Profesorado en Matemática - AÑO 2018 - TALLER DE INGRESO - insup.com.ar
←
→
Transcripción del contenido de la página
Si su navegador no muestra la página correctamente, lea el contenido de la página a continuación
Provincia del Chaco
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR “SAN FERNANDO REY”
TALLER DE INGRESO
Profesorado en Matemática
AÑO 2018Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
ÍNDICE
Módulo I
Conjuntos Numéricos-Operaciones…………………………. Pág. 3
Módulo II
Función, Función Lineal y Cuadrática……………………..Pág. 17
Módulo III
Ecuación Lineal, Cuadrática
y Sistema de Ecuaciones …………………………………….Pág. 27
Módulo IV
Expresiones Algebraicas…………………….………………..Pág. 31
Página 2Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
MODULO I - CONJUNTOS NUMÉRICOS, OPERACIONES Y PROPIEDADES1
UN POCO DE HISTORIA
NATURALES: Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el
hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de
madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Luego aparecen los símbolos gráficos
como por ejemplo marcas en una vara. En la Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C.
aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en
formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla. Este sistema de numeración fue adop-
tado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en
la Antigua Roma.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una
base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postula-
dos, que después precisó Peano, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su
nombre.
El conjunto de los números naturales es .
ENTEROS: Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o
“números absurdos”, datan de una época donde el interés central era el de convivir con los
problemas cotidianos a la naturaleza.
Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en Oriente, y no llega hasta
Occidente hasta el siglo XVI. En Oriente se manipulaban números positivos y negativos,
utilizando los ábacos, con tablillas o bolas de diferentes colores. Sin embargo, los chinos no
aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corres-
ponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban
como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.
La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán
Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los po-
sitivos y m para los negativos.
El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, la operación de resta, por ejemplo 5 – 9 que
resulta un número que no es natural, crea otro conjunto, que es el conjunto de los números
negativos. Los números naturales junto con los negativos y el cero, formarán luego el con-
junto de los números enteros, definido como:
RACIONALES: Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de
60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En
la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo,
o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la
serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y deno-
minador en las fracciones.
A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números de-
cimales tal y como los conocemos hoy.
1
Elaborado por: Lic. Lelia Plaquin, Mg. Laura Ochoa Gabriela Melgarejo y Merecedes Flores
Página 3Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se
expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero
los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).
A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribi-
mos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los nú-
meros decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico
Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.
Las divisiones del tipo4 : 5 carece de sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesi-
dad de extender el sistema de los números enteros, a uno nuevo en el que tengan sentido
tales operaciones, creándose así el sistema de los números racionales, que se simboliza
con la letra Q y se define como:
REALES: Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una
base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exi-
gente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño»,
«límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y pro-
blemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear en la matemática, una base rigu-
rosa del concepto de número real.
Aparecen números de creación académica de la Matemáticas que no tienen nada que ver
con la realidad. El ejemplo, el número , , llamados números irracionales.
La unión de los dos tipos de números, racionales e irracionales, constituyen los números
reales y se simboliza con la letra ℝ.
NATURALES:
1.- Algunas características de los números naturales son:
I. Todo número mayor que 1 va después de otro número natural.
II. Entre dos números naturales no consecutivos siempre hay un número finito de natu-
rales.
III. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que este.
IV. Entre el número natural y su sucesor no existe ningún número natural.
V. Es un conjunto discreto
2.- Las operaciones que se verifican son:
I. Adición: dados dos números naturales cualesquiera considerados sumandos,
la suma de ambos también es un natural. Por ej.: 12 + 35 = 47
II. Multiplicación: dados dos números naturales cualesquiera considerados facto-
res, el producto de ambos también es un natural. Por ej.: 12 . 30 = 360
Página 4Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Para resolver operaciones del tipo 35 – 50 = -15 ó 10 : 4 = 2,5 se deben recurrir a otros
campos numéricos.
