARENCY PROBLEM OF THE PARAMETER IN STATISTICS TEXTBOOKS
Solange Aranzubía Vera, Blanca Rosa Ruiz Hernández, Lautaro Vásquez Ortiz, José Armando Albert Huerta and Álvaro Cortínez
Pontoni
SUMMARY
The parameter, whose estimation and validation is central in meanings given to the parameter along the contents of an intro-
the statistical inference, feigns simplicity in the school speech, ductory college course in probability and statistics. The results
but it hides a non-attended complexity. This investigation seeks show some inconsistencies and even the omission of a clear
to provide evidence of this problem from the didactic perspec- conceptualization in the language of textbooks, as well as that
tive of the textbooks regarding the articulation of the different its simplicity is only apparent.
O PROBLEMA DA TRANSPARÊNCIA DIDÁTICA DO PARÂMETRO EM LIVROS DE TEXTO DE ESTATÍSTICA
Solange Aranzubía Vera, Blanca Rosa Ruiz Hernández, Lautaro Vásquez Ortiz, José Armando Albert Huerta e Álvaro Cortínez
Pontoni
RESUMO
O parâmetro, cuja estimação e validação é central na inferên- atribuídos ao parâmetro ao longo dos conteúdos de um curso in-
cia estatística, parece simples no discurso escolar, mas esconde trodutório de probabilidade e estatística universitária. Os resul-
uma complexidade não atendida. Esta pesquisa procura eviden- tados mostram algumas inconsistências e até mesmo a omissão
ciar este problema do ponto de vista didático dos livros de texto de uma conceituação clara do parâmetro no discurso do livro de
no que se refere à articulação dos diferentes significados que são texto, assim como sua simplicidade é apenas aparente.
422 NOVEMBER 2021 • VOL. 46 Nº 11También puede leer