3.- Las propiedades que se cumplen son:
Adición:
I. Ley de cierre: 2 es un natural y 4 es un natural luego 2 + 4 = 6 es un natural
II. Ley conmutativa: 15 + 13 = 13 + 15
III. Ley asociativa: 10 + ( 15 + 13) = (10 + 15) + 13
Multiplicación:
I. Ley de cierre : 2 es un natural y 4 es un natural, luego 2.4 = 8 es un natural
II. Ley conmutativa: 8.3 = 3.8
III. Ley asociativa: (8.3). 5 = 3.(8.5)
IV. Elemento neutro: el 1 es el neutro ya que 3 .1 = 1 . 3 = 3
Ley distributiva del producto respecto de la adición: 3. (2 + 5) = 3.2 + 3.5
ENTEROS: Las siguientes notaciones indican:
Z+ como los enteros positivos
Z-, como los enteros negativos
El cero no tiene signo, es neutro, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el
nexo entre estos dos.
Las reglas de los signos - Operaciones con números enteros
Para operar con números enteros generalmente es necesario memorizar las reglas de los
signos:
Más por más, es más: (+) x (+) = (+) Por ejemplo: (+ 2) x (+ 6) = + 12
Más por menos, es menos: (+) x (-) = (-) Por ejemplo (- 2) x (+ 6) = - 12
Menos por menos, es más: (-) x (-) = (+) Por ejemplo (- 2) x (- 6) = + 12
¿Razonamos juntos, para encontrar el significado de estas reglas?
El resultado del cálculo pues dado que se trata de
una suma de opuestos y que la multiplicaciónpor cero da por resultado 0.
Pero como al ampliar los conjuntos numéricos pasando de los naturales a los enteros se
mantienen las propiedades de los naturales, entre ellas, la propiedad distributiva de la multi-
plicación respecto de la suma.
En el siguiente el cálculo y aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto
de la suma, se tiene:
.
¡Hemos probado entonces la conocida regla más por menos es menos!
¿Seguimos redescubriendo la regla de signos?
Dado el siguiente cálculo:
, ya que se trata de una suma de opuestos y
que la multiplicación por cero da por resultado 0.
Pero
Página 5Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
¡Hemos probado entonces la conocida regla menos por menos es más!
RACIONALES
I. Fracciones de las formas:
II. Decimales:
a. Decimales con un número finito de cifras decimales. Por ejemplo:
217.809
2,17809
100.00
b. Decimales con infinitas cifras decimales periódicas. Por ejemplo:
4,0777 4,07
Operaciones:
I. Aditivas: procedimientos no convencionales – expresiones equivalentes – y algorít-
micos.
;
II. Multiplicación: asociada a la noción de superficie. El sgte. problema permitirá encon-
trar el significado a la noción de multiplicación entre números fraccionarios.
“La Municipalidad de Villa Ángela donó un sector de un terreno para la construcción de una
escuela. El sector construido ocupará 2/3 del ancho ¾ del largo del terreno. ¿Qué superficie
ocupará la escuela, si se toma como unidad de medida el área de todo el terreno? “
III. División: asociado al concepto del inverso multiplicativo y la división por la unidad.
La regla dice: “Para dividir un número fraccionario por otro, se multiplica el primer núme-
ro por la fracción inversa del segundo”. Por ejemplo:
Esto es cierto porque cualquier división si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo
número, el cociente de la división no cambia.
Por ejemplo: 12: 4 = 3, luego 12 x 2 =24 y 4 x 2 = 8, entonces 24: 8 = 3.
Esta propiedad se cumple también al dividir números fraccionarios.
En la división Pero la división de cualquier número por 1 da
por resultado ese mismo número, entonces Podemos usar este procedi-
miento para dividir cualquier par de números fraccionarios.
Página 6Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
¡Hemos encontrado el sentido de las técnicas de resolución de las operaciones con
fracciones!
Observaciones: El conjunto de los racionales es denso, porque entre dos números raciona-
les cualesquiera, se pueden encontrar infinitos racionales.
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
Desde sus inicios históricos a partir de conocimientos empíricos y como resultado de expe-
riencias directas, pasando por los antiguos griegos y su sistematización, la Geometría ha
recorrido un largo camino hasta nuestros días.
Si consideramos que, como cuerpo de conocimientos matemáticos, la Geometría es la cien-
cia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales, se
torna necesario reflexionar acerca de las similitudes y diferencias entre esas distintas mira-
das geométricas, teniendo en cuenta que comparten el mismo objeto de estudio. Los tópicos
de geometría abarcados en este módulo brindarán al futuro docente la posibilidad de una
visión integradora de muchas cuestiones geométricas en apariencia inconexas.
Se trabajará las relaciones existentes entre los conceptos geométricos y los conceptos de
otras áreas de la matemática: como ecuaciones, operaciones, etc.
Ángulos
Se toma un punto del plano y partiendo de ese punto, se trazan dos semirrectas. A la inter-
sección formada por las dos semirrectas se le llama ángulo.
Definición de ángulo
Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo
origen llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.
Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
El vértice del ángulo es el punto de intersección es origen de los lados.
Clasificación de ángulos.
Los tipos de ángulos son:
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso > 90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Completo = 360°
Nulo = 0°
Página 7Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas.
Cómo medir ángulos usando el transportador
Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo generalmente se utiliza el
transportador.
Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmen-
te.
Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del án-
gulo que se forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales.
Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los
rayos que forman el ángulo, mayor es la cantidad de grados que este mide.
Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:
1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.
2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el
ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto ha-
cia la derecha en la escala interna.
Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:
1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.
2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.
Triángulo
Un triángulo es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que
se cortan, denominados lados. Los puntos donde se cortan estos segmentos, y que eviden-
temente nunca estarán alineados, se denominan vértices.
Elementos básicos del triángulo
Altura es cada una de las perpendiculares trazadas desde un lado al vértice opuesto.
Vértices
Página 8Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Lados
Ángulos interiores y exteriores
Clasificación de triángulos
Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:
Por sus lados
Por sus ángulos
Clasificación de triángulos según sus lados
Triángulo equilátero
Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden grados).
Triángulo isósceles
Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la
misma medida.
Triángulo escaleno
Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con
la misma medida.
Clasificación de triángulos según sus ángulos
Triángulo Rectángulo
Si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les
denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo
Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90° ); los otros dos son agudos (menor de ).
Triángulo acutángulo
Cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de
triángulo acutángulo.
Triángulo equiángulo
Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.
Propiedades generales
Página 9Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y por lo tanto cuatro vértices que se nom-
bran como en el ejemplo de la figura
.
La diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. En el ca-
so de los cuadriláteros tenemos dos: AC y BD. Cada diagonal de un cuadrilátero divide a
este en dos triángulos.
Siempre: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suma 360º.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
La primera gran división que podemos realizar es cuadriláteros convexos y cuadriláteros no
convexos, llamados puntas de flecha o deltoides.
CUADRILÁTERO NO CONVEXO (CÓNCA-
CUADRILÁTERO CONVEXO
VO)
Cada uno de los ángulos interiores es menor
de 180º. Uno de los ángulos (D) es mayor de 180º.
O bien, dados dos puntos cualesquiera inte- Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales
riores al cuadrilátero, el segmento que los que el segmento PQ tenga puntos, X, exterio-
une tiene todos sus puntos interiores al cua- res al cuadrilátero
drilátero.
Atendiendo al paralelismo de sus lados se pueden clasificar en dos grupos principa-
les:
o Paralelogramos: son aquellos cuadriláteros que tienen todos los lados opuestos pa-
ralelos dos a dos. Como características generales de los paralelogramos podemos
enumerar las siguientes:
Los lados opuestos siempre son iguales. Miden lo mismo.
También son iguales sus ángulos opuestos.
Dos ángulos consecutivos son complementarios.
Las diagonales se bisecan, es decir, se cortan en sus puntos medios y ambos que-
dan divididos en sus mitades.
Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales.
Página 10Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Cuadrado: es el cuadrilátero regular. Por lo tanto todos sus lados y ángulos
son iguales. Dichos ángulos son rectos (90º). Sus dos diagonales son iguales
y se cortan formando también ángulos rectos.
Rectángulo: son cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales dos a
dos y ángulos rectos (90º). Sus diagonales también son iguales, pero al cor-
tarse no forman ángulo de 90º.
Rombo: es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángu-
los (distintos a 90º) sólo son iguales al opuesto. Sus diagonales tienen medi-
da distinta, pero si forman ángulo recto.
Romboide: son cuadriláteros que tienen lados y ángulos que solamente son
iguales a su opuesto. Sus diagonales no miden lo mismo y se cortan forman-
do ángulos distintos a 90º.
Otra característica particular es que en el cuadrado y el rombo, las diagonales son las bisec-
trices de los ángulos de la figura.
o No paralelogramos: son todos aquellos cuadriláteros que no cumplen la condición
de los paralelogramos.
Dentro de esta categoría podemos distinguir dos grandes grupos.
Trapecios: Son cuadriláteros que sólo tienen dos lados opuestos iguales.
A su vez se pueden clasificar en tres tipos.
Trapecios rectángulos: tienen dos ángulos rectos.
Trapecios isósceles: sus lados no paralelos miden lo mismo y sus án-
gulos son iguales dos a dos.
Trapecios escalenos: tienen todos los ángulos y lados desiguales.
Trapezoides: Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro.
A su vez se pueden clasificar en tres tipos.
Trapezoides rectángulos: tienen un ángulo recto.
Trapezoides bisósceles: tienen dos pares de lados iguales y son con-
secutivos. También tiene dos ángulos opuestos iguales. Sus diagona-
les forman ángulo recto.
Trapezoides escalenos: tienen todos los ángulos y lados desiguales.
Página 11Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
1. Circunferencia
Si ponemos una moneda sobre el papel y pasamos un lápiz alrededor de su borde obte-
nemos una circunferencia. Con el compás también podemos dibujar una circunferencia. La
aguja del compás es el centro.
La circunferencia es una curva cerrada de la que todos sus puntos están a la misma dis-
tancia del centro.
Página 12Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
2. Elementos de la circunferencia.
Radio es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto de la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Equivale a dos radios.
El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Arco es una porción de la circunferencia.
La secante corta a la circunferencia en dos puntos.
La tangente toca a la circunferencia en un punto.
La recta que no toca a la circunferencia se llama exterior.
3.- El círculo
La circunferencia es una línea. El aro es un ejemplo de circunferencia.
El círculo es una porción de la superficie plana limitada por la circunferencia.
Tiene dos dimensiones. La cara de una moneda es un ejemplo de círculo.
4.- Elementos del círculo
El diámetro divide al círculo en dos semicírculos.
La parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama sector circular. Si el
sector circular comprende la cuarta parte del círculo, se llama cuadrante.
La corona circular es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas (que
tienen el mismo centro).
Página 13Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
OPERACIONES CON EL SISTEMA SEXAGESIMAL
Para operar en el sistema sexagesimal debemos tener en cuenta que cada unidad se divide
en 60 unidades de orden inferior.
1h 60 min 60 s
1º 60' 60''
Suma
1º. Se disponen las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minu-
tos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
2º. Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los
segundos y el cociente se sumará a los minutos.
3º. Igual para los minutos.
Página 14Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Resta
1º. Se disponen las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minu-
tos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
2º. Se restan los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, pasamos un minuto
del minuendo a 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación
restamos los segundos.
3º. Igual con los minutos.
Multiplicación por un número
1º. Se multiplican los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.
2º. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los
segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
3º. Se hace lo mismo para los minutos.
División por un número
Dividir 37º 48' 25'' entre 5
1º. Se dividen las horas (o grados) entre el número.
2º. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
Página 15Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
3º. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minu-
tos.
4º. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
Página 16Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
MODULO II – FUNCIÓN, FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA2
UN POCO DE HISTORIA: LA EVOLUCIÓN DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN
EDAD ANTIGUA: La función como variación:
Los matemáticos y astrónomos babilónicos, en su intento por aritmetizar las ob-
servaciones que eran difícilmente medibles, tales como: compilación de las efeméri-
des del sol, de la luna y de los planetas, problemas de variaciones continuas de la
luminosidad de la luna en intervalos de tiempo iguales, o los períodos de visibilidad
de un planeta en relación con el ángulo que éste forma con el sol, y es por ello que
profundizaron métodos cuantitativos tabulando datos, interpolando y extrapolando,
en busca de regularidades.
Establecieron relaciones sistemáticas entre las variaciones de las causas y
los efectos: los fenómenos sujetos al cambio, tales como el calor, la luz, la distancia,
la velocidad, etc. Estas magnitudes variables encierran la presencia potencial de
medidas, que las plasmaban en tablas dispuestas en dos columnas, de forma análo-
ga a las tablas de valores actuales.
La función como proporción:
Si bien las ideas de cambio y de cantidad variable estaban presentes en el pen-
samiento griego, los problemas del movimiento, de la continuidad, del infinito habían
sido examinados desde la época de Heráclito y de Zenón, y, además una gran parte
de la filosofía natural aristotélica estaba consagrada al estudio de estas cuestiones.
Es por ello que en el pensamiento griego existía una idea primitiva de función conte-
nida en las nociones de cambio y relación entre magnitudes variables y situaban al
cambio y al movimiento como algo externo a la Matemática.
EDAD MEDIA: La función como gráfica:
El cambio más significativo ocurrido durante la Edad Media estuvo dado por el
acercamiento entre la Matemática y las Ciencias de la Naturaleza, y los principales
núcleos de desarrollo fueron las escuelas de Oxford y París.
El principal representante de la escuela francesa es Nicolás Oresme, quien ya en
el siglo XIV utiliza el grafismo para representar los cambios y así describirlos y com-
pararlos. Se vale de segmentos para representar las intensidades de una cualidad
de una determinada magnitud continua que depende de otra magnitud continua. Es-
tas gráficas representaban las relaciones desde lo cualitativo más que desde lo
cuantitativo, pues los gráficos se consideraban como modelos geométricos de las
relaciones y no necesitaban representar fielmente dichas relaciones.
2
Elaborado por: Lic. LeliaPlaquin, Mg. Laura Ochoa
Página 17Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Introducción de la representación analítica
A principios del siglo XVII, Fermat y Descartes descubren el mundo de la re-
presentación analítica al conectar los problemas de dos ramas de la matemática: la
Geometría y el Algebra.
Comienza a formarse la geometría Analítica como un método de expresión de
la relación numérica establecida entre determinadas propiedades de objetos geomé-
tricos, utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Se sostiene por pri-
mera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la de-
pendencia entre dos cantidades variables.
EDAD MODERNA:
Nace en el siglo XVII y continúa con Euler y Lagrange en el siglo XVIII. Se
pensaba que las únicas funciones dignas de estudio eran las que podían ser des-
criptas por medio de expresiones algebraicas. Se intentaron resolver problemas de
la Física. Permanece aún la idea de asignar la variación a las “cantidades”.
Aparece la idea de función no continua. Leibniz habla de “función f(x)”, donde
expresa la idea general de dependencia funcional, introduciendo el término función,
donde aparece en sus manuscritos en el año 1673.
EDAD CONTEMPORÁNEA: La función como correspondencia arbitraria de
aplicación
Esta idea de función como aplicación aparece con los últimos trabajos de
Euler sobre “funciones arbitrarias”, (siglo XVIII), continuando en el siglo XIX con los
de Fourier sobre series trigonométricas y los de Cauchy, Dedenkind y otros sobre
números reales.
A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de co-
rrespondencia general: se dice que “una cantidad es función de otra u otras”,
aunque no se conozca porque operaciones atravesar para llegar de una a la otra.
El término función se corresponde con la expresión f(x), y más tarde se repre-
sentará como: f(x). Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva re-
presentación: los diagramas de Venn.
FUNCIONES
CONCEPTO DE FUNCIÓN: Es una relación entre los elementos de dos conjuntos,
de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos
del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer
conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto.
A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x,
que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde
Página 18Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos va-
riable dependiente.
A la relación la representamos por la letra f y escribimos y = f(x)
Dado que trabajaremos con funciones que van de Reales en Reales, daremos las
definiciones basadas en dicho conjunto:
f es una función o aplicación de R en R si y sólo si f es un subconjunto
de R x R que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad
a) Existencia:
b) Unicidad:
La condición de existencia asegura que para cada elemento del primer conjunto de-
be existir un elemento del segundo conjunto que se relacione con el primero. (Exis-
tencia de la imagen)
La Unicidad impone que a un mismo elemento del primer conjunto no le puede co-
rresponder más de un elemento del segundo conjunto. (Unicidad de la imagen)
Dominio de una función f: Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) exis-
te. Lo representamos por Don (f).
Imagen de una función f: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo
representamos por Ing. (f).
La siguiente expresión es la definición de función en el lenguaje simbólico
Función real de variable real: Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del
conjunto de los números reales. Las funciones reales de variable real se suelen representar
en el plano, utilizando un sistema de referencia denominado sistema de ejes cartesianos.
Se define como Codominio de una función cualquier intervalo real que contuviera
a la Ing. (f) o bien todo el conjunto de números reales
Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano es el sgte:
Página 19Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
En la figura que sigue, la primera gráfica, no es la gráfica de una función; la segunda, es la
gráfica de una función:
En el primer caso, hay valores de x que no están únicamente determinados, es de-
cir, existen valores de x para los cuales existe más de una valor de y que le corres-
ponda a través de la función (por ejemplo X1 tiene tres valores de y). Recordar que la
imagen debe ser única.
En el segundo caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Es decir,
para todos los valores de X del dominio se verifica que tienen una sola imagen.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o
una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o
expresión analítica y su gráfica.
Según la expresión analítica clasificaremos las funciones (que se trabajarán en 1er.
año) de la siguiente forma:
Página 20Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
Una función f es creciente(A), en un intervalo, si para cualquier par de números x1,
x2 del intervalo. .
Una función f es decreciente (B), en un intervalo si para cualquier par de números
x1,x2 del intervalo, .
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La si-
guiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b].
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
Decreciente en los intervalos(x3, x5), (x6, b)
Adquiere máximo en x3 y en x6
Adquiere mínimo en x5 y en b
FUNCION LINEAL- FUNCION AFIN O POLINOMICA DE PRIMER GRADO
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo
codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un poli-
nomio de primer grado.
Su gráfica es una recta. Esta recta puede ser oblícua positiva (la función es crecien-
te), o es oblícua negativa (la función es decreciente), o es horizontal (la función es
constante).
Se puede observar que la gráfica nunca será una recta vertical, pues no estaría
cumpliendo con la condición de unicidad de la imagen
Página 21Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
La función lineal se define por la ecuación f(x) = ax + bóy = ax + b en donde aes la
pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.
Observación:
Algunos textos y/o autores denominan función afín a la expresión f(x) = ax + bóy = ax +
b siendo la función lineal un caso particular de la función afín cuando b = 0
De acuerdo a los textos y/o autores la expresión f(x) = ax + bóy = ax + b puede presen-
tarse con otras letras, como por ejemplo f(x) = ms + n ó y = mx + b
Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 ; g(x) = - x + 7 ; h(x) = 4 ; t(x) =
2x
Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2. Vemos que a = 3 y b = 2
(De la forma y = ax + b)
Este número a se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y
la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en
y por lo que la pendiente es a = 3. b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde
la recta se cruza con el eje Y)
Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3.3+2 = 11
Si x es 4, entonces f (4) = 3.4+2 = 14
Si x es 5, entonces f (5) = 3.5+2 = 17
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se in-
crementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es
Creciente.
g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3.0 +7 = 0+7 = 7
Si x= 1, entonces g (1) = -3.1 +7 = -3+7 = 4
Si x= 2, entonces g (2) = -3.2 +7 = -6+7 = 1
Página 22Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), dis-
minuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es De-
creciente.
h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4
Si x= 1 entonces h(1) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO
aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.
Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descriptas, donde
a = m.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma
f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de
que a sea distinto de 0.
La gráfica es una curva en forma de U, que puede estar orientada hacia arriba o hacia aba-
jo, y es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de simetría el cual divide a la
gráfica en dos partes iguales y opuestas. En la curva puede observarse también que adquie-
re una altura máxima si la curva está orientada hacia abajo, y adquiere una altura mínima si
la curva está orientada hacia arriba. También podemos observar que generalmente la gráfi-
ca se encuentra “desplazada” con respecto al origen de coordenadas, Más adelante se es-
tudiarán las condiciones que influyen sobre la posición de dicha gráfica
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es una curva simétrica y se llama
parábola:.
Página 23Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Otra función no tan sencilla, cuya representación
Gráfica es la siguiente: f(x) = x2 -2 x - 3.
Obtención general del vértice: Sea la parábola y = ax2 + bx + c. Localizado el corte con el eje
Y, (0, c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .
Igualando: a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó
ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a. La primer coordenada del vérti-
ce coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es de-
cir, p = –b/2.a
Observación: otro modo de presentar la función cuadrática es a través de la expresión:
f(x) =(x-h)2 + k,
donde h y k son números reales que representan las coordenadas del vértice V (h,k) de
la parábola. Por ejemplo: . En el gráfico se observa que h = 2 y k =
1
En la expresión , desarrollando el cuadrado del binomio se obtiene
la siguiente expresión general , que tiene la misma gráfica que
Cortes con los ejes:
a) Ordenada al origen: es la intercepción de la gráfica con el eje Y. En la expresión ge-
neral, el termino independiente c es el que brinda esa información.
b) Raíces: son los puntos de intercepción de la gráfica con el eje X, y en dichos puntos
la función se anula. La función puede tener 2 (dos) raíces, 1 (una) o ninguna.
Se puede calcular por medio de la fórmula .
Página 24Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Ejemplos: y = - x2 + 2x + 3 b) y = x2 - 4x + 4 c) y = x2 - 2x + 3
Parábolas del tipo y = ax2(b = 0, c = 0)
Las parábolas de ecuación y = ax2
tienen por vértice el punto V (0,0).
Cuanto mayor sea a (en valor abso-
luto), más cerrada será la parábola.
Las ramas van hacia arriba si a > 0 o
hacia abajo si a < 0.
En el gráfico se observa que:
Cuando a > 0
La parábola más abierta corresponde a la función (A), le sigue la fun-
ción y la más cerrada es la función
Cuando a < 0
La parábola más abierta corresponde a la función (A’), le sigue la
función y la más cerrada es la función
Un resultado importante: La forma de una parábola depende única y exclusivamente
del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la
misma forma que la parábola y = ax2.
Parábolas del tipo y = ax2 + c (b = 0)
Página 25Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2, desplazán-
dola 3 unidades hacia arriba. El vértice se halla en V (0,3).
La gráfica de h(x) = x2 - 4, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 uni-
dades hacia abajo. El nuevo vértice es V(0,-4).
Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2, c uni-
dades hacia arriba o hacia abajo – desplazamiento vertical - , según el signo de c y, por lo
tanto, su vértice es el punto V(0,c).
Parábolas del tipo y = ax2 + bx (c = 0)
La gráfica de las funciones f(x) = 2x2 - 4x ; g(x) = 2x2 + 4xpasa por el punto (0,0). La
1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del
vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos ob-
tener el punto (2,0).
Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de
coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b/a, 0)
Página 26Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
MODULO III - ECUACION LINEAL, CUADRÁTICA Y SISTEMA DE ECUACIONES3
UN POCO DE HISTORIA
ANTIGÜEDAD: Ya en el siglo XVI a. C., los egipcios resolvían problemas cotidianos que
tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equiva-
lentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación alge-
braica no existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado el «método de la falsa
posición».
El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en el siglo
III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los primeros en utilizar
símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones
enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.
Siglos XV – XVI: Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebrai-
cas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos ma-
temáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos mate-
máticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia,
experto algebrista.
En el XVI, el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica
moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabe-
to, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z.
Siglos XVII-XVIII: En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz publicaron los primeros
métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de
la dinámica.
ÉPOCA MODERNA: A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuacio-
nes algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; solo se consi-
guió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios
del siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular,
mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado
Durante el siglo XIX, las ciencias físicas utilizaron en su formulación ecuaciones diferencia-
les en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales. El uso habitual de estas ecuaciones y
de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, la física matemá-
tica.
Ya en el siglo XX, Albert Einstein utilizó ecuaciones tensoriales para su Relatividad
General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación
en teoría económica.
Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy di-
fíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar numéricos para
encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver
en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usan-
do algoritmos numéricos.
3
Elaborado por: Lic. Alicial Bernal, Prof. María Alejandra Mansilla y la colaboración de Mg. Laura Ochoa
Página 27Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
CONCEPTO: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denomi-
nadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógni-
tas, relacionados mediante operaciones matemáticas. En cada uno de los miembros hay
uno o más términos.
Los valores numéricos que acompañan a la incógnita, de la/s expresión/es algebrai-
ca/s, se denominan coeficientes, son llamados términos independientes cuando son sola-
mente valores numéricos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constitu-
yen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que los números 3 y 1 son los coeficien-
tes que acompañan a la incógnita, los números 1 y 9 son los términos independientes.
Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la satisfacen la
igualdad. Resolvamos juntos aplicando propiedades para mantener la igualdad:
Esta ecuación que hemos resuelto forma parte de las denominadas de primer grado
con una incógnita.
Se dice que una ecuación es de primer grado o ecuación lineal cuando la variable
(x) tiene como exponente a la unidad.
Es de la forma canónica:
Cuando se tienen ecuaciones de primer grado con dos incógnitas de la forma:
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también cono-
cido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer gra-
do), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seña-
les, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación li-
neal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico
Un ejemplo de un sistema de ecuaciones es el siguiente:
Página 28Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
Para encontrar los valores de x e y que verifiquen el sistema se pueden utilizar distin-
tos métodos (sustitución, reducción, determinantes) pero en este caso se utilizará como
método de resolución el Método de igualación: para aplicar este método debemos despe-
jar, en ambas ecuaciones, una de las variables y luego igualar las ecuaciones obtenidas-
Ejemplo:
Resolvamos, aplicando este método de igualación, el sistema
Despejando la variable y de la primera ecuación tendremos
Despejando la variable y de la segunda ecuación tendremos
Como y=y = quedándonos así una ecuación de una única variable: x.
Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de la variable x: x=2
Reemplazando este valor de x en , por ejemplo, obtenemos el valor de la varia-
ble y: y = 3
Por lo tanto, el conjunto solución de este sistema S = {(2;3)}
Otro método de resolución de un sistema de ecuaciones es el gráfico. Para resolver un
sistema de ecuaciones gráficamente se deben representar las rectas obtenidas al despejar
la variable y de cada ecuación en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.-
Ejemplo: Resolveremos gráficamente el sistema
Despejando la variable y de la primera ecuación tendremos
Despejando la variable y de la segunda ecuación tendremos
Y graficando ambas rectas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:
El conjunto solución de este sistema será
S = {(4;2)}
Página 29Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
En los ejemplos resueltos presentados obtuvimos que la solución del sistema era única, pe-
ro pueden también presentarse sistemas de ecuaciones que no posean solución, o bien que
admitan infinitas soluciones. Los sistemas de ecuaciones se clasifican, según la existencia o
no de soluciones, y en el primer caso, el número de ellas, de la siguiente manera:
Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de solucio-
nes puede ser:
Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible: es el que no tiene solución.
Se dice que una ecuación es de segundo grado o ecuación cuadrática cuando es
de la forma canónica donde:
a es el coeficiente principal que acompaña a la variable con exponente 2 o va-
riable cuadrática.
b es el coeficiente que acompaña a la variable con exponente 1 o variable lineal.
c es el término independiente.
Para su resolución se emplea la siguiente fórmula: donde x1 y
x2 son las soluciones que verifican la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación 4x2 – 5x + 1 = 0a = 4 b = -5 c=1
Reemplazando en la fórmula los coeficientes tendremos:
= = =
Página 30Profesorado en Matemática
Provincia del Chaco Año 2018
Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología
-
INSTITUTO de EDUCACIÓN SUPERIOR
“SAN FERNANDO REY”
MODULO IV – EXPRESIONES ALGEBRAICAS4
UN POCO DE HISTORIA
EL ÁLGEBRA EN LA ANTIGÜEDAD: Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la
antigua matemática babilónica, que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con
el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sis-
tema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día sue-
len resolverse mediante ecuaciones, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indetermi-
nadas.
Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el padre del álgebra», fue un mate-
mático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de
las soluciones a las ecuaciones algebraicas. Los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo
métodos especiales "ad hoc" para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue
fundamental; resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico, núme-
ros negativos o el cero.
El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la
solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi,
encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también
desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el mate-
mático persa Al-Karaji, y el matemático chino ZhuShijie, resolvieron varios casos de ecua-
ciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior
mediante métodos numéricos.
EDAD MODERNA: Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovacio-
nes, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los ma-
temáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las
ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómi-
cas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se
difundieron por todo el mundo antiguo.
El descubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer
y cuarto orden se dieron en la Italia del siglo XVI. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la
noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de can-
tidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en
el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y
numerosos matemáticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra.
Durante el Siglo XIX se desarrolló el álgebra abstracta, inicialmente centrada en lo
que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad. Los trabajos de
Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamenta-
ción matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones ma-
temáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el siglo XIX absolutamente inde-
pendientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álge-
bra de los siglos anteriores).
4
Elaborado por: Prof. Ethel Vechietti; Prof. María Teresa Carrara; Esp. Damián Toledo; Prof. Rubén Rotela; Prof. Beatriz Sán-
chez Parra; Prof.: Marcela Grella y la colaboración de la Lic. Alicia Bernal; Lic. Lelia Plaquín y Mg. Laura Ochoa.
Página 31También puede leer
